Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

где

ρ1 (r )

= ∫

∑δ (r

− ri )MUdr1dr2 ,

i=1

ρ2 (r )

= ∫

NW ∑δ (r

− ri ) NWdr1dr2 .

i=1

Угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера

U1 =

Γ (6) ϕ+ (1) ϕ+

(2)

W1 =

Γ (6) χ+

(1) χ+ (2)

ϕ− (1)

ϕ−

(2) ,

χ−

(1) χ− (2)

(3.61)

из базисных функций

ϕ10m =

Ω 10m , χ 11m =

Ω 11m .

(3.62)

Γ (3)

В самом общем виде электронные плотности верхней и ниж-

ней компонент ВФ можно записать как

ρ1 (r ) = ∫ M 2 (ρ)F (ρ,r)dρ ,

(3.63)

ρ2 (r ) = ∫ N 2 (ρ)G (ρ,r )dρ .

(3.64)

В рассматриваемом же случае минимального приближения K = 0 и набора квантовых чисел γ , соответствующего 0+ состоянию,

Γ (6)

∞

(r )

)

F (ρ,r) =

∫ e−itρdt∫eit(r1+r2 )

2πρ5 2!

ϕ−

(r1 )

ϕ−

(r2 )

−∞

(r1 ) ϕ+

− ri )

ϕ+

2 )

×∑δ (r

−

(r )

−

)

dr1dr2 .

(3.65)

i=1

С учетом ортогональности базисных функций выражение

(3.65) можно переписать в виде

F (ρ,r) =

Γ (6) ∞

e−itρ

−∞∫

dt ×

2πρ5

(−it)3

×∫eit(r1+r2 ) ∑ ϕω (r1 )ϕω′ (r2 )δ (r − r1 )ϕω′ (r2 )ϕω (r1 )drdr2 . (3.66)

ω≠ω′

Интегрируя полученное выражение по dr2 , можно получить

F (ρ,r) =	Γ (6)	∞∫	e−itρ	dt∫eitr1 ∑ϕω (r1 )δ (r − r1 )ϕω (r1 )dr1. (3.67)

	2πρ5 −∞ (−it)3			ω

Суммирование по квантовым состояниям даст множитель 2

перед получившимся

выражением.

При интегрировании по

необходимо

учесть,

что

(r ) ≡ ϕ

(r ) =

Γ (3)

(Ω

)χ

(i) =

(i)

(здесь χ

(i) – спино-

Γ (3)

Γ (3) 4π

2 m

вая функция i -й частицы). Таким образом,

F (ρ,r) =

Γ (6)

∞ e−it(ρ−r)

−∫∞

(−it)3

dt .

(3.68)

4π

2πρ5Γ (3)

Учитывая значение интеграла

∞

e−it(ρ−r)

2π (

ρ − r )2

(ρ − r ) ,

∫

dt =

(3.69)

(−it)3

Γ (3)

−∞

где θ(ρ − r) = 1,

ρ > r

, получим

ρ < r

Γ (6)

(ρ − r )2

F (ρ,r ) =

θ (ρ − r) .

(3.70)

2π (Γ (3))2

ρ5

Окончательное выражение для первого слагаемого электрон-

ной плотности можно записать в виде

ρ1 (r ) =

Γ (6)

∞

2 (ρ) (ρ − r )

∫ M

dρ .

(3.71)

2π (Γ (3))2

ρ5

Аналогично можно записать выражение для функции G (ρ,r) :

G (ρ,r) =	Γ (6)	∞∫	e−itρ	dt∫eitr1 ∑χω (r1 )δ (r − r1 )χω (r1 )dr1 . (3.72)

	2πρ5 −∞ (−it)3			ω

Учитывая выражение базисных функций через сферические функции, запишем

										χ 1		1		1 (Ω)χ 1					1	1 (Ω) =
											2	1		2					1	2
											2			2				2		2
=	1		∑			1m1		1 μ 1 1								Y1*m		(Ω)			1m2				1 μ			1 1		Y1m		(Ω) . (3.73)
Γ (3) m m					μ			2 2 2									1								2 2 2					2
Γ (3) m m					μ			2 2 2																	2 2 2
			1	2
Пользуясь теоремой сложения сферических функций, получим
		Y*			(Ω)Y					(Ω) = (−1)m1 Y													(Ω)Y						(Ω) =
			1m				1m													1−m						1m
				1					2												1							2
= (−1)m1 2 1+ 1							2 1+ 1 1010 J 0 1− m																		1m			JM Y				(Ω), (3.74)
				4π			2J + 1																	1		2				JM
				4π			2J + 1
в результате выражение (3.73) примет вид
											∑					3(		−1)m1						×
											∑					4π			2J +			1		×
										m1m2μJ						4π			2J +			1
× 1m 1	μ	1 1			1m		1	μ		1 1					1010			J 0			1− m 1m							JM Y				(Ω). (3.75)
1 2		2 2				2 2				2 2															1		2			JM
Воспользуемся свойствами коэффициентов Клебша–Гордона
		1m			1	μ	1 1			= (−1)1−m1										2	1m				1 1 1				− μ =
				1 2			2 2													2				1 2 2				2
	1−m +1+ 1					− 1		1		−	1		1m1			1									1−m					1+	1	− 1	2
= (−1)			1		2 2			2		−	2		1m1			2	− μ = (−1)										1	(−1)			2	2	×
								2			2					2
		×		1 11− m						1	μ				=	(−1)1−m1					1 1				1− m				1	μ ,			(3.76)
				2 2					1	2											2 2							1	2
			1m			1	μ		1 1								1+ 1			− 1	1			μ1m				1 1		.			(3.77)
			1m			2	μ		2 2				= (−1)					2		2		2		μ1m				2 2		.			(3.77)
					2	2			2 2													2				2		2 2
Суммируя полученные коэффициенты, получим
∑ (−1)			2−2m1			1 1			1	− m1					1	μ		1		μ1m2				1 1				1− m11m2 JM =
∑ (−1)						2 2			1	− m1					2	μ		2		μ1m2				2 2				1− m11m2 JM =
m1m2μ						2 2									2			2						2 2
m1m2μ

		1		(2J + 1)	1 1		1 1	1			1		1
=	2		+ 1			JM		W		1		1;		J .	(3.78)
		2			2 2		2 2		2		2		2

Учтем, что	1010 J 0 ≠ 0 при J = 0,2 и при J = 2	1		1	1	1;	1		= 0 ,
		W	2		2		2	J

следовательно J = 0. Таким образом, сумма (3.75) будет равна

	3 2 1010 00								1 1 00 1 1							W 1111; 1								0		Y		(Ω) .	(3.79)
		4π							2 2				2 2													00
		4π							2 2				2 2						2 2 2
		Воспользуемся свойствами коэффициентов Рака, получим
			1				1			1						1 1						1
		W			1				1;			0	= W							11;0				=
		W	2		1		2		1;	2		0	= W				2 2			11;0		2		=
			2				2			2							2 2					2
			1+			1		− 1								1										1
		= (−1)				2			2													= −					.		(3.80)
		= (−1)				2			2			2	1		+	1 2 1+ 1						= −				6	.		(3.80)
												2	1		+	1 2 1+ 1										6
													2
Учтем также, что 1010 00											= −		1		,		1 1			00 1 1				= 1.
													3				2 2				2 2
	1	Учитывая все коэффициенты, получим, что сумма (3.75) рав-
на	1	.
на		.
	4π
		Аналогично тому, как было получено выражение для функ-
ции F, можно получить										Γ (6)						(ρ − r )2
		G (ρ,r ) =								Γ (6)						(ρ − r )2					θ(ρ − r) ,								(3.81)
		G (ρ,r ) =						2π(Γ (3))2										ρ5			θ(ρ − r) ,								(3.81)
								2π(Γ (3))2										ρ5
следовательно								Γ (6)															2
														∞									2
		ρ2 (r ) =													∫ N 2 (ρ) (ρ − r )										dρ .				(3.82)
		ρ2 (r ) =		2π(Γ (3))2											∫ N 2 (ρ) (ρ − r )										dρ .				(3.82)
				2π(Γ (3))2											r						ρ5

В результате имеем следующее выражение для электронной плотности:

n(r ) =	15	∞	(M 2	(ρ) + N 2 (		ρ))(ρ − r )		2
n(r ) =	15	∫	(M 2	(ρ) + N 2 (		ρ))(ρ − r )		dρ .
	π	r					ρ
							5
Волновые функции основного					(n		= 0) состояния 0+
					r

добного иона тяжелого элемента имеют вид:

M (ρ) =	λ E + 4	e−	λρ	(λρ)γ−1 ,
			2
	Γ (2γ − 1)
2
N (ρ) =	− λ −E	e−	λρ	(λρ)γ−1 .
			2
	Γ (2γ − 1)
2

(3.83)

гелиепо-

(3.84)

(3.85)

Волновые функции первого возбужденного уровня (nr = 1) состояния 0+ гелиеподобного иона тяжелого элемента имеют вид:

M (ρ) =	E + 4			Γ (2γ )		×
M (ρ) =	2Γ (2γ − 1)	5		2	+ 2γ − 1	×
			2	+ m	+ 2γ − 1
			2

×e−

λρ

1−

λρ

− 1

2 (λρ)γ−1

+ m

(3.86)

2γ − 1

N (ρ) =

− −E

Γ (2γ )

2Γ (2γ − 1)

+ m

+ 2γ − 1

×e−

λρ

(λρ)γ−1

1−

λρ

+ 1 .

+ m

(3.87)

2γ − 1

Результаты численных расчетов электронной плотности ионов урана, плутония и менделевия представлены на рис. 4–7.

0,08

0,06

0,04

0,02

0,03

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

1 3

1 2 3 4 5 6

r 3,86 10–11 см

2 4 6 8 10 12

r 3,86 10–11 см

Рис. 4. Электронная плотность верхней и нижней компонент ВФ и суммарная электронная плотность основного (а) и первого возбужден-

ного (б) уровней состояния 0+ гелиеподобного иона урана: 1 – p1(r)r2; 2 – p2 (r)r2 ; 3 – nU (r)r2

0,08

0,06

0,04				1	3
				1

0,02
				2

	0		1	2	3	4	5		6
					а			r 3,86 10–11 см
					а
0,03
0,025			3
0,02			1
0,015
0,01
0,005			2
			2

		0	2	4	6	8	10		12
					б			r 3,86 10–11 см
					б

Рис. 5. Электронная плотность верхней и нижней компонент ВФ и суммарная электронная плотность основного (а) и первого возбужденного (б)

уровней состояния 0+ гелиеподобного		иона плутония: 1 – p (r)r2	;
		1
2 – p (r)r2	; 3 – n (r)r2
2		Pu

0,09

0,08

0,06

0,04

0,02

0,035

0,03

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

1 2 3 4 5 6

а	r 3,86 10–11	см
а

2 4 6 8 10 12

r 3,86 10–11 см

Рис. 6. Электронная плотность верхней и нижней компонент ВФ и суммарная электронная плотность основного (а) и первого возбужденного (б)

уровней состояния 0+ гелиеподобного		иона менделевия: 1 – p (r)r2	;
		1
2 – p (r)r2	; 3 – n (r)r2
2		Md

0,09

0,08

0,06

0,04

0,02

0,035

0,03

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

1 2 3 4 5 6

r 3,86 10–11 см

Рис. 7. Электронная плотность основного (а) и первого возбужденного (б) состояния 0+ гелиеподобных ионов урана, плутония и менделевия: 1 – nU (r)r2 ; 2 – nPu (r)r2 ; 3 – nMd (r)r2

Сравнение электронной плотности гелиеподобного урана в состоянии 0+, рассчитанной релятивистским методом МУКФ и по программе GRASP, использующей метод Хартри–Фока (рис. 8), показало хорошее согласие полученных результатов.


		0,08
n (r)r2		0,08			2
U		0,07			2
		0,07
	0,06			1
	0,06
	0,05
	0,05
	0,04
	0,03
	0,02
	0,01
			0	1	2	3	4	5	6
			0	1	2	3	4	5	6

r 3,86 10–11 см

Рис. 8. Электронная плотность гелиеподобного урана в состоянии 0+, рассчитанная релятивистским методом МУКФ (1), Е = –262,448, и с помо-

щью программы GRASP (2), Е = –262,627

Итак, аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака позволяет получить аналитические выражения для электронной плотности. Численные расчеты показывают, что при увеличении заряда ядра (от Z = 92 до Z = 101) положение максимума электронной плотности для основного состояния иона смещается к центру ядра и его величина растет. Для первого возбужденного уровня кривая распределения электронной плотности имеет два максимума, причем ее значение в этих точках более чем в два раза меньше значения электронной плотности в максимуме основного состояния. Точность проведенных расчетов контролировалась по интегральной нормировке электронной плотности на полное число электронов:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]