Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

		121
6	αrZ U ,
Pэ-я = U + ∑	αrZ U ,	(6.9)
i=1	i
для нижней –
6	αrZ W .
Qэ-я = W + ∑	αrZ W .	(6.10)
i=1	i

МЭ электрон-ядерного взаимодействия для базисных функций бериллиеподобных ионов (табл. 22) получены с использованием общих формул, приведенных в гл. 1.

Таблица 22

МЭ оператора электрон-ядерного взаимодействия для различных базисных функций бериллиеподобных ионов

Номер

ψω

αZ

ψω

ξω

αZ

ξω

оболочки ω

21αZ

2ρ

21αZ

2ρ

21αZ

2ρ

21αZ

2ρ

21αZ

2ρ

21αZ

2ρ

63αZ

Таким образом, можно записать

63αZ

(6.11)

э-я

122

63αZ

(6.12)

э-я

Для вычисления МЭ оператора

∑σi pi можно воспользо-

ваться формулами, полученными в гл. 1:

i=1

dN (ρ)

1− κω − Γ (ni )

3A + 2K − 1

B = −

∑

−

N (ρ) ,(6.13)

dρ

3A+2K −1

2Γ (n )

H =			dM (ρ)		−	1+ κω	+ Γ (ni )
H =			∑		−	i
		3A+2K −1	i	dρ			ρ
	ρ	2
	ρ	2

В табл. 23 приведены значения κ, (1.50), для нескольких состояний.

	3A + 2K − 1
			M (ρ) .(6.14)
	2Γ (n )

	i

определенного согласно

Таблица 23

Значения коэффициента κ для различных состояний

ω	1s1/ 2	2s1/ 2	1p1/ 2	1p3/ 2
κω	–1	–1	1	–2

Для углеродоподобных ионов с электронной конфигурацией

(1s2 2s21p1/2

2 )

в результате суммирования по всем оболочкам мож-

но получить

dN (ρ)

B = −

21 N (ρ) −

(6.15)

ρ21/ 2

2ρ

dρ

H = −

21 M (ρ) +

dM (ρ)

(6.16)

ρ21/ 2

2ρ

dρ

Непосредственное раскрытие определителей показывает, что МЭ электрон-электронного взаимодействия для верхней компоненты ВФ углеродопоподобных ионов

123

U ∑ α					U = ∑ ψi (1)ψj (2)×
	6				6
		i=1 ri − rj			i=1
		i< j			i< j
×			α	ψi	(1)ψ j (2) − ψi (2)ψ j (1) .	(6.17)
			α
		r1	− r2
		r1	− r2

Таким образом, необходимо рассмотреть сумму по шести оболочкам.

В данной работе подробно рассмотрено вычисление только первого слагаемого суммы (6.17). Остальные слагаемые вычисляются в схожей манере и для них приводится лишь результат.

Ортогональность базисных функций, соответствующих электронам на 1s оболочке, обеспечивается ортогональностью спиновых функций, следовательно обменная часть рассматриваемого МЭ равна нулю.

С учетом нормировки прямая часть первого слагаемого имеет

вид

1s− (1)1s+ (2) =

Γ (22)

+∞∫

e−itρ

dt ×

(−it)4+12

2πρ21 −∞

∫

eit(r1

+r2 )ψ* (1)ψ*

(2)

(1)ψ

(2)dr dr .

(6.18)

r1 − r2

Если воспользоваться мультипольным разложением

1		= ∑	4π	Yqν (Ω1 )Yqν (Ω2 )	rq
					<	,	(6.19)
	r1 − r2		2q + 1		rq+1

		qν
					>
					>

то для угловой части интеграла (6.18) можно записать

∫Ω*1

0−

(1)Ω*1

0−

(2)×

4π

×∑

Yq*ν (1)Yqν (2)Ω 1

(1)Ω 1

(2)dΩ1dΩ2 .

(6.20)

qν

2q + 1

0−

В силу ортонормированности спиноров очевидно, что отличны от 0 только слагаемые с q = 0 и интеграл по угловой части (6.20) равен 1.

124

Тогда выражение для МЭ 1s− (1)1s+ (2) можно преобразовать

к виду

1s− (1)1s+ (2) =

Γ (22)

−itρ

∞

∫

dt∫r12dr1eit(r1+r2 )

∫

r2 dr2

+ ∫

r2 dr2

(6.21)

(−it)16

2πρ21 (Γ (3))2

Интеграл по координатам r1 и r2

имеет значение

r1 r2dr

∞ r2dr

1 5

∫ r12dr1e

(

2 )

∫

+ ∫

(6.22)

(−it )5 4

В результате для (6.21) можно записать

1s− (1)1s+ (2) =

Γ (22)

∫

e−itρ

Γ (22)

5α

105 α

ρ .

(6.23)

2πρ21

(Γ (3))2

(−it)21

(Γ (3))2 Γ (21)

Значения МЭ оператора электрон-электронного взаимодействия для базисных функций МУФ верхней компоненты ВФ углеродоподобного иона, полученные в данном разделе, приведены в табл. 24.

Таблица 24

МЭ оператора электрон-электронного взаимодействия для базисных функций МУФ верхней компоненты

Номер

ψi (1)ψ j (2)

− ψi (1)ψ j (2)

ψ j (1)ψi (2)

оболочек

− r

i, j

1-2

105 α

1s− (1)1s+ (2)

16 ρ

1-3

21 α

−

21 α

1s− (1)2s− (2)

1–4

21 α

1s− (1)2s+ (2)

4 ρ

125

Окончание табл. 24

Номер

ψi (1)ψ j (2)

− ψi (1)ψ j (2)

ψ j (1)ψi (2)

оболочек

− r

i, j

1–5

105 α

−

7 α

1s− (1)1p− (2)

1–6

105 α

−

7 α

1s− (1)1p+ (2)

2–3

21 α

1s+ (1)2s− (2)

4 ρ

2–4

21 α

−

21 α

1s+ (1)2s+ (2)

2–5

105 α

−

7 α

1s+ (1)1p− (2)

2–6

105 α

−

7 α

1s+ (1)1p+ (2)

3–4

147 α

2s− (1)2s+ (2)

32 ρ

3–5

21 α

−

7 α

2s− (1)1p− (2)

3–6

21 α

−

7 α

2s− (1)1p+ (2)

4–5

21 α

−

7 α

2s+ (1)1p− (2)

4–6

21 α

−

7 α

2s+ (1)1p+ (2)

5–6

105 α

1p+ (1)1p− (2)

16 ρ

2555 α

32 ρ

126

МЭ межэлектронного взаимодействия для МУФ нижней компоненты ВФ записывается в виде

W ∑			α W		= ∑ ξi (1)ξj (2)×
		6			6
	i=1 ri		− rj		i=1
	i< j				i< j
×		α		ξi (1)ξ j (2) − ξi (2)ξ j (1) .		(6.24)
		α
	r1	− r2

Интегрирование слагаемых данной суммы проводится аналогично тому, как это выполнено для МУФ верхней компоненты ВФ. Полученные значения МЭ приведены в табл. 25.

Таблица 25

МЭ оператора межэлектронного взаимодействия для базисных функций МУФ нижней компоненты

Номер

ξi (1)ξ j (2)

− ξi (1)ξ j (2)

ξi (2)ξ j (1)

оболочек

− r

r − r

i, j

1 2

1–2

105 α

1p− (1)1p+ (2)

16 ρ

1–3

21 α

−

21 α

1p− (1)2 p− (2)

1–4

21 α

1p− (1)2 p+ (2)

4 ρ

1–5

105 α

−

7 α

1p− (1)1s− (2)

1–6

105 α

−

7 α

1p− (1)1s+ (2)

2–3

21 α

1p+ (1)2 p− (2)

4 ρ

127

Окончание табл. 25

Номер

ξi (1)ξ j (2)

ξi (2)ξ j (1)

оболочек

−

− r

r − r

i, j

1 2

2–4

21 α

−

21 α

1p+ (1)2 p+ (2)

2–5

105 α

−

7 α

1p+ (1)1s− (2)

2–6

105 α

−

7 α

1p+ (1)1s+ (2)

3–4

147 α

2 p− (1)2 p+ (2)

32 ρ

3–5

21 α

−

7 α

2 p− (1)1s− (2)

3–6

21 α

−

7 α

2 p− (1)1s+ (2)

4–5

21 α

−

7 α

2 p+ (1)1s− (2)

4–6

21 α

−

7 α

2 p+ (1)1s+ (2)

5–6

105 α

1s− (1)1s+ (1)

16 ρ

2555 α

6.2. Волновая функция и энергия связи для 0+ состояния углеродоподобных ионов с Z = 92–101

При учете значений полученных МЭ система дифференциальных уравнений (6.7) и (6.8), описывающая углеродоподобные

ионы в состоянии (1s2 2s21p1/2 2 ), примет вид

128

M ′ −

α (63Z − 2555/ 32)

M −

E + 12 +

N = 0,

(6.25)

2ρ

N′ +

α (63Z − 2555/ 32)

E +

= 0.

(6.26)

2ρ

Решение данной системы уравнений приведено в гл. 1, в общем случае его можно записать следующим образом

M (r ) = E + 2Ae−λρ / A

2λρ γ −1

A F

−n ,2γ − 1

− (a − a

2λρ

+ B F

−n

+ 1,2γ − 1−

− a

2λρ

(6.27)

N (r ) = − −Ee−λρ A

2λρ

γ −1

A F

−n ,2γ − 1− (a − a

)

2λρ

−

− B F

−n

+ 1,2γ − 1− (a

− a

2λρ

(6.28)

где нормировочные константы А1 и В1 при вырожденных гипергеометрических функциях находятся из условия нормировки ВФ на

единицу;

A – число электронов,

λ = −E (E + 2A)

γ = 1+

a1 − a2

(a + a

(c Z − d

)(c Z − d

)α2

−

;

a1 , a2 , c1

, c2 , d1 и d2

–

коэффициенты, полученные при вычислении матричных элементов

оператора ∑σi pi , электрон-ядерного и электрон-электронного

i=1

взаимодействия соответственно, nr – радиальное квантовое число. На рис. 16 представлен вид нормированной ВФ основного

состояния углеродоподобного иона U92 в зависимости от пространственной координаты.

129

0,3
0,25
0,2					M(r)
0,15					M(r)
0,15
0,1
0,05
0				N(r)
–0,05				N(r)
–0,05
	20	30	40	50	60	70	80
	20	30	40	50	60	70	80
						r 3,86 10–11 см

Рис. 16. ВФ основного состояния 0+ углеродоподобного иона урана

(nr = 4)

Расчеты МЭ электрон-ядерного и электрон-электронного взаимодействия показали, что для углеродоподобных ионов

c1 = c2 = c, d1 = d2 = d .

(6.29)

В результате требования ограниченности на бесконечности ВФ (это выполняется при условии, что nr принимает целые положительные значения) для энергии связи можно получить выражение

−1/ 2

α2 (cZ − d )2

E = A

− 1 . (6.30)

A2 (a

(cZ − d )2

An +

+ a

4 − α2

В табл. 26 приведены значения энергии связи углеродоподобных ионов тяжелых элементов для различных значений квантового числа nr .

130

Таблица 26

Энергия связи углеродоподобных ионов для тяжелых элементов

	Углеродоподобные ионы
Заряд ядра	Энергия связи основного	Энергия связи возбужден-
Заряд ядра	Энергия связи основного	Энергия связи возбужден-
Z	состояния,	ного состояния,
Z	nr = 4	nr = 5
	nr = 4	nr = 5
92	–420,429	–368,462
93	–431,857	–378,495
94	–443,542	–388,754
95	–455,492	–399,247
96	–467,714	–409,981
97	–480,220	–420,964
98	–493,017	–432,205
99	–506,117	–443,713
100	–519,530	–455,497
101	–533,268	–467,570

Определяя квантовое число nr как сумму главных квантовых чисел заполненных оболочек, для основного состояния углеродоподобных ионов можно получить значение nr = 4 . Такой подход

оправдан согласованностью значений энергии связи с данными из других источников (см. раздел 6.4).

С использованием полученных решений уравнения Дирака были получены распределения электронных плотностей и радиальные моменты различных степеней для ряда ионов трансурановых элементов высокой кратности ионизации (см. разделы 6.3, 6.4).

6.3. Электронная плотность

Согласно выкладкам, приведенным в разделе 4.3, электронная плотность произвольных ионов, имеющих А электронов, вычисляется по формуле

n(r ) = ρ1 (r ) + ρ2 (r ) ,

(6.31)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]