Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

I2 (k ) =

(−it)

.

(5.20)

(k2 + (−it)2 )2

∫

(−it)2

dk = (−it)24π∫

1

dk =

k2

(k2 + (−it)2 )4

(k2 + (−it)2 )4

1

7

1

{(−it)

}

1

Γ

Γ

5π

2

= 4π (−it)

2

2

2

2 2

=

. (5.21)

2 (−it )2

4

Γ (4)

8(−it)5

Pэ1-−э

2

Γ (16) α 5π2 +∞

e−itρ

Γ (16) 5α 2πρ14

75 α

=

−∫∞

dt =

=

ρ

. (5.22)

2πρ15

2π2

8

(−it )15

2πρ15

16

Γ (15)

16

(Pэ1-−э3 )

=

Γ (16)

+∞∫

e−itρ

dt

×

пр

2πρ15 −∞ (−it)10

×

∫

eit(r1+r2 )ψ* (1)ψ* (2)

α

ψ

(1)ψ

3

(2)dr dr .

(5.23)

1

3

r1 − r2

1

1

2

С использованием представления (5.13) можно записать

(Pэ1-−э3 )

=

Γ (16)

+∞∫

e−itρ

dt

1

∫

α

I1 (k )I3 (k )dk ,

(5.24)

2π2

пр

2πρ15 −∞ (−it)10

k2

где

(−it)

I1 (k ) = ∫ψ1+ (r1 )eitr1+ikr1ψ1 (r1 )dr1

=

,

(5.25)

(k2 + (−it)2 )2

103

I3 (k ) = ∫ψ3+ (r2 )eitr2 +ikr2 ψ3 (r2 )dr2 .

(5.26)

Интеграл по угловым переменным (5.26)

имеет такой же вид,

как и для интеграла I1 (k ), и дает следующий результат:

+

(r2 )e

−ikr

(r2 )dΩr =

2π 1

−ikr

x

1 eikr2

− e−ikr2

∫Ω 1

2

Ω 1

∫ e

2

dx =

2

. (5.27)

2

0−

20−

2

4π −1

ikr2

1

eikr2

− e−ikr2

I3 (k ) =

∫ L12 (−itr2 )eitr2

r22 L12 (−itr2 )dr2 =

2Γ (4)

ikr

2

=

1

∫

L12

(−itr2 ) 2 (eir2(k +t) − e−ir2(k −t) )r2dr2.

(5.28)

12ik

С учетом явного вида полинома Лагерра можно записать

I

(k )

=

1

3 − (−itr

) 2

(

eir2(k +t) − e−ir2(k −t)

r dr

=

12ik

3

∫

2

) 2 2

=

1

∫

9 − 6(−itr2 ) + (−itr2 )2 (eir2(k +t) − e−ir2(k −t) )r2dr2 =

12ik

(k2 (−it)3 − (−it)5 )

3(−it )

2k2 (−it) − 6(−it )3 4

=

+

−

=

(k2 + (−it)2 )2

(k2 + (−it)2 )3

(k2 + (−it)2 )4

=

((−it)5 − 2k2 (−it )3 + (−it)5k4 )

.

(5.29)

(k2 + (−it )2 )4

Таким образом, в выражении (5.24)

интеграл по переменной k

примет вид

(

+ (−it)5k

)

5

2

3

4

(−it)

((−it) − 2k

−it)

4π (−it)

2

dk =

×

∫ k2 (k2 + (−it)2 )2

(k2 + (−it )2 )4

2

1 11

3

9

5

7

5

Γ

Γ

5

Γ

Γ

5

Γ

Γ

2

2

×

(−it )

2 2

− 2

(−it)

2

+ 5

(−it )

2

=

12

Γ (6)

12

Γ (6)

12

Γ (6)

(−it)

(−it )

(−it)

1

7

2π

Γ

Γ

7

9

7

1

3

1

π

2

1

=

2 2

− 2

+

5

=

.

(5.30)

(−it )5

Γ (6)

(

−it )5

2

2

2

2

2

2

2

В результате для прямого члена (Pэ1-−э3 )

пр

можно получить

(Pэ1-−э3 )пр =

Γ (16) α π2 +∞ e−itρ

Γ (16) α 2πρ14

15α

2 −∫∞

dt =

4

=

.

(5.31)

2πρ15

2π2

(−it)15

2πρ15

Γ (15)

4ρ

Для вычисления обменного члена необходимо вычислить ин-

теграл вида

I13 (k ) = ∫ψ1+ (r1 )eitr1+ikr1ψ3 (r1 )dr1 .

(5.32)

Используя явный вид базисных функций, запишем

I13 (k ) =

1

∫ L12 (−itr1 )eitr1

eikr1 − e−ikr1

r12dr1 =

2

3Γ (3)

ikr1

(−it)

2 (−it) − 3(

−it)3

4k2 (−it )

=

1

3

+

k

=

1

.

(5.33)

3

(k2 + (−it )2 )2

(k2 + (−it)2 )3

3

(k2 + (−it)2 )3

В интеграл по переменной k выражение I13 (k )

войдет в квадрате

(Pэ1-−э3 )

=

Γ (16)

+∞∫

e−itρ

dt

1

1

∫

α

I13 (k )I13 (k )dk ,

(5.34)

обм

2πρ15 −∞ (−it)10

2π2 3

k2

тогда

1

I13 (k )I13 (k )dk =

∫

2

k