Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

где выражения в скобках представляют коэффициенты Клебша– Гордона. Так как из выражения (3.22) допускаются значения

q = 0, 2 , то qν	1 1 1	−	1	= 0 , следовательно Jобм = 0.
	2 2 2		2

Окончательно для МЭ межэлектронного взаимодействия между нижними компонентами ВФ можно получить

W	r	α	W	=	25 α .	(3.23)
	r	− r			16 ρ
	1	2

С учетом полученных значений МЭ уравнения для амплитуд разложения ВФ по двухкомпонентным МУФ принимают следующую форму:


M ′ −	5	1 M −		1	E + 4 + 5α				Z −				5		N =	0 ,	(3.24)
M ′ −	2	1 M −		2	E + 4 + 5α				Z −			16			N =	0 ,	(3.24)
	2	ρ		2				ρ				16
N′ +		5 1	N + 1			E +	5α	Z −			5			M = 0,			(3.25)
N′ +		2 ρ	N + 1			E +	ρ	Z −		16				M = 0,			(3.25)
		2 ρ		2			ρ			16

где штрих обозначает производную по ρ .

В гл. 1 подробно рассматривалось решение данной системы, которое для гелиеподобных ионов записывается следующим образом:

M (r ) = E + 4e−r / 2rγ−1 (Q + Q			) ,	(3.26)
1	2
N (r ) = − −Ee−r 2rγ −1 (Q − Q		) .		(3.27)
1	2

Используя общие формулы для функций Q1 и Q2, для рассматриваемых в данном разделе гелиеподобных ионов можно получить следующие выражения:

Q1 (r) = AF (γ −1+ n,2γ −1,r ),	(3.28)
Q2 (r) = BF (γ + n,2γ −1,r ) .	(3.29)

Напомним, что ранее было получено Q2 = 0, Q1 ≠ 0 при nr = 0, в то время как при nr ≠ 0 обе функции отличны от нуля.

Для нахождения спектра 0+ -состояний гелиеподобных ионов в релятивистском варианте метода МУКФ обозначим

F =	−E	,	(3.30)
	E + 4

что позволяет в общем виде получить для энергии связи релятивистского иона

E = −	4F 2		.	(3.31)
	1	+ F 2

Анализ этого выражения указывает, что энергия связи действительно отрицательна. Для случая nr = 0 определение параметра F можно найти из условия

	5		2			5 2		5			5		1
−		1− α		Z −			=		α Z −			F −		.	(3.32)
	2				16			4		16
													F

Из решения последнего квадратного уравнения находим

	1			2			5	2
	1			2			5		± 1 .
F = −			1− α		Z −					(3.33)
F = −		5	1− α		Z −	16				(3.33)
		5				16
	α Z −
	α Z −	16
		16

Подставив выражение (3.33) в формулу для энергии (3.31), получим

		2		5	2
		2		5		−1
E = 2	1− α		Z −				,	(3.34)
E = 2	1− α		Z −				,	(3.34)
				16

что без учета постоянной поправки K = 1,52 эВ согласуется с выражением энергии основного состояния гелиеподобных ионов в [19].

Качественный анализ полученных результатов проведем для

случая αZ 1. Тогда приближенно можно записать
	α		5
F ≈	Z −			,	(3.35)
			16
	2
Пренебрегая взаимодействием электронов, можем получить
	F ≈	αZ	,		(3.36)

	2

что для энергии связи двух невзаимодействующих электронов дает

	43
E = − (Zα )2 .	(3.37)

Это выражение совпадает с удвоенным значением энергии связи двух электронов с полными моментами j = 0,5 при nr = 0

			E = −			(Zα)2																(3.38)
			E = −			2			.													(3.38)
Полная энергия						2
Полная энергия																2
							2							5		2
ε = 2 − E = 2 1						− α		Z		−							.					(3.39)
ε = 2 − E = 2 1						− α		Z		−		16					.					(3.39)
												16

Для уровней с		nr > 0		энергию связи находим из уравнения
(1.98), из которого получим
1		n + γ −1								(n					+ γ −1)2
F = − 2		r			± 1+								r								.	(3.40)
F = − 2	5			5	± 1+				25					2					5	2		(3.40)
		α Z −							25					2					5	2
4		α Z −							4		α				Z −			16
4			16						4									16

Это значение F необходимо подставить в выражение для энергии связи (3.31).

В заключение заметим, что кулоновское взаимодействие электронов не является релятивистски-инвариантным. Поправками в следующем (по с–1) приближении является брейтовское взаимодействие, члены которого имеют орбитальное, спин-орбитальное и спин-спиновое происхождение. Обычно они учитываются в силу их малости по теории возмущения. Очевидно, что учет этих поправок может быть проведен стандартными методами, поэтому в данной работе они не рассматриваются. Однако в случае необходимости увеличения точности расчетов для спектроскопических целей аналогично могут быть учтены и радиационные поправки.

3.2.Энергии и волновые функции гелиеподобных ионов

сZ = 92–101

Для построения ВФ необходимо обеспечить условие нормировки

∞	(M 2	(ρ) + N 2 (ρ))dρ = 1.
∫	(M 2	(ρ) + N 2 (ρ))dρ = 1.	(3.41)
0

В случае nr = 0 амплитуды разложения ВФ по двухкомпонентным МУФ можно записать в виде

M (ρ) = A	E + 4e−λρ / 2 (λρ)γ −1 F (0,2γ −1,λρ) ,	(3.42)
N (ρ) = − A	−Ee−λρ 2 (λρ)γ−1 F (0,2γ −1,λρ) ,	(3.43)

где А – нормировочная константа. В результате подстановки этих выражений в (3.41) получим

A =	λ	.	(3.44)
	2 Γ (2γ −1)
В случае, когда квантовое число nr		отлично от нуля, ампли-

туды разложения ВФ по двухкомпонентным МУФ можно записать следующим образом:

M (ρ) = E + 4e−λρ / 2 (λρ)γ−1 ×

×(AF (−nr ,2γ − 1,λρ) + BF (−nr + 1,2γ − 1,λρ)) ,	(3.45)
N (ρ) = − −Ee−λρ 2 (λρ)γ −1 ×
×(AF (−nr ,2γ − 1,λρ) − BF (−nr + 1,2γ − 1,λρ)) ,	(3.46)

где нормировочные константы А и В, полученные из выражений

(1.99) и (3.41), имеют вид:

+ m

Γ (2γ + nr −1)Γ (nr + 1)

A =

(3.47)

2nrΓ (2γ −1)

+ m 2

+ n

(2γ + n − 2)

B = −

Γ (2γ + nr −1)Γ (nr + 1)

(3.48)

2Γ (2γ −1)

5 + m 2 + n (2γ + n − 2)

									45
		5			2			5	2
где γ = 1+			1	− α			Z −		, величина m определяется выражени-
где γ = 1+		2	1	− α			Z −	16	, величина m определяется выражени-
		2						16
				5
	5α Z −
	5α Z −			16
ем m =				16		и λ = −E (E + 4) .
ем m =			λ			и λ = −E (E + 4) .
			λ

Рассчитанные значения γ для некоторых трансурановых элементов представлены в табл. 4.

Таблица 4

Значения γ в зависимости от заряда ядра трансурановых элементов

Z	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101
γ	2,858	2,842	2,825	2,808	2,790	2,771	2,753	2,735	2,715	2,696

Энергия связи релятивистского водородоподобного иона [9]

−

(Zα )

= m 1+

(3.49)

κ2

− (Zα )2 + n

где

m = 0,510986 МэВ,

для

рассматриваемой

конфигурации 1s1

κ = –1.

В приведенных

расчетах

постоянная

тонкой

структуры

α =

137,036

Для расчета энергии связи релятивистского гелиеподобного

иона в основном (n = 0)

состоянии 0+

используется выражение

−1 ,

E = 2

1− α

Z −

(3.50)

для случая nr ≠ 0

															−1/ 2
							5 2			5		2
						2	5 2			5		2
					α			Z −
					α			Z −		16
							2			16
E = 2	1	+														− 1 .	(3.51)
E = 2	1	+												2		− 1 .	(3.51)
					+ 5 1− α2				Z −			5	2
			2n									5
			2n
				r		2					16
						2					16

Результаты расчета энергии связи релятивистского гелиеподобного иона для нескольких квантовых чисел nr приведены в

табл. 5, где для сравнения даны значения энергии связи релятивистского водородоподобного иона, вычисленные по формуле (3.49).

Таблица 5

Энергия связи водородоподобных и гелиеподобных ионов трансурановых элементов в состоянии 0+

	Элемент	Заряд ядра Z
	U	92
	U	92
	Np	93
	Pu	94
	Am	95
	Cm	96
	Bk	97
	Cf	98
	Es	99
	Fm	100
	Md	101

Энергия связи Е, кэВ Квантовое число nr

0	1	2	0	1	2
Водородоподобные ионы			Гелиеподобные ионы
–132,276	–34,214	–14,669	–262,449	–139,958	–84,335
–132,276	–34,214	–14,669	–262,627*	–139,958	–84,335
–135,685	–35,129	–15,045	–269,229	–143,748	–86,610
–139,165	–36,064	–15,430	–276,146	–147,623	–88,936
–142,716	–37,020	–15,822	–283,203	–151,588	–91,315
–146,339	–37,998	–16,221	–290,405	–155,644	–93,748
–150,038	–38,998	–16,629	–297,754	–159,795	–96,238
–153,813	–40,021	–17,045	–305,257	–164,044	–98,786
–157,668	–41,068	–17,470	–312,917	–168,395	–101,394
–161,606	–42,140	–17,9031	–320,740	–172,851	–104,065
–165,629	–43,237	–18,346	–328,732	–177,417	–106,802

Примечание. * – результаты расчетов, полученные по программе GRASP [14] М. А. Вронским и В. А. Кареповым.

Анализ результатов указывает на хорошее согласие расчетов энергии связи основного состояния гелиеподобного урана с расче-

тами по программе GRASP. Однако спектр возбужденных 0+ уровней иона урана различается, что, по мнению авторов, связано со строгим учетом принципа Паули, правильными асимптотиками многоэлектронных ВФ и учетом коллективных эффектов в развиваемом методе.

Выражения для нормированных ВФ гелиеподобных ионов в состоянии 0+ можно представить в следующем виде:

– для основного состояния, nr = 0:

M (ρ) =	λ E + 4	e−	λρ	(λρ)γ −1 ,
			2
	Γ (2γ − 1)
2
N (ρ) =	− λ −E	e−	λρ	(λρ)γ −1 ;
			2
	Γ (2γ − 1)
2

– для первого возбужденного состояния, nr = 1:

M (ρ) =

λ E + 4

Γ (2γ )

2Γ (2γ − 1)

+ m

+ 2γ − 1

λρ

×e−

2 (λρ)γ −1

+ m

−

− 1

2γ − 1

N (ρ) =

− λ −E

Γ (2γ )

2Γ (2γ − 1)

+ m

+ 2γ − 1

λρ

×e−

2 (λρ)γ −1

+ m

1−

+ 1

;

2γ − 1

– для второго возбужденного состояния, nr = 2:

	λ E + 4		Γ (	2γ )	e−	λρ
M (ρ) =						2 (λρ)γ −1 ×
	4Γ (2γ − 1) 5		2
			+ m	+ 2γ − 1
		2

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

2λρ

(λρ)2

λρ

+ m 1

−

− 2

1−

(3.56)

2γ − 1

2γ (2γ − 1)

N (ρ) =

−

−E

Γ (2γ )

4Γ (2γ − 1)

+ m

+ 2γ −

−

λρ

γ −1

2λρ

(λρ)2

λρ

×e

2 (λρ)

+ m 1

−

+ 2 1−

, (3.57)

2γ − 1

2γ (2γ − 1)

2γ − 1

где λ =

−E (E + 4) .

На рис. 1–3 показаны нормированные волновые функции ос-

новного

и возбужденных

состояний

гелиеподобного

иона

U92

в зависимости от пространственной координаты.

0,8

0,6

0,4

M(r)

0,2

–0,2

N(r)

–0,4

r 3,86 10–11 см

Рис. 1. ВФ основного состояния гелиеподобного иона урана (nr = 0)

0,3

0,2

0,1

–0,1

–0,2

–0,3

–0,40

0,3

0,2

0,1

–0,1

–0,2

N(r)

M(r)

r 3,86 10–11 см

Рис. 2. ВФ первого возбужденного состояния гелиеподобного иона урана (nr = 1)

M(r)

N(r)

5	10	15	20	25	30	35
					r 3,86 10–11 см

Рис. 3. ВФ второго возбужденного состояния гелиеподобного иона урана (nr = 2)

Рассчитанные волновые функции демонстрируют выполнение осциляторных теорем для верхней и нижней компонент для гелиеподобных ионов.

3.3. Электронная плотность гелиеподобных ионов тяжелых элементов

Полученные ранее аналитические решения многоэлектронного уравнения Дирака используются для расчета электронной плотности гелиеподобных ионов трансурановых элементов [20]. В этом разделе представлены результаты численных расчетов электронной плотности гелиеподобных ионов урана, плутония и менделевия.

Электронная плотность гелиеподобных ионов вычисляется по формуле

n	r	)	=	∫	Ψ	2	δ	r − r Ψdr dr .		(3.58)
(		)		∫		∑	(	i )	1 2

i=1

Подставляя в это выражение волновую функцию основного состояния 0+ гелиеподобных ионов в минимальном приближении, получим

δ (r − ri )

∑

MU dr dr

n(r) =

∫

(MU NW ) i=1

5 / 2

1 2

∑δ (r − ri )

i=1

(r − ri )MUdr1dr2

= ∫

∑δ

i=1

+∫

NW ∑δ (r − ri ) NWdr1dr2.

(3.59)

i=1

Таким образом, электронную плотность можно представить в виде суммы электронных плотностей верхней и нижней компонент биспинорной ВФ

n(r ) = ρ1 (r ) + ρ2 (r ) ,

(3.60)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]