Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

ГЛАВА 4. Решение уравнения Дирака для литиеподобных ионов трансурановых элементов

Вданной главе впервые исследуются свойства литиеподобных ионов трансурановых элементов в рамках решения уравнения Дирака для трех электронов.

Впоследнее время интерес к изучению литиеподобных ионов трансурановых элементов вырос в связи с проведением различных экспериментальных работ по исследованию высших радиационных поправок, что позволяет проверить квантовую электродинамику в сильных центральных полях [22].

Развиваемый релятивистский вариант метода многомерных угловых кулоновских функций [2] позволяет найти аналитическое решение многоэлектронного уравнения Дирака, что при наличии аналитических выражений для двухкомпонентных волновых функций относительно легко позволяет вычислять брейт-вигнеровские и радиационные поправки.

Вданном разделе рассчитан спектр 12+ полосы для литиепо-

добных ионов элементов с Z = 92 −101. Полученные энергия связи и аналитические ВФ используются в дальнейшем для расчетов распределения электронной плотности, изучения вклада нижней компоненты ВФ, средних значений различных физических величин релятивистских трехэлектронных систем.

4.1.Уравнение Дирака в 9-мерном пространстве

Вминимальном приближении волновая функция состояния

12+ литиеподобных ионов в спинорном представлении, соответст-

вующая электронной конфигурации (1s2 2s1 ), имеет вид

	Φ		1	MU
Ψ =		=			,	(4.1)
Ψ =		=	ρ4		,	(4.1)
	Χ		ρ4	NW

где ρ = r1 + r 2 + r3 – коллективная переменная и многомерные угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера

(1)

ψ (2)

ψ (3)

U =

Γ (11)

ψ12 (1)

ψ12 (2)

ψ12

(3)

(−itρ)

ψ3 (1)

ψ3 (2)

ψ3

(3)

(4.2)

(1)

(2)

(3)

Γ (11)

W =

ξ2

(1)

ξ2

(2)

ξ2

(3)

(−itρ)

ξ3

(1) ξ3

(2) ξ3

(3)

ортогональные базисные функции ψ и ξ имеют вид

ψ =

(−itr ),

L2 (−itr ),

Γ (3)

120− 0

120+ 0

L2 (−itr)

Γ (4)

0− 1

(4.3)

ξ =

(−itr),

L2 (−itr),

Γ (3)

1−

Γ (

(−itr ).

Γ (4)

1− 1

Индексы у спиноров соответствуют квантовым числам { j,l, jz} . Квантовые числа для базисных функций ψω выбираются в соответствии с квантовым состоянием системы из трех электронов. Для базисной функции ξω квантовые числа j и jz те же, что и для ψω , а l′ = 2 j − l . Верхний и нижний спиноры являются однород-

ными полиномами одной и той же степени K = 1 для данной электронной конфигурации.

									73
Нормировку волновой функции определим как
			∫ Ψ+ Ψdτ9 = 1,						(4.4)
где элемент объема			∞
8		1	∞		−itρ		it(r1+r2	+r3 )
dτ9 = ρ dρdΩ9	=		∫	e		dt∫e			dr1dr2dr3dρ .
dτ9 = ρ dρdΩ9	=		∫	e		dt∫e			dr1dr2dr3dρ .
		2π
			−∞

Функциональная структура уравнений Дирака для литиеподобных ионов после проектирования на восьмимерное пространство многомерных двухкомпонентных угловых функций имеет вид

	a		1			α (c Z − d		)
M ′ −	1	M −		E + 6	+	1	1		N = 0	,	(4.5)
			3				ρ
	ρ

	a		1		α (c Z − d	2	)
N′ +	2	N +		E +	2			M = 0 .	(4.6)
	ρ		3		ρ

Входящие в выражения (4.5) и (4.6) константы выражаются через матричные элементы (МЭ) оператора потенциальной энергии и через МЭ оператора импульса.

МЭ электрон-ядерного взаимодействия для базисных функций литиеподобных ионов приведены в табл. 10.

Таблица 10

МЭ оператора электрон-ядерного взаимодействия для базисных функций литиеподобных ионов

Номер	ψω	αZ	ψω	ξω	αZ	ξω
оболочки ω	ψω	r	ψω	ξω	r	ξω
оболочки ω		r			r

1		5αZ			5αZ
1		ρ			ρ
		ρ			ρ
2		5αZ			5αZ
2		ρ			ρ
		ρ			ρ

3		5αZ			5αZ
3		ρ			ρ
		ρ			ρ

Суммируя эти МЭ, получим МЭ электрон-ядерного взаимодействия между верхними МУФ

P (ρ) =

15αZ

(4.7)

э-я ρ

С помощью аналогичных вычислений можно получить МЭ элек- трон-ядерного взаимодействия между нижними МУФ

Qэ-я (ρ) = 15αZ . (4.8)

МЭ оператора ∑σi pi записываются следующим образом:

i=1

	3
B =	U ∑σi pi Χ ,	(4.9)
	i=1
	3
H =	W ∑σi pi Φ .	(4.10)

i=1

Сучетом вида МУФ U и W более удобно рассчитывать МЭ в виде

	3	N (ρ)		(ρW ) ,
B =	U ∑σi pi	N (ρ)				(4.11)
B =	U ∑σi pi		ρ5			(4.11)
	i=1		ρ5
	3		M (ρ)		(ρU ) .
H =	W ∑σi pi		M (ρ)			(4.12)
H =	W ∑σi pi					(4.12)
	i=1		ρ5

В силу одночастичности оператора σp выражение (4.11) можно записать в виде суммы по оболочкам [11]

B = ∑	ψω σp	N (ρ)	ξω .	(4.13)
ω		ρ5

Аналогично (4.12) можно представить в виде

H = ∑	ξω σp	M (ρ)	ψω .	(4.14)
ω		ρ5

Используя явный вид оператора импульса p = −i ∂∂r и опре-

деление коллективной переменной ρ, для выражений (4.13) и (4.14) можно получить

B = ∑

N (ρ)

ψω σp ξω −

ρ5

−i

−

N (ρ)

ψω σn ξω

(4.15)

ρ5

dρ

(ρ)

H = ∑

ξω σp ψω −

ρ5

− i

−

M (ρ)

ξω σn ψω

(4.16)

ρ5

dρ

При вычислении МЭ, входящих в эти выражения, полезно учитывать соотношение между спинорами [9]

		Ω 1	0m	= i(σn)Ω 1		1m	,			(4.17)
		2	0m		2	1m
		2			2
которое позволяет провести следующее преобразование:
σpΩ	1	= iσp(σn)Ω		1	= i ( pn)		+ iσ[ pn]	Ω	1	. (4.18)
	1			1					1
	2	0m		21m					21m

Воспользовавшись явным видом оператора импульса, преобразуем последнее выражение:

		(divr + r + σl )	Ω 1					Ω 1
σpΩ 1	=		21m	=	3 + r	∂	+ σl	21m	= 0. (4.19)
σpΩ 1	=		r	=	3 + r	∂r	+ σl	r	= 0. (4.19)
2	0m		r			∂r		r
2

При выводе последнего выражения было учтено, что													для состоя-
ния		j =	1	l = 1, (σl ) = 2sl = −2 ,		так		как		sl =	1	( j 2	− l 2 − s 2 ) =

		2								2
=	1	( j ( j + 1)		− l (l + 1) − s(s + 1)) =	1	3	− 2	−	3	= −1 ,		следовательно
						4
2				2				4

матричный элемент оператора импульса между базисными функциями нижней и верхней МУФ равен нулю

ξω σp ψω = 0 .

(4.20)

Аналогично вычисляются МЭ импульса между верхней и нижней компонентами ВФ. При этом целесообразно воспользоваться формулой

Ω 1

= i−1 (σn)Ω 1

(4.21)

которая позволяет записать

σp (σn) Ω

pr + iσ[ pr ]

(4.22)

10m

i {

1 0m

тогда

( r + r + σl )1 Ω 1

1 Ω 1

σpΩ 1

= −

= −2

(4.23)

При этом учтено, что для состояния с

j =

, l = 0, σl

= 0 .

Поскольку

состав

МУФ

входят

базисные

функции

120−

L2 (−itr ) и ξ

121−

L2 (−itr ),

то непосредст-

Γ (4)

венные вычисления дают

σpξ3 =

L12 (−itr )

−

Ω 1

+ σp(L12 (−itr ))Ω 1

. (4.24)

Γ (4)

0−

1−

С учетом явного вида оператора импульса для второго сла-

гаемого в выражении (4.24) можно записать

σp(L12 (−itr ))= −i

(σn)

∂

L12

(−itr ) =

∂r

= −i

(σn)(−it)L3 (−itr) = −i

(σn)(−it) .

(4.25)

Таким образом,

= − 2

σpξ

+ i

(−it)ψ .

(4.26)

Очевидно, что второе слагаемое при учете его в МЭ в силу ортогональности базисных функций даст 0, следовательно

σpξ3	= −	2	ψ3 .	(4.27)
		r

Аналогично можно получить

σpψ3	= − 2	ξ3 .		(4.28)
Таким образом, имеем	r
Таким образом, имеем
ψω σp ξω	= ψω	−2	ψω .	(4.29)
		r
МЭ ξω σn ψω и ψω σn ξω		тривиально		вычисляются

с использованием соотношений (4.17) и (4.21) соответственно и свойств матриц Паули:

i ξω σn ψω	= − ξω ξω .	(4.30)
i ψω σn ξω	= ψω ψω .	(4.31)

Можно составить таблицу используемых при расчетах МЭ для различных базисных функций (табл. 11)

	3				Таблица 11
	3
МЭ оператора ∑σi pi для различных базисных функций
	i=1
Номер	ξω σp ψω	ψω σp ξω		i ξω σn ψω	i ψω σn ξω
оболочки ω	ξω σp ψω	ψω σp ξω		i ξω σn ψω	i ψω σn ξω
1	0		−10	–1	1
1	0		ρ	–1	1
			ρ
2	0		−10	–1	1
2	0		ρ	–1	1
			ρ

3	0		−10	–1	1
3	0		ρ	–1	1
			ρ

В результате для МЭ оператора ∑σi pi можно получить сле-

i=1

дующие выражения:

B = −3

H = 3

N (ρ)

dρ

−

M (ρ) .

dρ

(4.32)

(4.33)

Как и в случае с гелиеподобными ионами, необходимо вычислить МЭ взаимодействия электронов между собой. Непосредственное раскрытие определителей показывает, что, например, для МУФ верхней компоненты ВФ литиеподобных ионов

			U ∑				α	U =
					3
					i=1	ri − rj
					i< j
3		(1)ψ*j (2)			α		ψi (1)ψ j (2) − ψi (2)ψ j (1) , (4.34)
3
= ∑	ψ*i
				r1	− r2

i=1
i< j

т. е. необходимо рассмотреть сумму по трем оболочкам. Ортогональность базисных функций, соответствующих элек-

тронам на 1s оболочке, обеспечивается ортогональностью спиновых функций, следовательно обменная часть рассматриваемого МЭ равна нулю.

С учетом нормировки прямая часть первого слагаемого имеет

вид

Pэ1-−э2 =

Γ (11)

+∞

e−itρ

∫

dt ×

2πρ10

(

−it)2+3

−∞

∫

eit(r1

+r2 )ψ* (1)ψ*

(2)

(1)ψ

(2)dr dr .

(4.35)

r1 − r2

Если воспользоваться мультипольным разложением

= ∑

4π

Yqν

(Ω1 )Yqν (Ω2 )

(4.36)

r − r

2q + 1

rq+1

qν

1 2

то выражение (4.35) можно преобразовать:

P1−2

Γ (11)

э-э

2πρ10 (Γ (3))2

e−itρ

it r

r1 r2dr

∞ r2dr

×∫

dt∫r12dr1e

( 1

2 )

∫

+ ∫

(4.37)

(−it)5

Интегрирование аналогичного выражения подробно приводится в гл. 3 при вычислении МЭ электрон-электронного взаимодействия гелиеподобных ионов. Здесь приведем только окончательный результат:

α .

(4.38)

э-э

16 ρ

Рассмотрим второе слагаемое суммы (4.34)

P1−3 =

ψ*

(1)ψ*

(2)

(1)ψ

(2) − ψ

(2)

(1) . (4.39)

э-э

− r2

Прямой член приведенного выражения запишем как

Pэ1-−э3 =

Γ (11)

+∞

e−itρ

−∫∞

dt ×

2πρ10

Γ (3)Γ (4)

(−it)2+3

∫

eit(r1

+r2 )ψ*

(1)ψ*

(2)

(1)

(2)dr dr .

(4.40)

− r2

С учетом мультипольного разложения кулоновского взаимо-

действия угловая часть приведенного интеграла имеет вид

∫Ω*1

0−

(1)Ω*1

0−

(2)×

4π

×∑

Yq*ν (1)Yqν (2)Ω 1

(1)Ω 1

(2)dΩ1d

Ω2.

(4.41)

2q + 1

0−

qν

В силу ортонормированности спиноров очевидно, что отличны от 0 только слагаемые с q = 0, а интеграл по угловой части (4.41) равен 1.

Таким образом, выражение (4.40) примет вид

(Pэ1-−э3 )пр =

(

)

+∞

−itρ

αΓ 11

−∞∫

dt∫ r12eitr1 dr1 ×

2πρ10Γ (3)Γ (4)

(−it )5

r1 r

−itr

)

itr

∞ r

(−itr

)

itr

L (

e 2 dr

2 dr

∫

+ ∫

(4.42)

Изменим порядок интегрирования, тогда

(Pэ1-−э3 )пр =

(

)

+∞

−itρ

αΓ 11

−∫∞

dt ×

2πρ10Γ (3)Γ (4)

(−it)5

itr1

dr1

∞

itr1

dr1

L2 (

−itr

) 2 eitr2 dr

(4.43)

∫

Непосредственное интегрирование дает

r2 r2eitr1 dr

∞ r2eitr1 dr

∫

− eitr2

+ 2 +

+ eitr2 (r2 + 1) .

(4.44)

(

)

−it

Дальнейшее интегрирование по переменной r2

с учетом яв-

ного вида полинома Лагерра

(x) = 3 − x

позволяет получить для

прямого члена

αΓ

+∞

−itρ

(Pэ1-−э3 )

( )

∫

2πρ10Γ

(−it)5

пр

(3)Γ (4) −∞ (−it )5

2(−it)5

3αΓ (11) 2πρ9

5 α

ρ .

(4.45)

2πρ10 2 6

Γ (10)

При рассмотрении обменного члена также можно убедиться, что интегрирование по угловым переменным даст 1. Радиальная часть имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]