Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

∫e

−λρ

(λρ)

2γ −3

d (λρ) =

Vpot = −5α

Z −

Γ (2γ − 1)

λΓ (2γ − 2)

= −5α Z

−

= −5α

Z −

(2.18)

Γ (2γ − 1)

2γ − 2

Принимая во внимание значения МЭ оператора ∑cσi pi

i=1

M (ρ)

(ρ) и

N (ρ)

W ∑σi pi

−

U ∑σi pi

W =

i=1

dρ

2ρ

i=1

ρ 2

= −

(ρ), из выражений (2.6) и (2.7) можно получить

dρ

2ρ

1 + T

2 = 2∫ −M dN

+ N dM

dρ −10∫ MN 1 dρ .

(2.19)

= T

dρ

Рассмотрим первый интеграл в выражении (2.19). С учетом явного значения амплитуд разложения верхней и нижней компонент волновой функции (2.15) и (2.16) можно записать

−10∫ M (ρ)N (

ρ)

dρ =

10λ2

∫e−λρ (λρ)2γ−2

dρ =

5 λ2

(2.20)

4Γ (2γ − 1)

2 2γ − 2

Поскольку амплитуды N (ρ) и M (ρ) для основного состоя-

ния имеют одинаковую функциональную зависимость и различаются лишь константой, очевидно, что значения первого и второго слагаемых в выражении (2.19) равны, поэтому

2∫	−M dN
	dρ
Таким образом,

+ N dM	dρ = 0 .	(2.21)
dρ

	5	λ2
T =			,	(2.22)
	2 2γ − 2

и тогда выражения для средних значений потенциальной энергии и

матричного оператора ∑cσi pi можно записать как

i=1
				5α2						5	2
				5α2						5	2
Vpot = −				γ −1		Z		−			,	(2.23)
Vpot = −						Z		−	16		,	(2.23)
									16
			5α2				5			2
			5α2				5			2
	T	=	γ −1		Z −						.	(2.24)
	T	=			Z −		16				.	(2.24)
							16

Из полученных выражений очевидно равенство абсолютных значений средней потенциальной энергии и матричного оператора

∑cσi pi .

i=1

Рассмотрим слагаемое Χ* 2A Χ , входящее в выражение для среднего значения гамильтониана уравнения Дирака

Χ* 2A Χ = 2A	(−E)	∫e−λρ (λρ)2γ−2 d (λρ) = −E. (2.25)
	2AΓ (2γ − 1)

Подставляя полученное значение в выражение (2.2) для среднего значения гамильтониана, можно получить

Ψ* HD Ψ = Vpot + T + E .

(2.26)

Таким образом показано, что для минимального приближения релятивистского метода МУКФ среднее значение гамильтониана уравнения Дирака тождественно равно значению энергии, так как выполняется равенство средних значений потенциальной

энергии и матричного оператора ∑cσi pi , что характеризует точ-

i=1

ность используемого метода. В других вариационных методах это условие, согласно [12], не всегда выполняется. Поскольку среднее значение гамильтониана выражается через МЭ с малой компонен-

той, то полученный результат указывает на необходимость вычисления вклада малой компоненты 6-мерного спинора с более высокой точностью. Аналогичные результаты в рамках развиваемого метода можно получить и для ионов с большим числом электронов. Здесь эти результаты не приводятся из-за более сложных аналитических вычислений.

2.2. Особенности решений уравнения Дирака для многоэлектронных систем

Известно [12], что для кулоновского взаимодействия оператор Дирака неограничен, что связано с неограниченностью оператора кулоновского взаимодействия. При проведении численных расчетов эта неограниченность проявляется различным образом, в частности наличием ложных состояний.

Так, для гелиеподобных ионов минимальное значение энергии связи (Е < 0) при nr = 0 совпадает с энергией связи гелиеподобных ионов. Для литиеподобных ионов имеем одно ложное состояние, энергия связи которого при nr = 0 превосходит энергию связи основного состояния данных ионов, которому соответствует

состояние с nr = 1.

Результаты расчета энергии связи релятивистского литиеподобного иона для нескольких квантовых чисел приведены в табл. 1.

Ложные состояния также проявляются при получении решения уравнения Дирака для бериллиеподобных ионов, основному состоянию которых соответствуют состояния с nr = 2 . В табл. 2

приведены энергии связи бериллиеподобных ионов тяжелых элементов от урана до менделевия, а также два ложных состояния данных ионов с nr < 2 .

Таблица 1

Энергия связи литиеподобных ионов трансурановых элементов

		в состоянии			1 +
		в состоянии			2
					2

			Энергия связи E, кэВ
Элемент	Заряд ядра Z			Квантовое число nr
Элемент	Заряд ядра Z	0				1	2
		0				1	2
						Литиеподобные ионы
U	92	–392,834				–282,654	–209,904
Np	93	–402,988				–290,229	–215,597
Pu	94	–413,347				–297,970	–221,419
Am	95	–423,914				–305,884	–227,375
Cm	96	–434,698				–313,976	–233,469
Bk	97	–445,703				–322,251	–239,706
Cf	98	–456,938				–330,716	–246,091
Es	99	–468,408				–339,378	–252,629
Fm	100	–480,122				–348,243	–259,326
Md	101	–492,089				–357,319	–266,189

					Таблица 2
Энергия связи бериллиеподобных ионов трансурановых элементов
		в состоянии 0+
			Энергия связи E, кэВ
Элемент	Заряд ядра Z		Квантовое число nr		2
Элемент	Заряд ядра Z	0		1	2
		Бериллиеподобные ионы
U	92	–519,672		–414,958	–336,523
Np	93	–533,129		–425,99	–345,596
Pu	94	–546,856		–437,26	–354,87
Am	95	–560,859		–448,772	–364,352
Cm	96	–575,148		–460,536	–374,049
Bk	97	–589,730		–472,56	–383,968
Cf	98	–604,614		–484,851	–394,116
Es	99	–619,811		–497,419	–404,502
Fm	100	–635,329		–510,273	–415,134
Md	101	–651,179		–523,424	–426,021

Для определения минимального значения квантового числа nr , соответствующего физическим уровням, используется феноме-

нологическое правило соответствия расчетных уровней известным экспериментальным данным.

Минимальное значение квантового числа, при котором во всех полученных расчетах значение энергии связи согласуется с расчетными данными, полученными другими методами [14–16], определяется как сумма главных квантовых чисел заполненных оболочек. Так, например, для гелиеподобных ионов в состоянии 1s2 оба электрона находятся на 1s оболочке, которой соответствует главное квантовое число 0, и, следовательно, nr min = 0 . Для гелие-

подобных ионов в состоянии 1s12s1 nr min = 1. Аналогичным образом: для литиеподобных ионов в состоянии 1s22s1 nr min = 1, для бериллиеподобных в состоянии 1s2 2s2 nr min = 2 .

Ложные состояния возникают в решениях при значениях квантового числа nr < nr min , их количество ограничено и равно

nr min .

2.3. Осцилляционные свойства решения уравнения Дирака

Для уравнения Шредингера, описывающего одномерное движение, известна так называемая осцилляционная теорема. Согласно ей волновая функция, соответствующая (n + 1)-му собственному значению, обращается n раз в ноль [17, 18]. Обычно эта теорема используется для контроля точности расчетов волновых функций возбужденных состояний различными приближенными методами.

Представляется необходимым исследовать подобные свойства для развиваемых методов решения многоэлектронного уравнения Дирака. С этой целью в табл. 3 приведено число нулей, полученное при аналитическом решении уравнения Дирака для нескольких ионов высокой кратности ионизации.

Таблица 3

Число узловых точек волновой функции для основного состояния нескольких типов ионов урана высокой кратности ионизации

Тип	Гелие-	Литие-	Бериллие-	Углеродо-
иона	подобный	подобный	подобный	подобный
Число	0	1	2	4
узлов	0	1	2	4
узлов

Для всех других ионов от плутония до фермия осцилляционные свойства волновой функции подобны свойствам волновых функций ионов, приведенных в таблице.

Заметим, что эти результаты касаются только гиперрадиальных амплитуд разложения волновых функций по многомерным спинорам, построенным в минимальном приближении релятивистского метода МУКФ. Необходимо иметь в виду, что многоэлектронные спиноры, включающие сферические функции, также имеют нули по угловым переменным, которые здесь не рассматриваются.

ГЛАВА 3. Решение уравнения Дирака для гелиеподобных ионов трансурановых элементов

3.1.Уравнение Дирака в 6-мерном пространстве

Вминимальном приближении волновая функция состояния 0+ гелиеподобных ионов, соответствующая конфигурации1s2, имеет вид

	Φ		1	MU
Ψ =		=			,	(3.1)
Ψ =		=	5		,	(3.1)
	Χ		5	NW
			ρ2

где многомерные угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера

U =

Γ (6) ϕ+ (1)

ϕ+ (

W =

Γ (6) χ+ (1)

χ+ (2)

(3.2)

ϕ− (

ϕ− (1)

2! χ− (1)

χ− (2)

из базисных функций соответственно

ϕ1 0m =

Ω 10m ,

χ 11m

Ω 11m .

(3.3)

Γ (3)

Проекция спина m = ± 1

, индексы у спиноров соответствуют кван-

товым числам { j, l, jz }.

Верхний и нижний спиноры являются од-

нородными полиномами одной и той же степени K.

Нормировка волновой функции с учетом ортонормированности спиноров равна

∞	(M 2	(ρ) + N 2 (ρ))dρ = 1.
∫ Ψ (r1,r2 )Ψ (r1,r2 )dr1dr2 = ∫	(M 2	(ρ) + N 2 (ρ))dρ = 1.	(3.4)
0
		A
Согласно общим формулам для МЭ оператора ∑σi pi			(1.57)

i=1

и (1.58), полученным в гл. 1, для рассматриваемых ионов (А = 2, K = 0, κ = −1) можно записать

N (ρ)

N (ρ).

U ∑σi pi

= −

−

(3.5)

i=1

dρ

2ρ

ρ2

M (ρ)

W ∑σi pi

−

M (ρ).

(3.6)

i=1

dρ

2ρ

ρ 2

Матричные элементы взаимодействия электронов с ядром представляют собой матричные элементы от одночастичных операторов и выражаются суммами МЭ по базисным функциям. Для электронных конфигураций 1s2 эти МЭ равны

2	αZ	U	2	αZ	ϕi ,	(3.7)
U ∑ r		U	= ∑ ϕi	r	ϕi ,	(3.7)
i=1	i		i=1	i
2	αZ	W	2	αZ	χi .	(3.8)
W ∑ r		W	= ∑ χi	r	χi .	(3.8)
i=1	i		i=1	i

С использованием общих формул МЭ электрон-ядерного взаимодействия (1.36), (1.37) и учетом суммирования по орбиталям окончательно для МЭ взаимодействия электронов с ядром для гелиеподобных ионов в основном состоянии имеем

2	αZ		U =	5αZ		,	(3.9)
U ∑		r			ρ
i=1
		i
2		αZ	W =		5αZ	.	(3.10)
W ∑		r			ρ
i=1
		i

Наиболее сложным является вычисление МЭ взаимодействия электронов между собой, поскольку они являются МЭ двухчастичных операторов. Непосредственное раскрытие определителей показывает, что

							39
		U			α	U	=
		U	r − r			U	=
			1		2
		α
= ϕ+ (1)ϕ− (2)		α		ϕ+ (1)ϕ− (2) − ϕ+ (2)ϕ− (1) . (3.11)
	r1	− r2

Так как для состояний с l = 0 ортогональность базисных функций обеспечивается ортогональностью спиновых функций, то обменная часть рассматриваемого МЭ равна нулю. Следовательно, радиальная часть МЭ

Γ (6)

r − r

∫

dΩ6 ,

(3.12)

2!Γ (3)Γ (3)

r − r

где элемент интегрирования при выбранной параметризации шестимерного пространства определяется как

	1		∞
dΩ6 =			∫ e−itρ dt∫eit(r1	+r2 )dr1dr2 .
	2πρ	5
			−∞

Если воспользоваться мультипольным разложением

1		= ∑	4π	Yqν (Ω1 )Yqν (Ω2 )	rq
					<	,
	r − r		2q + 1		rq+1

		qν
	1 2				>
	1 2				>

то выражение (3.12) можно преобразовать:

Γ (6)

it r +r

r1 r2dr

∞ r2dr

P11

∫e−itρ dt∫ r12dr1e

( 1 2 ) ∫

2 2

+ ∫

2 2

16π ρ5

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Интегрирование в этом выражении удобно проводить с помощью введения новых переменных r, θ, определяемых как

r1 = r sin θ, r2 = r (1− sin θ), r = r1 + r2 ,			(3.16)
якобиан перехода к новым переменным равен
	r ,r
J	1 2	= −r .	(3.17)

r,sin θ

Переходя к введенным переменным, МЭ межэлектронного взаимодействия запишем в виде

P11 =

Γ (6)

∫e−itρdt ×

16π

ρ5

θ 1− sin θ

2 d sin θ

θ 1− sin θ

2 sin2

6 sin2

2 d sin θ

×∫ rdr

eitr ∫

(

)

+ ∫

(

)

sin θ

(1− sin θ)

После интегрирования этого выражения для МЭ получаем

Γ (6)

2π

ρ4Γ (5) 2 5

25 1

(3.18)

16π ρ5

Γ (5) 2 48 16 ρ

Матричный элемент межэлектронного взаимодействия между нижними компонентами ВФ можно представить в следующей форме:

J22		= W	α	W	=
J22		= W	r1 − r2	W	=
			r1 − r2
		α
= χ+ (1)χ− (2)		α	χ+ (1)χ− (2) − χ+ (2)χ− (1) .			(3.19)
	r1	− r2

Так как при интегрировании по угловым переменным первого электрона в прямом члене нетривиальный вклад дает только слагаемое с q = 0, то в последнем выражении, записанном в виде

J22 = Jпр + Jобм

(3.20)

прямой член равен МЭ межэлектронного взаимодействия между верхними компонентами ВФ

				Jпр =			25		α .				(3.21)
				Jпр =					α .				(3.21)
							16 ρ
При получении обменной части МЭ необходимо вычислить
интегралы следующего типа:
		∫Y1m			YqνY1m dΩ1 =
				3				4
= qν1m 1m		1m 1	μ		1	− 1			1m 1	μ		1 1	q010 11 , (3.22)
4	3	3 2		3	2	2		4 2			3	2 2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]