Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

′′

+ A2 E (E + 2A)M = 0 ,

(1.71)

определяющее поведение решений на бесконечности

−

λρ

, N (ρ) B exp

−

λρ

(1.72)

M (ρ) Aexp

λ = −E (E + 2A).			(1.73)
Связь постоянных A, B находим из асимптотических уравнений
A = −B	E + 2A	.	(1.74)

	−E
Для упрощения дальнейших выкладок удобно провести за-
мену переменных, определив
r = λρ ,			(1.75)

что позволяет представить систему уравнений для амплитуд разложения в виде:

	a		1 E + 2A			αP
M ′ −	1	M −			+	1	N = 0	,	(1.76)
				λ
	r		A			r

	a		1	E		αP
N′ +	2	N +			+	2	M = 0 .	(1.77)
				λ
	r		A			r

Исследования поведения решений этой системы в нуле и на бесконечности, аналогичные [9], указывают, что целесообразно искать ее решения в следующей форме:

M (r ) = E + 2Ae−r / Arγ−1 (Q + Q			),	(1.78)
	1	2
N (r ) = − −Ee−r / Arγ −1 (Q − Q		) .		(1.79)
1	2

После подстановки этих выражений для неизвестных функций в уравнения системы получаем

							r
′			′					(Q1 + Q2 ) +
′			′		γ − 1− a1 −
r (Q1	+ Q2 ) +				γ − 1− a1 −
							A
		r		αP		−E	(Q1 − Q2 ) = 0 ,
+			+	1					(1.80)
+			+	1					(1.80)
		A		A
		A		A		E + 2A

							r
′			′		γ − 1+ a2 −			(Q1 − Q2 ) +
′			′
r (Q1	− Q2 ) +
							A
		r		αP		E + 2A	(Q1 + Q2 ) = 0 .
+			−	2					(1.81)
+			−	2					(1.81)
		A		A		−E
		A		A		−E

Заметим, что при выводе этих уравнений были использованы

соотношения

−E

E + 2A

= 1,

E + 2A −E

= 1.

(1.82)

E + 2A

−E

Если последовательно сложить и вычесть эти уравнения, то

они примут вид

+ n Q

rQ′

γ −1−

− a2

−

a1 + a2

+ m

= 0 ,

(1.83)

rQ′

γ −1−

a1 − a2

− 2r − n

−

a1 + a2

− m

Q = 0 .

(1.84)

В этих уравнения для краткости записи введены обозначения

2n =

−E

αP1 −

E + 2A

αP2

(1.85)

E + 2A

−E

2m =

−E

αP1 +

E + 2A

αP2

(1.86)

E + 2A

−E

Для решения последней системы продифференцируем первое

уравнение по r

γ −

Q′ −

+ m Q′

rQ′′ +

− a2

+ n

a1 + a2

= 0 .

(1.87)

а из второго уравнения найдем выражения для

Q′

= 1

a1 + a2

− m Q −

γ −

−

a1 − a2

− n

− 2r Q

. (1.88)

Подстановка этого выражения в первое уравнение дает

rQ′′ + γ + n −

a1 − a2

Q′ −

a1 + a2

+ m

a1 + a2

− m

− γ − 1

−

− a2

− n

= 0.

(1.89)

Если вновь из первого уравнения найти

rQ′

γ −1

−

a1 − a2

+ n

(1.90)

+ a

+ m

и подставить в предыдущее выражение, то можно получить уравнение, содержащее только неизвестную функцию Q1 :

′′

2γ − 1− (a1 − a2 ) −

′

a1 − a2

−

γ − 1

−

+ n Q1

−

rQ1

a + a

a − a

−

− m2

−

γ − 1

−

− n2

= 0.

(1.91)

Выражение в квадратных скобках можно упростить, если учесть, что

−E

E + 2A

n2 − m2

P1 −

−

E + 2A

−E

E + 2A

−α

P1P2

−

P +

(1.92)

E + 2A

−E

Следовательно, последнее слагаемое в дифференциальном уравнении для Q1 равно нулю:

a + a		2	2				a − a	2	2
	1			− m2	−	γ − 1−	1			+ n2	=
	2						2

a + a		2	2	a + a		2	2		α2 P P		α2 P P
=	1			−	1			+	1 2	−	1 2	= 0.	(1.93)
	2				2				A		A

И окончательно получим уравнение для функции Q1 :

′′

′

a1 − a2

2γ − 1− (a1

− a2 ) −

−

γ − 1−

+ n Q1

= 0.

(1.94)

rQ1

Аналогичным образом можно получить уравнение для функ-

ции Q2 :

′′

2γ − 1− (a1

− a2 ) −

′

a1 − a2

−

γ + n −

= 0.

(1.95)

rQ2

Уравнения (1.94), (1.95), полученные для функций Q1

и Q2 ,

представляют собой уравнения для гипергеометрических функций, поэтому их решения могут быть записаны в виде


Q	(r) = A F		2		γ − 1−			a1 − a2			+ n		, 2γ − 1− (a				− a		),		2r		,	(1.96)
Q	(r) = A F				γ − 1−						+ n		, 2γ − 1− (a				− a	2	),				,	(1.96)
1		0							2						1			2			A
			A						2												A
Q		(r ) = B F		2		γ −	a1		− a2	+ n		, 2γ − 1		− (a		− a		),		2r		.		(1.97)
Q		(r ) = B F				γ −				+ n		, 2γ − 1		− (a		− a		),				.		(1.97)
	2	0							2					1			2			A
				A					2											A

Обе гипергеометрические функции должны сводиться к полиномам, иначе они будут экспоненциально возрастать на бесконечности. Гипергеометрическая функция будет иметь вид полинома, если ее первый параметр равен отрицательному целому числу или нулю. Следовательно, из условия конечности волновой функции можем потребовать, чтобы

2	γ −1−	a1	− a2	+ n	= −n .	(1.98)

			2		r
A

При nr = 1, 2,… обе гипергеометрические функции сводятся к полиномам. Случай nr = 0 требует специального рассмотрения.

При n = 0 также γ −1+ n −

a1 − a2

= 0 . Из уравнений для Q функ-

ций при r = 0 можно получить

γ −1− a1

− a2 + n

A −

a1 + a2

+ m

B = 0 ,

(1.99)

γ −1− a1

− a2 − n

−

a1 + a2

− m

A = 0 .

(1.100)

Условие равенства отношения A0 , определенного из первого

и второго уравнений, дает a1 +2 a2 + m ≠ 0 .

Если переписать соотношение (1.93) в форме

			a − a			2	a		+ a	2	2
	γ −1−		1		2		− n2 =	1			− m2 ,	(1.101)

			2						2
тогда при n = 0		a1	+ a2	− m			= 0 , поэтому из уравнений для коэф-

r			2

фициентов A0	и B0		имеем B0 = 0. На основании этого можно сде-

лать вывод, что при nr = 0 имеем Q2 = 0, Q1 ≠ 0, в то время как при nr ≠ 0 обе функции отличны от нуля.

ГЛАВА 2. Некоторые свойства уравнения Дирака для систем с кулоновским взаимодействием

Интерес к описанию корреляционных эффектов в высокоионизированных атомах сохраняется уже на протяжении 70 лет. Трудности исследования этой проблемы, в частности, связаны с тем, что мощные вариационные методы, развитые в нерелятивистской квантовой механике, прямо не применимы к решению уравнения Дирака. В последние годы наибольшее распространение получил многоконфигурационный метод Дирака–Фока, однако ему свойственна медленная сходимость вследствие разложения углового момента. Использование «квазиточных» корреляционных функций, зависящих от относительного изменения межэлектронного расстояния r12 , требует обобщения вариационных принципов типа

метода Пуанкаре. Задача усложняется также тем, что оператор Дирака имеет отрицательный энергетический континуум, т. е. он неограничен, что приводит к наличию ложных состояний при решении уравнения Дирака для кулоновских систем. При этом число ложных состояний для разных частиц разное. Более подробно проблема ложных состояний будет рассмотрена ниже.

Развиваемый в последнее время метод многомерных угловых кулоновских функций (МУКФ) [2, 3] для решения уравнения Дирака с использованием шести- и девятимерных спиноров (для гелие- и литиеподобных ионов соответственно) также является вариационным. Однако этот метод использует коллективные переменные, что позволяет учесть также корреляцию в движении электронов. Еще одним преимуществом развиваемого метода является возможность получения аналитических решений уравнения Дирака. Полученные выражения для 3А-мерных спиноров используются для исследования свойств многоэлектронного оператора Дирака.

В данном разделе показано, что для полученных аналитических решений уравнения Дирака строго выполняется равенство средних значений потенциальной энергии и матричного оператора

∑σi pi , что указывает на хорошую точность аналитических реше-

i=1

ний [12].

Все результаты по свойствам гелие-, литие-, бериллие- и углеродоподобных ионов предполагается использовать для моделирования свойств высокотемпературной плазмы.

2.1.Среднее значение гамильтониана уравнения Дирака

вметоде МУКФ

Гамильтониан уравнения Дирака для описания многоэлек-

тронного иона можно записать следующим образом:

αZ

∑

− ∑

ri − rj

i> j

i=1

HD = i=1

αZ

∑

− ∑

ri − rj

i> j

i=1

∑cσi pi

i=1

(2.1)

−2A

∑cσi pi

i=1

где А – число электронов, Z – заряд ядра.

Среднее значение гамильтониана можно представить через матричный элемент (МЭ) потенциальной энергии и матричного

A
оператора ∑cσi pi :
i=1	− ∑ α	Φ − Χ* ∑ αZ	− ∑ α
Ψ* HD Ψ = − Φ* ∑ αZ	− ∑ α	Φ − Χ* ∑ αZ	− ∑ α	Χ −
A	A	A	A
i=1 ri	i> j ri − rj	i=1 ri	i> j ri − rj
	i=1		i=1

A	A
− Χ* 2A Χ + Φ* ∑cσi pi Χ +	Χ* ∑cσi pi Φ , (2.2)
i=1	i=1

где Ф и Х – верхняя и нижняя компоненты волновой функции соответственно.

Для каждого из слагаемых (2.2) в минимальном приближении метода МУКФ можно записать:

Vpot1

Φ*

αZ

∑

− r

− ∑

i> j

i=1

= ∫ M 2 (ρ)

αZ U

dρ ,

(2.3)

U* ∑

− ∑

i> j

− r

i=1

Vpot2

Χ*

αZ

∑

− r

− ∑

i> j

i=1

= ∫ N 2 (ρ)

αZ W

dρ ,

(2.4)

W * ∑

− ∑

i> j

− r

i=1 ri

i=1

Χ* 2A Χ = 2A∫ N 2

W * W dρ = 2A∫ N 2 (ρ)dρ ,

(2.5)

T 1 =

Φ* ∑cσi pi Χ

∫

∑cσi pi

2 A+2K −1

dρ, (2.6)

2 A+2K

−1

i=1

T 2 =

Χ* ∑cσi pi Φ

= ∫

W *

∑cσi pi

2 A+2K −1

dρ. (2.7)

2 A+2K −1

i=1

								29
	С учетом полученных в гл. 1 выражений для МЭ можно
представить (2.3)–(2.7) в виде
Vpot1		1) αZ		−	U* ∑	α	U
Vpot1	= −∫ M 2 (ρ) ∑ (3A + 2K −	1) αZ		−	U* ∑	α	U	dρ, (2.8)
	A				A
	i=1 2Γ (ni + 1)		ρ		i> j ri − rj
					i=1
Vpot2				−	W * ∑	α	W
Vpot2	= −∫ N 2 (ρ) ∑ (3A + 2K − 1) αZ			−	W * ∑	α	W	dρ, (2.9)
	A				A
	i=1 2Γ (ni + 1)		ρ		i> j ri − rj
					i=1

1 = ∫ M (ρ)×

dN (ρ)

1− κω − Γ (ni + 1)

3A + 2K − 1

×∑

−

N (ρ) dρ,

(2.10)

dρ

2Γ (n

+ 1)

2 = ∫ N (ρ)×

dM (ρ)

1+ κω + Γ (ni + 1)

3A + 2K − 1

×∑

−

M (ρ) dρ.

(2.11)

dρ

2Γ (n

+ 1)

Рассмотрим

выражения средних значений

потенциальной

энергии

матричного оператора

∑cσi pi

(2.8)–(2.11) примени-

i=1

тельно к основному состоянию 1S0					гелиеподобных ионов.
В минимальном приближении волновая функция состояния
1S0 гелиеподобных ионов,	соответствующая							конфигурации 1s2,
имеет вид						MU
	Φ			1
Ψ =		=					,	(2.12)
					5
	Χ					NW
			ρ 2

где многомерные угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера

U =

Γ (6) ϕ+ (1)

ϕ+ (2)

W =

Γ (6) χ+ (1)

χ+ (2)

χ− (1)

(2.13)

ϕ− (1)

ϕ− (2)

χ− (2)

из базисных функций соответственно

ϕ± =

Ω 1

, χ± =

Ω 11± .

(2.14)

Γ (3)

0±

Γ (3)

Амплитуды разложения волновой функции имеют вид (вывод данных выражений, как и выражения для энергии связи рассматриваемой системы, приводится в следующем разделе):

E + 4

λρ

M (ρ) =

e− 2

(λρ)γ−1 ,

(2.15)

Γ (2γ − 1)

−

−E

λρ

N (ρ)

e− 2

(λρ)γ−1 ,

(2.16)

Γ (2γ − 1)

где λ =

−E (E + 4) .

С учетом значений матричных элементов электрон-ядерного

и межэлектронного

взаимодействий

αZ

5αZ

U ∑

i=1

2 αZ

5αZ

25 α

W ∑

r − r

− r

i=1

− 1 ,

и энергии связи E =

− α

Z −

полученных в работе

[13], имеем λ =

2α Z −

Vpot = Vpot1 + Vpot2 = −5α Z − 5 ∫(M 2 (ρ) + N 2 (ρ))ρ1 dρ . (2.17)

Сучетом выражений (2.15) и (2.16) для среднего значения потенциальной энергии можно получить

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]