Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

∫ f (r1 )δ (r − r1 )dr1 = f (r )

(4.71)

можно получить

Γ (3A + 2K )

e−it(ρ−r)

(

ρ,r

)

∞

∑

ψ2

r dt .

(4.72)

∫

2πρ3A+2K −1

−∞ (−it)3A+2K −3

Для литиеподобных ионов (А = 3, K = 1) с учетом базисных функ-

ций вида

(−itr )

L2 (−itr )

10−

1 0−

10+ 0

ψ1 =

, ψ2 =

, ψ3 =

Γ (3)

Γ (4)

(4.73)

(−itr)

L2 (−itr )

1−

1+ 0

1−

ξ1 =

, ξ2 =

, ξ3 =

Γ (3)

Γ (4)

можно получить

F (ρ,r) =

1 Γ (11) ∞

e−it(ρ−r)

−∞∫

4π

2πρ10

(−it)8

)

(

− 6(−itr ) + (−itr )

dt .

Γ (3)

Γ (4)

Учитывая значение интеграла

	∞	e−it(ρ−r)			2π(ρ − r )n−1	θ (ρ − r ),
	∫			dt =
	∫	(−it)n		dt =	Γ (n)
	−∞	(−it)n			Γ (n)
1,	ρ > r		, получим
где θ(ρ − r) =	ρ < r		, получим
0,	ρ < r

(4.74)

(4.75)

F (ρ,r) =

Γ (11)

(ρ − r )7

− 6

r (ρ − r )6

r2 (ρ − r )5

4πρ10

Γ (3)

Γ (4)Γ (7)

Γ (8)

Γ (4)

Γ (4)Γ (6)

Γ 11

(

ρ − r

)

×θ(ρ − r )

( )

− 12rρ +

θ (ρ − r). (4.76)

4πΓ (8)

Окончательное выражение для первого слагаемого электронной плотности можно записать в виде

(r ) =

Γ (11)

∞ M 2

(ρ)

(ρ − r )5 5

ρ2

− 12rρ +

dρ. (4.77)

∫

4πΓ (8) r

Аналогично можно записать выражение для функции G (ρ,r ):

G (ρ,r) =	Γ (3A + 2K ) ∞		e−itρ
		−∫∞		dt ×
	2πρ3A+2K −1		(−it)3A+2K −3
×∫eitr1 ∑ξω (r1 )δ (r − r1 )ξω (r1 )dr1.					(4.78)
	ω

Учитывая выражение базисных функций через сферические функции, можно записать

ξ1 (Ω)ξ1 (Ω) =

= 1

∑

1m1

1 μ 1 1

Y1*m (Ω) 1m2

1 μ 1 1

Y1m (Ω).

(4.79)

Γ (3) m m

2 2 2

Пользуясь теоремой сложения сферических функций, получим

(Ω)Y

(Ω) = (−1)m1 Y

(Ω)Y

(Ω) =

1−m

= (−1)m1

2 1+ 1

2 1+ 1 1010 J 0

1− m

JM Y

(Ω). (4.80)

4π

2J + 1

В результате выражение (4.79) примет вид

∑

3(−1)m1

1m1

1 μ 1 1

1m2

μ 1 1

4π 2J + 1

Γ (3) m m

μJ

2 2 2

JM YJM (Ω).

× 1010 J 0

1− m11m2

(4.81)

Воспользуемся свойствами коэффициентов Клебша–Гордона:

1 1

= (−1)1−m1

1 1 1

− μ =

1 2

2 2

1 2 2

1−m +1+ 1

− 1

−

1−m

1 −

1 2

= (−1)

2 2

− μ = (−1)

(−1)

2 2

																									93
	×		1 1		1	− m			1 μ		= (−1)1−m1					1 11− m				1		μ	,		(4.82)
			2 2				1		2							2 2		1		2
			1m			1	μ		1 1			1+ 1 −			1	1	μ1m		1 1				.		(4.83)
			1m			2	μ		2 2	= (−1)			2		2	2	μ1m		2 2				.		(4.83)
					2	2			2 2							2		2	2 2
Суммируя коэффициенты, получим
∑ (−1)		2−2m1				1 1		1− m1			1	μ	1	μ1m2			1 1	1− m11m2 JM =
∑ (−1)						2 2		1− m1			2	μ	2	μ1m2			2 2	1− m11m2 JM =
m1m2μ						2 2					2		2				2 2
m1m2μ
				1								1 1			1 1			1		1			1
=		2			+	1 (2J + 1)							JM				W		1		1;			J .	(4.84)
=		2		2	+	1 (2J + 1)						2 2	JM		2 2		W		1	2	1;		2	J .	(4.84)
				2								2 2			2 2			2		2			2

Учтем, что	1010 J 0	≠ 0 при J = 0, 2 и при J = 2 W 1																				1	11;	1 J = 0 ,
																			2				2	2
следовательно J = 0, таким образом, сумма (4.81) будет равна
3	2 1010 00					1 1 00				1 1 W 1111; 1							0	Y			(Ω) .				(4.85)
	4π					2 2				2 2									00
	4π					2 2				2 2			2 2 2
Воспользуемся свойствами коэффициентов Рака, получим
		1			1		1					1 1			1
	W		1			1;			0	= W				11;0			=
	W	2	1		2	1;	2		0	= W		2 2		11;0	2		=
		2			2		2					2 2			2
		1+		1 − 1							1							1
	= (−1)			2		2										= −				.					(4.86)
	= (−1)			2		2			2	1	+ 1 2 1+ 1					= −		6		.					(4.86)
									2	1	+ 1 2 1+ 1							6
										2
Учтем также, что 1010 00								= −		1	,	1 1		00 1 1			= 1.
										3		2 2		2 2

Собираявсекоэффициенты, получим, чтосумма(4.81) равна 41π.

Аналогично тому, как было получено выражение для функции F, можно получить

G (ρ,r) =	Γ (11)	(ρ − r )5	5	ρ	2	−12rρ +	33	r	2	θ (ρ − r ) . (4.87)
		10
	4πΓ (8)		2				2
		ρ

Следовательно,

(r ) =

Γ (11)

∞

(ρ)

(ρ − r )5 5

ρ2

∫ N

−12rρ +

dρ . (4.88)

4πΓ (8) r

В результате получим выражение для электронной плотности

n(r ) =

Γ (11)

∞∫

(M 2 (ρ) + N 2 (ρ))(ρ − r )5

4πΓ (8) r

ρ10

− 12rρ +

dρ.

(4.89)

На рис. 12 представлены результаты расчетов методом МУКФ электронной плотности гелиеподобного и литиеподобного ионов урана в основном состоянии в сравнении с расчетами по программе GRASP. Как видно из рисунка, наблюдается довольно хорошее согласие результатов.

0,08

n (r)r2	0,07			1
n (r)r2
U
	0,06
	0,06
	0,05
	0,04			2
	0,03
	0,02
	0,01

		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
										r 3,86 10–11 см

Рис. 12. Электронная плотность гелие- и литиеподобных ионов урана: 1 – расчет методом МУКФ; 2 – расчет по программе GRASP

В качестве проверки правильности полученных результатов был вычислен полный электронный заряд литиеподобного иона

										95
						4π∞∫ n(r )r2dr = 3 .				(4.90)
						0
		4.4. Моменты атомных радиусов
		Момент порядка n литиеподобных ионов в основном состоя-
нии	1	+
нии	2	вычисляется по формуле
	2								3
						= ∫			3
		rn = rn +		rn		= ∫		1	MU 1 ∑rinMUdr1dr2dr3	+
		1				2		ρ10	3 i=1
				1			1	3
		+∫		1	NW		1	∑rin NWdr1dr2dr3.		(4.91)
		+∫			NW			∑rin NWdr1dr2dr3.		(4.91)
			ρ10				3 i=1

Выполняя интегрирование по угловым переменным, для первого слагаемого момента n-го порядка можно получить

rn =

Γ (11)

∫

M 2 (ρ)

∞∫

e−itρ

dt∫eitr1 ∑ψω (r1 )r1nψω (r1 )dr1dρ . (4.92)

2π

ρ10

−∞ (−it)8

Учитывая значения интегралов

Γ (n + 3)

∫eitr rn+2dr =

(4.93)

(−it)n+3

Γ (n + 3)

∫eitr L12 (−itr) 2 rn+2dr = (3 + n + n2 )

(4.94)

(−it )n+3

после интегрирования по радиальной переменной получим

Γ (11)Γ (n + 3)

M 2 (ρ)

6π

∞

e−itρ

3 + n + n2

×∫

∫

dρ.

(4.95)

ρ10

−it

)

n+11

Γ (3)

Γ (4)

−∞ (

Дальнейшее интегрирование по dt дает

Γ (11)Γ (n + 3)

(9 + n + n2 )∞∫ M 2 (ρ)ρndρ .

(4.96)

Γ (4)Γ (n + 11)

Аналогично (3.101) имеем

rn	=	Γ (11)Γ (n + 3)	(9 + n + n2 )∞∫ N 2 (ρ)ρndρ .		(4.97)
		Γ (4)Γ (n + 11)
2			3	0

В результате выражение для момента электронного радиуса гелиеподобных ионов запишем в виде

rn =	Γ (11)Γ (n + 3)	(9 + n + n2 )∞∫ (M 2 (ρ) + N 2 (ρ))ρndρ . (4.98)
	Γ (4)Γ (n + 11)
		3	0

Абсолютные значения моментов различных порядков для ли-

тиеподобных ионов в состоянии 12+ тяжелых элементов от урана до менделевия представлены в табл. 15.

Таблица 15

Радиальные моменты литиеподобных ионов тяжелых элементов

Элемент	Заряд ядра Z
U	92
Np	93
Pu	94
Am	95
Cm	96
Bk	97
Cf	98
Es	99
Fm	100
Md	101

	в состоянии		1 +
	в состоянии		2
			2
r−2 ,см−2	r−1 ,см−1	r1 ,см		r2 ,см2	r3 ,см3
r−2 ,см−2	r−1 ,см−1	r1 ,см		r2 ,см2	r3 ,см3
1,23 1021	1,95 1010	1,11 10–10		2,06 10–20	4,85 10–30
1,28 1021	1,99 1010	1,09 10–10		1,99 10–20	4,61 10–30
1,34 1021	2,04 1010	1,07 10–10		1,85 10–20	4,38 10–30
1,40 1021	2,08 1010	1,05 10–10		1,85 10–20	4,16 10–30
1,47 1021	2,12 1010	1,03 10–10		1,79 10–20	3,96 10–30
1,54 1021	2,17 1010	1,02 10–10		1,73 10–20	3,76 10–30
1,61 1021	2,22 1010	9,97 10–11		1,67 10–20	3,57 10–30
1,69 1021	2,27 1010	9,78 10–11		1,61 10–20	3,39 10–30
1,77 1021	2,32 1010	9,60 10–11		1,55 10–20	3,22 10–30
1,86 1021	2,37 1010	9,42 10–11		1,39 10–20	3,06 10–30

ГЛАВА 5. Некоторые свойства 0+ состояния бериллиеподобных ионов трансурановых элементов

В данной главе исследуются свойства бериллиеподобных ионов трансурановых элементов в рамках решения уравнения Дирака для четырех электронов.

Получен спектр 0+ полосы для бериллиеподобных ионов элементов с Z = 92 −101. Рассчитанные энергия связи и аналитические ВФ используются для расчетов распределения электронной плотности, изучения вклада нижней компоненты ВФ, средних значений различных физических величин релятивистских четырехэлектронных систем.

5.1. Уравнение Дирака в 12-мерном пространстве

В минимальном приближении волновая функция состояния 0+ бериллиеподобных ионов в спинорном представлении, соответствующая электронной конфигурации (1s2 2s2 ), имеет вид

Ψ =

(5.1)

ρ11/ 2 NW

где ρ = ∑

– коллективная переменная,

многомерные угловые

i=1

функции представляют собой детерминанты Слэтера

ψ (1)

ψ (2)

ψ (3) ψ (4)

U =

Γ (16) ψ12

(1) ψ12

(2) ψ12

(3) ψ12

(4)

ψ3

(1) ψ3

(2) ψ3

(3) ψ3

(4) ,

(−itρ)2

(1) ψ4 (2)

ψ4

ψ4 (3) ψ4 (4)

ξ (1)

ξ (2) ξ (3)

ξ (4)

Γ (16)

ξ12

(1) ξ12

(2) ξ12

(3) ξ12

(4)

W =

ξ3

(1) ξ3

(2) ξ3

(3) ξ3

(4)

(−itρ)2

ξ4

(1) ξ4

(2) ξ4

(3) ξ4

(4)

где ортогональные базисные функции ψ и ξ имеют вид:

L2 (−itr )

(−itr)

(−itr )

0−

0+ 0

0− 1

ψ1 =

, ψ2 =

, ψ3 =

Γ (3)

Γ (

Γ (4)

L2 (−itr )

0+ 1

ψ4 =

Γ (4)

11−

L2 (−itr )

11+

L2 (−itr )

11−

L2 (−itr )

ξ1 =

, ξ2 =

, ξ3 =

Γ (3)

Γ (4)

11+

L2 (−itr )

ξ4 =

Γ (

(5.2)

(5.3)

Нормировку волновой функции определим следующим образом:

∫ Ψ+ Ψdτ12 = 1 ,

(5.4)

	1	∞
где элемент объема dτ12 = ρ11dρdΩ11 =	1	∫ e−itρ dt∫e
где элемент объема dτ12 = ρ11dρdΩ11 =		∫ e−itρ dt∫e
	2π
		−∞

4
it ∑ rj	4
j=1	∏dridρ .
	i=1

Функциональная структура уравнений Дирака для бериллиеподобных ионов после проектирования на 11-мерное пространство многомерных двухкомпонентных угловых функций имеет вид

M ′ −	a1	M −	1	E + 8	+	c1Z − d1	N = 0,	(5.5)
	ρ		4			ρ

							99
N′ +	a2	N +	1	E +	c2Z − d2	M = 0.	(5.6)
N′ +	ρ	N +	4	E +	ρ	M = 0.	(5.6)
	ρ		4		ρ

Входящие в выражения (5.5) и (5.6) константы выражаются через матричные элементы оператора потенциальной энергии и через МЭ оператора импульса.

Матричные элементы электрон-ядерного взаимодействия для базисных функций бериллиеподобных ионов получены с использованием общих формул (см. гл. 1) и приведены в табл. 16.

Таблица 16

МЭ оператора электрон-ядерного взаимодействия для различных базисных функций бериллиеподобных ионов

Номер

ψω

αZ

ψω

ξω

αZ

ξω

оболочки ω

15αZ

2ρ

15αZ

2ρ

15αZ

2ρ

15αZ

2ρ

30αZ

Для вычисления МЭ оператора

∑σi pi можно воспользо-

ваться формулами, полученными в гл. 1:

i=1

dN (ρ)

− κω

− Γ (ni ) 3A + 2K − 1

B = −

∑

−

N (ρ) , (5.7)

3A+2K −1

dρ

2Γ (n )

100

dM (ρ) 1+ κω

+ Γ (ni ) 3A + 2K − 1

H =

∑

−

M (ρ) . (5.8)

3A+2K −1

dρ

2Γ (n )

Для бериллиеподобных

ионов

электронной

конфигурацией

(1s2 2s2 )

А = 4, K = 2, κ = −1 для всех оболочек.

В результате суммирования по всем оболочкам получим

B = −

(ρ) ,

(5.9)

15/ 2

dρ

2ρ

H =

−

(ρ) .

(5.10)

15/ 2

dρ

2ρ

Непосредственное раскрытие определителей показывает, что для матричных элементов МУФ верхней компоненты ВФ бериллиеподобных ионов имеем

			U ∑				α	U =
					4
					i=1	ri − rj
					i< j
4		(1)ψ*j (2)			α		ψi (1)ψ j (2) − ψi (2)ψ j (1) . (5.11)
4
= ∑	ψ*i
				r1	− r2

i=1
i< j

Таким образом, необходимо рассмотреть сумму по четырем оболочкам.

Ортогональность базисных функций, соответствующих электронам на 1s оболочке, обеспечивается ортогональностью спиновых функций, следовательно обменная часть рассматриваемого МЭ равна нулю.

С учетом нормировки прямая часть первого слагаемого имеет

вид

Pэ1-−э2 =	Γ (16)	+∞∫	e−itρ	dt ×
			(−it )4+6
	2πρ15 −∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]