Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

αΓ 11

+∞

−itρ

(Pэ1-−э3 )

(

)

∫

dt∫r12 L12 (−itr1 )eitr1 dr1 ×

обм

2πρ10Γ (3)Γ (4)

(−it)5

−∞

r1 r2L2 (−itr

)eitr2 dr

∞ r

2 L2

(−itr

)eitr2 dr

× ∫

2 1

+ ∫

2 1

(4.46)

Воспользуемся явным видом полинома Лагерра и получим

r1 r2 L2

(−itr

)eitr2 dr

∞ r2L2

(

−itr

)eitr2 dr

∫

2 1

+ ∫

2 1

itr1

(−it )2

r1 e

+ e

(−r1

+ r1

1) .

(4.47)

Дальнейшее интегрирование по r1

дает

αΓ

+∞

−itρ

(Pэ1-−э3 )

( )

∫

2πρ10Γ

8(−it)5

обм

(3)Γ (4) −∞ (−it)5

8(−it)5

αΓ 11

(

)

5 α

3 2πρ

ρ .

(4.48)

2πρ10 2 6

Γ (10)

Таким образом, суммарное значение P2

э-э

α −

α =

α .

(4.49)

э-э

2 ρ

8 ρ

В третьем слагаемом выражения (4.34) обменная часть равна нулю вследствие ортогональности спиновых функций. Вычисление прямой части проводится аналогично приведенному выше. В ре-

зультате получим		5	α .
P3	=			(4.50)
		2
э-э			ρ

Можно составить таблицу используемых при расчетах МЭ электрон-электронного взаимодействия для различных базисных функций (см. табл. 12).

Таблица 12

МЭ оператора электрон-электронного взаимодействия

для базисных функций МУФ верхней компоненты

Номер

ψi (1)ψ j (2)

− ψi (1)ψ j (2)

ψ j (1)ψi (2)

оболочек

− r

i, j

1–2

25 α

16 ρ

1–3

5 α

−

2 ρ

8 ρ

2–3

5 α

2 ρ

В результате суммирования по оболочкам для МЭ межэлектронного взаимодействия между верхними компонентами ВФ можно получить

P	=		95	α .	(4.51)

э-э		16 ρ

Далее необходимо вычислить МЭ для МУФ нижней компоненты ВФ, которая записывается в виде

		Qэ-э (ρ) = W ∑ α				W =
					3
					i=1 ri − rj
					i> j
3	ξ*i	(1)ξ*j (2)		α	ξi (1)ξ j (2) − ξi (2)ξ j (1) . (4.52)
= ∑	ξ*i	(1)ξ*j (2)	r1	α	ξi (1)ξ j (2) − ξi (2)ξ j (1) . (4.52)
i=1			r1	− r2
i> j

При вычислении прямого члена МЭ необходимо вычислить угловую часть:

∫Ω	*1			1− dΩ = ∑	1	μ3	1		1
		1−Yqν Ω	1		1m3 2		2	−	2	×

2		2		m3m4μ3

																			83
× 1m4	1	μ3	1	−	1	∫Y1m3YqνY1m4 dΩ = ∑							1m3	1	μ3	1	−	1	×
	2		2		2							m3m4μ3		2		2		2
												m3m4μ3
		× 1m			1	μ		1	−	1	qν1m 1m		q010 10 .						(4.53)
				4 2			3	2		2	4	3

Пользуясь свойствами коэффициентов Клебша–Гордона, получим

∑		qν1m4 1m3				1m3		1 μ3		1	−	1	1m4			1	μ3	1 −	1 =
m3,m4 ,μ3								2		2		2				2		2	2
m3,m4 ,μ3
		=	3	2 qν	1	−	1 1		−	1				1 1		;1	1	,	(4.54)
		=	3	2 qν	2	−	2 2		−	2	W q1			2 2		;1	2	,	(4.54)
					2		2 2			2				2 2			2
где W q1	1 1	;11		– коэффициент Рака.
	2 2	2
Анализ выражений (4.53) и (4.54) дает следующие результа-
ты: коэффициент Клебша–Гордона										q010 10					отличен от нуля при
значении	q = 0, 2,			в то же время						qν		1	− 1		1	−	1	≠ 0	при q = 0.
												2	2 2				2

При учете всех множителей при суммировании коэффициентов Клебша–Гордона, а также коэффициентов мультипольного разложения кулоновского взаимодействия можно получить, что угловая часть прямого члена рассматриваемого МЭ равна 1.

При вычислении обменной части МЭ необходимо вычислить аналогичный интеграл с той лишь разницей, что проекция полного момента отрицательна:

	∫Ω*11−Yqν Ω 11+ dΩ = ∑								1	1		1
	∫Ω*11−Yqν Ω 11+ dΩ = ∑								1m3 2	μ3 2	−	2	×
			2		2			m3m4μ3
× 1m4	1	μ3	1 1	∫Y1m3YqνY1m4 dΩ =					∑	1m3	1	μ3	1	−	1	×
	2		2 2						m3m4μ3		2		2		2
									m3m4μ3
		× 1m		1	μ		1 1	qν1m 1m		q010 10 .						(4.55)
			4 2			3	2 2	4	3

Учтем, что

∑ qν1m4 1m3	1m3 1			μ3		1	− 1	1m4		1 μ3			1 1	=
m3,m4 ,μ3		2				2	2			2			2 2
m3,m4 ,μ3
= 3 2 qν	1 1	1	−		1			1 1	;1		1				(4.56)
= 3 2 qν	2 2	2	−		2	W q1		2 2	;1		2	.			(4.56)
	2 2	2			2			2 2			2
Входящий в выражение (4.55) коэффициент													q010 10		отли-

чен от 0 при значениях q = 0, 2. В то же время при таких значениях q

qν	1 1 1	−	1	= 0 , следовательно обменная часть первого и третье-
	2 2 2		2

го слагаемых суммы (4.52) равны 0.

Радиальная составляющая МЭ Qэ-э вычисляется аналогично радиальной части Pэ-э . Для нижней компоненты ВФ можно соста-

вить таблицу используемых при расчетах МЭ электрон-электронно- го взаимодействия для различных базисных функций (см. табл. 13).

Таблица 13

МЭ оператора межэлектронного взаимодействия

для базисных функций МУФ нижней компоненты

Номер

ξi (1)ξ j (2)

− ξi (1)ξ j (2)

ξ j (1)ξi (2)

оболочек

− r

i, j

1–2

25 α

16 ρ

1–3

5 α

−

2 ρ

8 ρ

2–3

5 α

2 ρ

В результате суммирования по оболочкам для МЭ межэлектронноговзаимодействиямежду нижнимикомпонентами ВФполучим

Q	=		95	α .	(4.57)

э-э		16 ρ

Полученные МЭ электрон-ядерного взаимодействия, опера-

тора ∑σi pi и электрон-электронного взаимодействия определяют

i=1

константы в системе уравнений для амплитуд разложения верхней и нижней компонент ВФ. Константы c1 и c2 характеризуют элек-

трон-ядерное взаимодействие

для

литиеподобных

ионов:

c1 = c2 = 15

(см. (4.7) и (4.8)). Константы a1 , a2 определяются МЭ

оператора

∑σi pi ;

константы

d1 ,

–

межэлектронным взаимо-

i=1

действием. Для литиеподобных ионов в состоянии

(см. (4.32),

= 95 .

(4.33) и (4.51), (4.57)) a = a = 5 , d

= d

С полученными константами уравнения (4.5) и (4.6) для ам-

плитуд разложения ВФ примут вид

15Z −

M ′ − ρ M −

E + 6

N = 0

(4.58)

5 N

α 15Z −

N′ +

E +

M = 0 .

(4.59)

4.2. Волновая функция и энергия связи для

1 +

состояния

литиеподобных ионов с Z = 92–101

В результате анализа решения уравнений вида (4.58) и (4.59) получено аналитическое выражение энергии связи для основного состояния литиеподобных ионов

																−1/ 2
										95	2
			α	2	5	2			−	95	2
			α		5		Z		−	16
										16
E = 3	1	+															−1 ,	(4.60)
E = 3	1	+												2	2		−1 ,	(4.60)
								2					95	2
			3nr + 5 1− α						Z −
			3nr + 5 1− α						Z −			16
												16

В табл. 14 приведены значения энергии связи литиеподобных ионов ряда тяжелых элементов. Для сравнения в таблице указана энергия связи релятивистских водородоподобных ионов, рассчитанных для основного уровня [9] по формуле

−

(Zα )

E = m 1+

− (Z

α)

2 2

где m = 0,510986 МэВ,

κ = −1

для рассматриваемой конфигура-

ции 1s1 .

Таблица 14

Энергия связи водородоподобных и литиеподобных ионов

трансурановых элементов в состоянии

1 +

Энергия связи Е, кэВ

Элемент

Зарядядра

Водородоподобные ионы

Литиеподобные ионы

Квантовое число

–132,276

–34,214

–14,669

–282,654

–209,904

(288,347)*

–135,685

–35,129

–15,045

–290,229

–215,597

–139,165

–36,064

–15,429

–297,970

–221,419

							87
						Окончание табл. 14
			Энергия связи Е, кэВ
Элемент	Z		Энергия связи Е, кэВ
Элемент	Зарядядра	Водородоподобные ионы			Литиеподобные ионы
			Квантовое число			nr
		0	1	2		1	2

Am	95	–142,716	–37,020	–15,821		–305,884	–227,375
Cm	96	–146,339	–37,998	–16,221		–313,976	–233,469
Bk	97	–150,038	–38,998	–16,629		–322,251	–239,706
Cf	98	–153,813	–40,021	–17,045		–330,716	–246,091
Es	99	–157,668	–41,068	–17,469		–339,378	–252,629
Fm	100	–161,606	–42,140	–17,903		–348,243	–259,326
Md	101	–165,629	–43,237	–18,345	–357,319		–266,189

Примечание. * – результат расчета по программе АТОМ [16].

Сравнение результатов настоящей работы с данными ранних исследований показывает их хорошее согласие. Заметим, что небольшие отличия в энергии связи практически не сказываются на качестве волновых функций, особенно основных и низколежащих состояний.

Выражения для амплитуд разложения верхней и нижней компонент нормированной ВФ литиеподобных ионов в основном

состоянии 12+ можно представить в виде

λ E + 6

Γ (2γ )

2 γ −

M (ρ) =

6Γ (2γ − 1)

(5 + m)2

+ 2γ − 1

λρ

−

×e

(λρ)γ−1

+ m) 1

−

− 1

(4.61)

2γ − 1

− λ −E

Γ (2γ )

2 γ −

N (ρ) =

6Γ (2γ − 1)

(5 + m)2

+ 2γ − 1

λρ

−

×e

(λρ)γ−1

+ m) 1

−

1 .

(4.62)

2γ − 1

На рис. 11 представлен вид нормированной ВФ основного

состояния литиеподобного иона U92 в зависимости от пространственной координаты.

0,4

M(r)

0,2

N(r)

–0,2

–0,4


0	5	10	15	20		25
0	5	10	15		r 3,86 10–11 см
					r 3,86 10–11 см

Рис. 11. ВФ основного состояния литиеподобного иона урана в состоянии (1s2 2s1 )

Проанализированное в данном разделе минимальное приближение релятивистского метода МУКФ и найденное в замкнутой

форме аналитическое выражение для ВФ и энергии связи 12+ уров-

ней произвольных литиеподобных ионов открывают возможности

исследования распределения электронной плотности литиеподобных ионов трансурановых элементов, проведения расчетов спектра уровней различной четности, влияния смешивания конфигураций на вероятности переходов, в том числе на процесс возбуждения ядра за счет электронных переходов.

4.3. Электронная плотность литиеподобных ионов тяжелых элементов

Электронная плотность произвольных ионов, имеющих А электронов, вычисляется по формуле

A	A
n(r ) = ∫Ψ∑	δ (r − ri )Ψ∏dri .	(4.63)
i=1	i=1

Подставляя в это выражение волновую функцию релятивистского метода МУКФ в нулевом приближении, получим

			A	− ri )		0
	1		∑δ (r	− ri )		0	1	MU A
n(r ) = ∫	1	(MU NW )	i=1				1	MU A
								∏dri =
	3A−1				A		3A−1	∏dri =
	ρ 2		0		∑			NW i=1
	ρ 2		0		∑	δ (r − ri ) ρ 2
					i=1

		1			A	A
= ∫		1		MU ∑δ (r − ri )MU ∏dri +
= ∫		3A−1		MU ∑δ (r − ri )MU ∏dri +
	ρ				i=1	i=1
			1		A	A
+∫			1		NW ∑	δ (r − ri )NW ∏dri .	(4.64)
+∫		ρ	3A−1		NW ∑	δ (r − ri )NW ∏dri .	(4.64)
		ρ			i=1	i=1

Электронную плотность можно представить в виде суммы электронных плотностей верхней и нижней компонент биспинор-

ной ВФ		n(r ) = ρ1 (r ) + ρ2 (r ) ,
		n(r ) = ρ1 (r ) + ρ2 (r ) ,			(4.65)
		1	A	A
где	ρ1 (r ) = ∫	1	MU ∑	δ (r − ri )MU ∏dri ,
где	ρ1 (r ) = ∫	3A−1	MU ∑	δ (r − ri )MU ∏dri ,
		ρ	i=1	i=1
		1	A	A
	ρ2 (r ) = ∫	1	NW ∑	δ (r − ri )NW ∏dri .
	ρ2 (r ) = ∫	3A−1	NW ∑	δ (r − ri )NW ∏dri .
		3A−1	i=1	i=1
		ρ	i=1	i=1

Угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера

U =

Γ (3A + 2K )

ψ1 (1) ...

ψ1 ( A)

(−itρ)K

ψ A (1) ...

ψ A ( A)

(4.66)

W =

Γ (3A + 2K )

ξ1 (1) ...

ξ1 ( A)

(−itρ)K

ξ A (1) ...

ξ A ( A)

составленные из базисных функций, каждая из которых ставится

всоответствие электрону на определенной оболочке. Заметим, что

ψи ξ являются ортогональными полиномами, что облегчает пе-

реход к ортонормированному базису

(−itr),

Γ (3 + n)

jlm

(4.67)

(−1)l− j+

(−itr ),

Γ (3 + n)

jl′m

jl′m n

где n – главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, l′ = 2 j − l , m – проекция полного момента.

В самом общем виде электронные плотности верхней и нижней компонент ВФ можно записать как

ρ1 (r ) = ∫ M (ρ)F (ρ,r )M (ρ)dρ ,					(4.68)
ρ2 (r ) = ∫ N (ρ)G (ρ,r) N (ρ)dρ .					(4.69)
В нулевом приближении метода МУКФ
F (ρ,r) =	Γ (3A + 2K )	∞∫	e−itρ	dt ×
F (ρ,r) =		∞∫		dt ×
	2πρ3A+2K −1 −∞ (−it )3A+2K −3
×∫eitr1 ∑ψω (r1 )δ (r − r1 )ψω (r1 )dr1.					(4.70)
	ω

С учетом явного вида базисных функций, а также свойств функции Дирака

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]