Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(E + 2A) N = 0 ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Нормировку волновой функции определим как

∫ Ψ+ (ri )Ψ (ri )dτ3A = 1,

(1.16)

где элемент объема

∞

it ∑ri

dτ3A = ρ3A−1dρdΩ3A =

∫ e−itρdt∫e i=1

∏drid

ρ .

2π −∞

i=1

Учитывая вид ВФ, выражение (1.16) можно записать развер-

нуто:

dτ

∫ ρ3A−1

= ∫(N 2 (ρ)

U + U + M 2 (ρ) W + W )dρ = 1.

(1.17)

Потребуем выполнения ортонормированности МУФ

U + U = 1,

W + W = 1.

(1.18)

Используя явный вид МУФ U верхней компоненты ВФ, представляющей собой детерминант Слэтера, составленный из ортогональных базисных функций ψω

+∞

−itρ

U + U =

∫

A!∏ ψ*i

ψi dt , (1.19)

2πρ3A+2K −1

−∞

(−it )2K

i=1

где ψ*i ψi = ∫eitr

ψi (r )

2 dr =

(−it)3

можно получить

Γ (3A + 2K )

NK2 ν =

(1.20)

Γ (3A + 2K )

Таким образом NK =

При нормировании МУФ W нижней компоненты нормиро-

вочный множитель NK

тот же.

1.3. Методы аналитического решения уравнения Дирака

Гамильтониан многочастичного уравнения Дирака, описывающего кулоновские частицы,

имеет вид

H Ψ = E0Ψ,

(1.21)

H = ∑

−ic

αi

+ Aβ mc2 − ∑ Ze

+ ∑

, (1.22)

− r

i< j

где

0 σi

в стандартном представлении, A –

β =

αi

−1

σi

число электронов.

В спинорном представлении четырехкомпонентная ВФ, являющаяся решением уравнения (1.21), есть биспинор:

Ψ = Φ . (1.23)

Обезразмеривание уравнения Дирака можно произвести, используя релятивистскую систему единиц, в которой энергия изме-

ряется в единицах mc2 (m – масса электрона), единица длины рав-

на классическому радиусу электрона	e2	= 2,818 10−13 см. В этих
	mc2

единицах уравнение Дирака (1.21) для компонент волновой функции выглядит так:

c A

E + ∑

− ∑

Φ = −i

∑σi iΧ,

− r

i=1 r

i> j

i=1

+ 2A + ∑

−

∑

Χ = −i

∑σi iΦ.

− r

i=1 r

i> j

i=1

(1.24)

(1.25)

					13
Учитывая, что	e2	= α (α =		1	– постоянная тонкой
Учитывая, что	c	= α (α =	137,036		– постоянная тонкой
	c		137,036

структуры), систему (1.24)–(1.25) можно переписать в виде

	αZ		α
A	αZ	A	α		A
αE + ∑ r		− ∑			Φ = −i∑σi iΧ,
αE + ∑ r		− ∑	r − r	j	Φ = −i∑σi iΧ,
i=1	i	i> j	i	j	i=1
		i=1

		αrZ	− ∑ r		−αr
α (E + 2A) + ∑		αrZ	− ∑ r		−αr		Χ = −i∑σi iΦ.
	A		A					A
	i=1	i	i> j	i		j		i=1
			i=1

(1.26)

(1.27)

Энергия связи системы в этих уравнениях определена как

E = ε − A < 0 , где ε – полная энергия системы в единицах mc2. Для упрощения записи полученной системы проведем преобразование масштаба

r′ = αr ,

(1.28)

в результате которого уравнение Дирака примет вид

E +

αZ −

Φ = −i

A cσ

′Χ,

(1.29)

∑

r′

r′ − r′

∑

i=1

E + 2A +

αZ

−

Χ = −i

A cσ

′Φ,

(1.30)

∑

r′

r′ − r′

∑

i=1

где	′ =	∂		=	∂	. (В дальнейшем при записи координатной пе-
где	′ =			=		. (В дальнейшем при записи координатной пе-
	i	∂r	′		α∂ri
		i

ременной штрих будет опускаться.)

Если в эту систему уравнений подставить разложения компонент волновой функции через МУФ, а затем умножить полученные уравнения на МУФ слева, то после интегрирования по угловым переменным можно получить следующую систему уравнений для амплитуд разложения волновой функции:

3A+2K −1

U J NW

= 0

(1.31)

3A+2K −1

W J MU

= 0.

(1.32)

Здесь О и O1 – операторы потенциальной и полной энергии для

верхней и нижней компонент ВФ в левой части уравнения Дирака, J – оператор импульса системы уравнения Дирака.

Матричные элементы потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром равны

* αZ

Γ (3A + 2K )

ψi

ψi =

αZ

+∞

e−itρ

eitr L2

(−itr ) 2 rdr. (1.33)

∫

(−it)3A+2K −3

2πρ3A+2K −1 Γ (3 + ni ) −∞

Входящий в выражение (1.33) полином Лагерра можно представить в виде суммы [10]

L2n (−itr ) =	ni		(−itr ),
L2n (−itr ) =	∑ L1n		(−itr ),	(1.34)
i	mi =1	i
	mi =1

тогда вследствие ортогональности полиномов Лагерра интеграл, входящий в матричный элемент (МЭ) электрон-ядерного взаимодействия, можно представить в виде

∫eitr L2n

(−itr )

Γ (2 + mi )

(1+ mi ) =

rdr =

∑

(−it)2

Γ (1+ mi )

(−it)2

mi =0

1 (ni + 2)(ni + 1)

(1.35)

(−it )2

Таким образом, для МЭ электрон-ядерного взаимодействия, записанного в виде (1.33), можно получить

									15
		* αZ		ψi	=
		ψi	r	ψi	=
			r
=	Γ (3A + 2K ) (ni + 1)(ni + 2) αZ					=	(3A + 2K − 1) αZ		(1.36)
					ρ		2Γ (n	+ 1) ρ .
	Γ (3A + 2K − 1)	2Γ (3 + n )			ρ		2Γ (n	+ 1) ρ .
			i				i

Аналогично можно получить МЭ электрон-ядерного взаимодействия для нижней компоненты ВФ многоэлектронного иона:

	* αZ					(3A + 2K −1) αZ				(1.37)
	ξi		r ξi		=		2Γ (n + 1) ρ .			(1.37)
								i
Получая систему дифференциальных уравнений для ампли-
туд разложения двухкомпонентной ВФ, необходимо										вычислить
				A
следующие МЭ оператора ∑σi pi							:
				i=1
						A
			B =		U ∑σi pi			Χ ,		(1.38)
						i=1
						A
		H =			W ∑σi pi			Φ .		(1.39)
						i=1
С учетом вида МУФ			U и		W		более удобно рассчитывать МЭ
в виде
				A			N (ρ)		(ρKW ) ,
				A			N (ρ)
B =	U			∑σi pi						(1.40)
B =	U			∑σi pi		3A+2K −1				(1.40)
				i=1		ρ	2
						ρ	2
				A			M (ρ)		(ρKU ) .
				A			M (ρ)
H =	W			∑σi pi						(1.41)
H =	W			∑σi pi		3A+2K −1				(1.41)
				i=1		ρ	2
						ρ	2
В силу одночастичности оператора σp									выражение (1.40) можно
записать в виде суммы по оболочкам [11]

A			N (ρ)			(1.42)
B = ∑	ψi	σp		3A−1	ξi .	(1.42)
i=1			ρ	2
			ρ	2

Аналогичным образом (1.41) можно представить в виде

A			M (ρ)				(1.43)
H = ∑	ξi	σp		3A−1	ψi .		(1.43)
H = ∑	ξi	σp		3A−1	ψi .
i=1			ρ	2
			ρ	2
Используя явный вид оператора импульса p = −i						∂	и опре-
Используя явный вид оператора импульса p = −i						∂r	и опре-
						∂r

деление коллективной переменной ρ, для выражений (1.42) и (1.43) можно получить

N (ρ)

ψi σp ξi

B = ∑

3A+2K −1

−

3A + 2K − 1

−i

−

N (ρ)

ψi σn ξi

(1.44)

3A+2K −1

dρ

2ρ

M (ρ)

H = ∑

ξi σp ψi

−

3A+2K −1

3A + 2K − 1

−i

−

M (ρ)

ξi σn ψi

(1.45)

3A+2K −1

2ρ

Для вычисления одночастичных МЭ, входящих в последние выражения, можно воспользоваться соотношением между спинорами [9]

Ω jl′m = il−l′ (σn)Ω jlm ,

которое позволяет провести следующее преобразование:

σpξ jl′m = il−l′

= i2l−2l′+1

1			σp(σn)(−1)	1+l−l′		(−itr )Ω
				2	L2
	Γ (3 + n)
					n				jlm

1			( pn) + iσ[ pr ]		L2n (−itr )		Ω			.
Γ (3 + n)						r
		{		}				jlm

(1.46)

(1.47)

Воспользовавшись явным видом оператора импульса, последнее выражение можно привести к виду

σpξ jl′m = i2l−2l′+4

(divr + r + σl )

L2n (−itr)

Ω jlm =

Γ (3 + n)

∂

L2n (−itr )

= −

+ r

+ σl

Ω jlm ,

(1.48)

Γ (3

∂r

+ n)

где l = [r p] – оператор орбитального момента. Собственные зна-

чения произведения (σl ) = 2sl	равны
										1		1
2sl = ( j 2 − l 2 − s 2 )= j ( j + 1) − l (l + 1) −					3	=		j	−	2 ,	l = j −	2 ,
					4			− j − 3			, l = j +		1 .
										2			2
Выражение (1.48) можно переписать в виде
σpξω′ = −			1− κω	ψω ,									(1.49)
σpξω′ = −			r	ψω ,									(1.49)
			r
где ω = { jlm} и ω′ = { jl′m} – наборы квантовых чисел и
− (l +		1), j = l +					1	,
− (l +		1), j = l +				2		,
						2							(1.50)
κω =				1									(1.50)
	l,		j = l −	1	.
	l,		j = l −	2	.
				2

Необходимо оговориться, что при записи выражения (1.48) было опущено слагаемое, полученное при дифференцировании по-

линома Лагерра, так как оно пропорционально полиному Лагерра степени на единицу меньше, чем в исходной базисной функции, и заведомо даст 0 при интегрировании.

С использованием аналогичного подхода можно получить

σpψω =	1+ κω	ξω′ .	(1.51)

	r

В дальнейшей записи «штрих» в индексе базисной функции нижней компоненты ВФ ξ будет опускаться. МЭ ξω σn ψω и

ψω σn ξω тривиально вычисляются с использованием соотношения (1.46), определения базисных функций и свойств матриц Паули:

i ξω σn ψω	= − ξω ξω	= −1 .	(1.52)
i ψω σn ξω	= ψω ψω	= 1.	(1.53)

Выражения (1.42) и (1.43) можно переписать в виде

B = −			×
		3A+2K −1
	ρ	2

dN (ρ)

3A + 2K − 1

1− κωi

×∑

−

N (ρ) + ψi

ψi

N (ρ) , (1.54)

dρ

2ρ

H =

3A+2K −1

dM (ρ)

3A + 2K − 1

1+ κω

×∑

−

M (ρ) − ξi

ξi

M (ρ) . (1.55)

dρ

2ρ

С учетом полученных ранее значений МЭ электрон-ядерного взаимодействия (1.36) и (1.37) для слагаемых, входящих в (1.54) и (1.55), можно записать

* 1		* 1			(3A + 2K − 1) 1
ψi r	ψi	= ξi r	ξi	=	2Γ (n + 1)		,	(1.56)
						ρ
					i

тогда для МЭ оператора ∑σi pi получим

i=1

B = − 3A+2K −1 ×

dN (ρ)

− κω

− Γ (ni + 1)

3A + 2K − 1

×∑

−

N (ρ) , (1.57)

dρ

+ 1)

2Γ (n

H= 3A+2K −1 ×

ρ2

dM (ρ)

+ κω + Γ (ni + 1)

3A + 2K − 1

×∑

−

M (ρ) . (1.58)

dρ

2Γ (n + 1)

МЭ межэлектронного взаимодействия равен сумме прямого и

обменного МЭ и состоит из

A( A −1)

слагаемых. Конкретные при-

меры расчетов подробно описаны при изучении свойств тяжелых атомов.

После проецирования на (3А– 1)-мерное пространство многомерных двухкомпонентных угловых функций уравнение Дирака

для А электронов примет вид

c αZ

d αZ

M ′ − 1

M −

+ 2A +

−

N = 0

(1.59)

c αZ

αZ

N′ +

2 N +

E +

−

M = 0.

(1.60)

Входящие в эти выражения константы выражаются через МЭ оператора потенциальной энергии и через МЭ оператора импульса. Введем обозначения

P1	= c1Z − d1,	(1.61)
P2 = c2Z − d2.		(1.61)
P2 = c2Z − d2.

Для исследования поведения решений этого уравнения в нуле удобно преобразовать систему (1.59)–(1.60) к виду

a + 1

αP

(Mρ)′ −

(Mρ) −

+ 2A +

(Nρ) =

(1.62)

−1

αP

(Nρ)′ +

(Nρ) +

E +

(M ρ) = 0 .

(1.63)

Функции Mρ и

Nρ входят в каждое из уравнений (1.62) и

(1.63) равноправным образом, поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней по ρ:

(M ρ) = aργ , (Nρ) = bργ .					(1.64)
Подстановка в уравнения дает для неизвестных a,b, γ					систему
a(γ − a −1) − b			αP1	= 0,	(1.65)

1			A

b(γ + a	−1) +	aαP2		= 0.	(1.66)

2			A

Из решения последней системы находим уравнение для показателя γ:

(γ − a		−1)(					−1) +		α2P P
				γ + a		2			1		2	= 0,		(1.67)
				γ + a								= 0,		(1.67)
1									A2
Его решением будет									A2
Его решением будет
a			− a		(a			+ a	)2		P P α2
γ = 1+	1		2	±			1	2		−	1 2		.	(1.68)
γ = 1+	1		2	±				4		−			.	(1.68)
			2					4				A2

Поведение решений для амплитуд разложения на бесконечности определяется из системы уравнений (в релятивистских еди-

из которой находим уравнение

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]