Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

	61
4π∞∫ n(r )r2dr = 2 .	(3.88)
0

Это условие выполняется с точностью до 10−4 .

3.4. Моменты атомных радиусов

Водородоподобные ионы

Волновая функция водородоподобного иона определяется следующим образом [9]:

		f (r )Ω jlm (Ω)
			,	(3.89)
Ψ (r ) =		1+l−l′	,	(3.89)
	(−1)	2 g (r)Ω jl′m (Ω)

где угловая часть Ω jlm (Ω) – трехмерные шаровые спиноры, j – пол-

ный момент, l – орбитальный момент, m – проекция полного момента, r – модуль радиальной координаты электрона.

При нормировке

∞
∫ ( f 2 + g2 )r2dr = 1
0
для 1s1/ 2 состояния функции f и g имеют вид:
f = (2λ )3/ 2 E + 2 e−λr (2λr )γ−1	,
2Γ (2γ + 1)
g = − (2λ )3/ 2 −E e−λr (2λr )γ −1	,
2Γ (2γ + 1)

(3.90)

(3.91)

(3.92)

где λ = −E (E + 2) , γ = 1− (Zα)2 , E – энергия связи системы в единицах mc2, единица длины равна классическому радиусу элек-

трона	e2	= 2,818 10−13 см,	α =	e2	=		1	– постоянная тонкой
	mc2			c		137,036

структуры.

В случае нормировки (3.90) момент n-го порядка координаты электрона определяется выражением

rn	∞	( f 2 + g2 )rn+2dr =	1	Γ (2γ + n + 1)
	= ∫				.	(3.93)
			(2λ )n
	0			Γ (2γ + 1)

Абсолютные значения моментов координаты электрона трансурановых элементов с n = −2,...,3 приведены в табл. 6.

Элемент	Заряд ядра Z
U	92
Np	93
Pu	94
Am	95
Cm	96
Bk	97
Cf	98
Es	99
Fm	100
Md	101

Таблица 6

Радиальные моменты водородоподобных ионов трансурановых элементов в состоянии 1s1/2

r−2 ,см−2	r−1 ,см−1	r1 ,см	r2 ,см2	r3 ,см3
1,69 1021	2,35 1010	7,14 10–11	7,14 10–21	9,21 10–31
1,79 1021	2,39 1010	7,02 10–11	6,93 10–21	8,81 10–31
1,91 1021	2,44 1010	6,91 10–11	6,72 10–21	8,42 10–31
2,03 1021	2,49 1010	6,80 10–11	6,51 10–21	8,05 10–31
2,16 1021	2,54 1010	6,69 10–11	6,31 10–21	7,70 10–31
2,31 1021	2,60 1010	6,58 10–11	6,12 10–21	7,37 10–31
2,47 1021	2,65 1010	6,47 10–11	5,94 10–21	7,05 10–31
2,65 1021	2,71 1010	6,37 10–11	5,75 10–21	6,74 10–31
2,84 1021	2,76 1010	6,26 10–11	5,58 10–21	6,44 10–31
3,07 1021	2,82 1010	6,16 10–11	5,41 10–21	6,16 10–31

Гелиеподобные ионы

Для гелиеподобных ионов используется решение уравнения Дирака в минимальном приближении метода МУКФ, полученное в п. 3.1. Волновая функция состояния 0+ гелиеподобных ионов, соответствующая конфигурации 1s2, имеет вид

		Φ (r ,r )			1	M (ρ)U (Ω1	,Ω2 )
Ψ (r ,r	) =		1 2	=				,	(3.94)
			Χ (r1, r2 )
1 2					5 N (ρ)W (Ω1,Ω2 )
					ρ 2

где ρ = r1 + r2 – коллективная переменная и многомерные угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера

U (Ω1,Ω2 ) =		Γ (6) ϕ+ (Ω1 )			ϕ+ (	Ω2 )
					ϕ− (		,

			2! ϕ− (Ω1 )			Ω2 )	(3.95)
	Γ (6)		χ+ (Ω1 )	χ+ (Ω2 )		.
W =
				χ− (Ω2 )
	2! χ− (Ω1 )

Умножая уравнение Дирака для двухэлектронной системы на комплексно-сопряженную строку (U* W * ) и интегрируя по всем

угловым переменным, для амплитуд разложения ВФ (3.94) по двухкомпонентным МУФ можно получить

M ′ −	5 1				1				5α				5
		ρ	M −			E + 4		+	ρ	Z	−			N = 0 ,	(3.96)
	2				2								16

N′ +		5 1				1		5α				5
		2 ρ		N	+	2	E +		Z −					M = 0.	(3.97)

								ρ			16

В результате решения системы уравнений (3.96)– (3.97), подробно представленного в п. 3.1, для амплитуд разложения верхней

и нижней компонент ВФ основного (n				= 0) состояния 0+		гелие-
			r
подобных ионов тяжелых элементов получим
M (ρ) =	λ	E + 4	e−	λρ	(λρ)γ−1 ,
				2		(3.98)
	Γ (2γ − 1)
2
N (ρ) =	− λ	−E	e−	λρ	(λρ)γ−1 ,
				2		(3.99)
	Γ (2γ − 1)
2

где λ = −E (E + 4).

Момент порядка n гелиеподобных ионов в основном состоянии 0+ вычисляется по формуле

rn = rn

= ∫

∑rinMUdr1dr2

∫

∑rin NWdr1dr2. (3.100)

ρ5

2 i=1

Выполняя интегрирование по угловым переменным, для первого слагаемого момента n-го порядка получим


rn	=	Γ (6)Γ (n + 3)		∞∫ M 2 (ρ)ρndρ ,		(3.101)

1		Γ (3)Γ (n + 6) 0
аналогично			Γ (6)Γ (n + 3)		∞∫ N 2 (ρ)ρndρ .
rn	=					(3.102)

2			Γ (3)Γ (n + 6) 0

Таким образом, выражение для момента электронного радиуса гелиеподобных ионов

rn =	Γ (6)Γ (n + 3)	∞∫ (M 2 (ρ) + N 2 (ρ))ρndρ . (3.103)

	Γ (3)Γ (n + 6) 0

С использованием амплитуд (3.98) и (3.99) из формулы (3.83) можно получить аналитическое выражение момента n-го порядка.

Абсолютные значения моментов различных порядков для тяжелых элементов от урана до менделевия в состоянии 0+ представлены в табл. 7.

Таблица 7

Радиальные моменты гелиеподобных ионов тяжелых элементов в состоянии 0+

Элемент	Заряд ядра Z
U	92
Np	93
Pu	94
Am	95
Cm	96

r−2 ,см−2	r−1 ,см−1	r1 ,см	r2 ,см2	r3 ,см3
1,19 1021	2,33 1010	6,80 10–11	6,41 10–21	7,76 10–31
1,24 1021	2,38 1010	6,68 10–11	6,19 10–21	7,06 10–31
1,30 1021	2,43 1010	6,56 10–11	5,98 10–21	7,02 10–31
1,36 1021	2,48 1010	6,45 10–11	5,78 10–21	6,67 10–31
1,42 1021	2,53 1010	6,33 10–11	5,58 10–21	6,34 10–31

Элемент	Заряд ядра Z
Bk	97
Cf	98
Es	99
Fm	100
Md	101

Окончание табл. 7

r−2 ,см−2	r−1 ,см−1	r1 ,см	r2 ,см2	r3 ,см3
1,48 1021	2,58 1010	6,21 10–11	5,38 10–21	6,02 10–31
1,55 1021	2,63 1010	6,10 10–11	5,20 10–21	5,72 10–31
1,63 1021	2,69 1010	5,99 10–11	5,02 10–21	5,44 10–31
1,70 1021	2,75 1010	5,88 10–11	4,84 10–21	5,16 10–31
1,79 1021	2,81 1010	5,77 10–11	4,67 10–21	4,90 10–31

3.5. Решение для ионов в возбужденном состоянии 3S1

В минимальном приближении волновая функция состояния 3S1 гелиеподобных ионов, соответствующая электронной конфигу-

рации 1s12s1 , имеет вид
	Φ		1	MU
Ψ =		=			,	(3.104)
Ψ =		=	5		,	(3.104)
	Χ		5	NW
			ρ 2

где многомерные угловые функции представляют собой детерми-

нанты Слейтера									1					(		)			1 ( )			1		(			)		,
				U =					1		Γ			(	8	)			1 ( )			1		(	2		)		,
											Γ				8				ψ		1		ψ		2
																	ψ2 (1)						ψ2	(2)
								(−itρ)				2!					ψ2 (1)						ψ2	(2)										(3.105)
										1			Γ (8) ξ1								(1)		ξ1	(2)										(3.105)
				W =						1			Γ (8) ξ1								(1)		ξ1	(2)
																		ξ2			(1) ξ2			(2)
									(−itρ)						2!			ξ2			(1) ξ2			(2)
из базисных функций соответственно
ψ =			1		Ω					,									ξ =			1			Ω						,
ψ =			Γ (3)		Ω				01	,									ξ =			Γ (3)			Ω			111			,
1			Γ (3)					1	01										1			Γ (3)						111
								2	2																			2		2				(3.106)
			1						(−itr )Ω													1				L2 (				−itr )Ω				(3.106)
ψ		=	1			L2										,			ξ		=	1												.
ψ		=				L2								01		,			ξ		=		Γ (4)									111		.
	2			Γ (4)			1					1		01						2			Γ (4)				1					111
												2			2																	2	2

Необходимо отметить, что коэффициент Клебша–Гордона

для этих базисных функций	1 1 1 1	11 = 1 , поэтому здесь и в
	2 2 2 2

дальнейшем они опущены.

Согласно общим формулам для МЭ оператора ∑σi pi (1.57)

i=1

и (1.58) для рассматриваемых ионов (А = 2, K = 1, κ = –1) можно записать

N (ρ)

N (ρ).

U ∑σi pi

= −

−

(3.107)

i=1

dρ

2ρ

ρ2

M (ρ)

W ∑σi pi 5

−

M (ρ).

(3.108)

i=1

ρ2

ρ 2

dρ

2ρ

Матричные элементы взаимодействия электронов с ядром представляют собой матричные элементы от одночастичных операторов и выражаются суммами МЭ по базисным функциям. Для электронной конфигурации 1s12s1 МЭ равны

2 αZ		U	2	αZ	ψi ,	(3.109)
U ∑ r		U	= ∑ ψi	r	ψi ,	(3.109)
i=1	i		i=1	i
2	αZ	W	2	αZ	ξi .	(3.110)
W ∑ r		W	= ∑ ξi	r	ξi .	(3.110)
i=1	i		i=1	i

С использование общих формул МЭ элекрон-ядерного взаимодействия (1.36), (1.37) и учетом суммирования по орбиталям окончательно для МЭ взаимодействия электронов с ядром для гелиеподобных ионов в возбужденном состоянии 3S1 имеем

2	αZ	U	=	7αZ	,	(3.111)
U ∑	r			ρ
i=1
	i

						67
2	αZ	W	=	7αZ	.	(3.112)
W ∑	r	W	=	ρ	.	(3.112)
i=1	r			ρ
i=1	i

Вычисление МЭ взаимодействия электронов между собой проводится аналогично тому, как это было сделано для основного состояния гелиеподобных ионов. Непосредственное раскрытие определителей показывает, что для МУФ верхней компоненты ВФ гелиеподобных ионов

						α
				U	r − r U				=
					1		2
= ψ* (1)ψ*		(2)		α		ψ	(1)ψ	2	(2) − ψ	(2)ψ	2	(1) . (3.113)
				α

1	2		r1	− r2		1			1
			r1	− r2

Ортогональность базисных функций, соответствующих электронам на 1s оболочке, обеспечивается ортогональностью спиновых функций, следовательно обменная часть рассматриваемого МЭ равна нулю.

С учетом нормировки прямая часть слагаемого имеет вид

Pэ-э=

Γ (8)

+∞∫

e−itρ

dt ×

(−it)2+3

2πρ8 −∞

∫

eit(r1

+r2 )ψ*(1)

ψ*

(2)

(1)ψ

(2)dr dr .

(3.114)

− r2

В результате интегрирования по угловым и радиальным переменным с использованием мультипольного разложения

1		= ∑	4π	Yqν (Ω1 )Yqν (Ω2 )	rq
					<	(3.115)
	r − r		2q + 1		rq+1

		qν
	1 2				>
	1 2				>

для прямого члена было получено

P	=	7	α .	(3.116)
		4
э-э			ρ

При вычислении прямого члена МЭ для МУФ нижней компоненты ВФ

Qэ-э (ρ) =

W =

r1 − r2

= ξ* (1)ξ*

(2)

(1)ξ

(2)

− ξ

(2)ξ

(1) . (3.117)

− r2

Аналогичным образом можно получить

α .

(3.118)

э-э

В результате решения уравнения Дирака в нулевом приближении метода МУКФ для тяжелого иона с произвольной степенью ионизации получено общее выражение энергии связи [21]:

−1/ 2

(cZ − d )

E =

−1 . (3.119)

Anr +

− (cZ − d )

A a

Входящие в (3.119)

коэффициенты для состояния

1s12s1: A = 2,

n = 1, a =

, c = 7,

d =

. В табл. 8

приведены рассчитанные по

приведенной формуле значения энергии связи.

Таблица 8

Энергия связи гелиеподобных ионов

трансурановых элементов в состоянии 1s12s1

Элемент

Заряд

Энергия

Элемент

Заряд

Энергия

ядра Z

связи

ядра Z

связи

Е, кэВ

–165,49

–188,80

–169,94

–193,80

–174,50

–198,90

–179,16

100

–204,14

–183,93

101

–209,49

В табл. 9 сравниваются значения энергии связи гелиеподоб-

ного иона урана в состоянии 1s12s1 , полученные различными методами.

				Таблица 9
Энергии связи для гелиеподобного 1s12s1			иона урана
Методы	МУКФ	[15]		АТОМ [16]
Энергия связи, кэВ	–165,49	–166,15		–161,19

Амплитуды разложения ВФ (рис. 9) имеют вид

M (ρ) =

E + 4 e−

λρ

(λρ)γ −1 AF (−1,2γ − 1,λρ) + B ,

N (ρ) = −

−E e−

λρ

(λρ)γ−1 AF (−1,2γ − 1,λρ) − B ,

где

λ (a + m)

(2γ −1)

A =

2 Γ

(

)

(2γ −1) + (a + m)

2γ −1

B =

−nr

A =

−nr

(2γ −1)

)

(2γ −1) + (a + m)

a + m

(

Γ 2γ −1

(3.120)

(3.121)

(3.122)

(3.123)

и коэффициент

m =	α (cZ − d )	.	(3.124)

	λ

Из рис. 9 видно, что амплитуды разложения верхней и нижней компонент ВФ имеют по одному нулю. Это иллюстрирует выполнение осциляторной теоремы для рассмотренного состояния.

С использованием амплитуд разложения ВФ была получена электронная плотность гелиподобного иона урана в состоянии 3S1 , аналитическое выражение которой

n(r) =	Γ (8)	∞∫	(M 2 (ρ) + N 2 (ρ))(ρ − r )2 (ρ − 2r )2	dρ . (3.125)

	2πΓ (5) r		ρ7

Результаты расчетов электронной плотности иона урана, выполненные по формуле (3.125), представлены на рис. 10.

0,2

0,1

N(r)

0
–0,1		M(r)
–0,2		M(r)
–0,2
–0,3
–0,4 0	5	10	15	20	25
				r 3,86 10–11 см

Рис. 9. ВФ гелиеподобного иона в состоянии 3S1

0,4

nU (r)r2

0,3

0,2

0,1

r 3,86 10–11 см

Рис. 10. Электронная плотность гелиеподобного иона урана в состоянии 3S1 (1s12s1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]