Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах. Монография

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

111

			Таблица 19
	Энергия связи бериллиеподобных ионов
	для тяжелых элементов
	Бериллиеподобные ионы
Z	Бериллиеподобные ионы
Z	nr = 2	nr = 3	nr = 4
	nr = 2	nr = 3	nr = 4
92	–336,5234	–277,0011	–231,1622
93	–345,5959	–284,5148	–237,4409
94	–354,8699	–292,1983	–243,8619
95	–364,352	–300,057	–250,4299
96	–374,0488	–308,0967	–257,1498
97	–383,9675	–316,3235	–264,0269
98	–394,1157	–324,744	–271,0665
99	–404,5016	–333,3653	–278,2747
100	–415,1337	–342,1947	–285,6577
101	–426,0213	–351,2402	–293,2223

Таблица 20

Энергии связи бериллиеподобного иона урана

Методы	МУКФ	[15]	АТОМ [16]	GRASP [14, 23]
Энергия связи, кэВ	336,52	332,29	319,93	328,08

В случае, когда nr отлично от нуля, амплитуды разложения ВФ по двухкомпонентным МУФ можно записать следующим образом:

M (r) =

−

λρ

2λρ

γ−1

E + 2A e

2λρ

A0 F

−nr ,2γ − 1,

+ B0F

−nr + 1,2γ − 1,

(5.54)

−

λρ

2λρ

γ−1

N (r ) = − −Ee

2λρ

A0 F

−nr ,2γ − 1,

− B0 F

−nr + 1,2γ − 1,

(5.55)

112

где нормировочные константы А и В, полученные из условия нормировки, имеют вид

A0 =

λ (a + m)

Γ (2γ + nr − 1)

(2γ + nr − 2)

(5.56)

A Γ (2γ − 1)

Γ (nr + 1)

(a + m)2 + n (2γ + n − 2)

B0 = −

Γ (2γ + nr − 1)

(2γ + nr − 2)

, (5.57)

A Γ (2γ − 1)

Γ (nr + 1)

(a + m)2 + n

(2γ + n − 2)

где A = 4 , γ = 1+

a2 −

P2α2

, m =

αP .

На рис. 13, 14 представлен вид нормированных ВФ основно-

го и возбужденных состояний бериллиеподобного иона U92

в за-

висимости от пространственной координаты.

0,3

0,2

M(r)

0,1

N(r)

–0,1

–0,2

r 3,86 10–11 см

Рис. 13. ВФ основного состояния 0+ бериллиеподобного иона урана

(nr = 2)

113

0,3
0,2			1			3
			1	2		3
0,1				2
0,1
0
–0,1							4
–0,1
–0,2
–0,3
–0,3	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
									r 3,86 10–11 см
									r 3,86 10–11 см

Рис. 14. ВФ возбужденных состояний 0+ бериллиеподобного иона урана: 1 – M(r), nr = 3; 2 – N(r), nr = 3; 3 – M(r), nr = 4; 4 – N(r), nr = 4

5.3. Электронная плотность бериллиеподобных ионов тяжелых элементов

Согласно выкладкам, приведенным в разделе 4.3, электронная плотность произвольных ионов, имеющих А электронов, вычисляется по формуле

n(r ) = ρ1 (r ) + ρ2 (r ) ,

(5.58)

где слагаемые, отвечающие верхней и нижней компонентам биспинорной ВФ, имеют вид

ρ1(r) =

Γ (3A + 2K )

∫

M 2 (ρ)

∞∫

e−it(ρ−r)

∑ψω2

(−itr )dtdρ, (5.59)

(−it )3A+2K −3

2π

ρ3A+2K −1 −∞

ρ2 (r) =

Γ(3A + 2K )

∫

N 2 (ρ)

∞∫

e−it(ρ−r)

∑ξω2

(−itr )dtdρ. (5.60)

2π

ρ3A+2K −1 −∞ (−it)3A+2K −3

Для бериллиеподобных ионов (А = 4, K = 2) с учетом вида базисных функций

114

0−

(−itr )

1 0+

(−itr)

L2 (−itr )

0− 1

ψ1 =

, ψ2

, ψ3 =

Γ (3)

Γ (

Γ (4)

(−itr )

0+ 1

ψ4

Γ (4)

L2 (−itr ) (5.61)

11−

(−itr )

L2 (−itr )

11−

11+

ξ1 =

, ξ2

, ξ3 =

Γ (3)

Γ (4)

11+

(−itr )

ξ4

Γ (4)

можно получить

ρ1 (r ) =

1 Γ (16)

∫

M 2 (ρ)

∞∫

e−it(ρ−r )

4π 2π

ρ15

(−it)13

−∞

(

)

− 6(−itr) + (−itr)

dtdρ.

(5.62)

Γ (3)

Γ (4)

Проинтегрировав полученное выражение по переменной t, запишем окончательное выражение для первого слагаемого электронной плотности:

ρ	(r ) =	Γ (16)	∞ M 2 (ρ)	(ρ − r)10	ρ2	− 8rρ + 18r2 dρ . (5.63)
				ρ15
1		πΓ (13) ∫r

Аналогичным образом получено выражение и для электронной плотности, отвечающей нижней компоненте ВФ:

ρ2 (r ) =	Γ (16)	∞∫	N 2 (ρ)	(ρ − r )10	ρ2	− 8rρ + 18r2 dρ . (5.64)
				ρ15
	πΓ (13) r

В результате получим следующее выражение для электронной плотности бериллиеподобных ионов в основном состоянии 0+:

					115
n(r ) =	Γ (16)	∞∫	(M 2 (ρ) + N 2 (ρ))(ρ − r )10	ρ2	− 8rρ + 18r2 dρ . (5.65)

	πΓ (13) r		ρ15

Амплитуды разложения ВФ по двухкомпонентным МУФ определяются выражениями (5.54) и (5.55).

На рис. 15 представлены результаты расчетов методом МУКФ электронной плотности бериллиеподобного иона урана в основном состоянии.

0,8

nU (r)r2

0,6

0,4

0,2
0,2				ρ (r)r2
				1

			ρ2 (r)r2
0	2	4	6		8	10	12	14	16

r 3,86 10–11 см

Рис. 15. Электронная плотность бериллиеподобных ионов урана

В качестве проверки правильности полученных результатов был вычислен полный электронный заряд бериллиеподобного иона:

4π∞∫ n(r )r2dr = 4 .	(5.66)
0

116

5.4. Моменты атомных радиусов

Момент атомного радиуса порядка n бериллиеподобных ионов в основном состоянии 0+ вычисляется по формуле

= rn

= ∫

∑rinMU ∏drk

+ ∫

∑rin NW ∏drk . (5.67)

ρ15

4 i=1

k =1

4 i=1

k =1

Выполняя интегрирование по угловым переменным, для первого слагаемого момента n-го порядка можно получить

rn 1 =

Γ (16)

M 2 (ρ) ∞

e−itρ

∫

−∞∫

dt ×

2π

ρ15

(−it )13

×∫eitr1 ∑ψω (r1 )r1nψω (r1 )dr1dρ .

(5.68)

Учитывая значения интегралов

Γ (n + 3)

∫eitrrn+2dr =

(5.69)

(−it)n+3

Γ (n + 3)

∫eitr L12 (

−itr ) 2 rn+2dr =

(3 + n + n2 )

(5.70)

(−it )n+3

после интегрирования по радиальной переменной получим

Γ (16)Γ (n + 3)

∫

M 2 (ρ)

8π

ρ15

∞

−itρ

2(3 + n + n2 )

× ∫

dρ.

(5.71)

(−it )n+16

Γ (3)

Γ (4)

−∞

Дальнейшее интегрирование по

приводит к следующему ре-

зультату:

(6 + n + n2 )∞∫ M 2 (ρ)ρndρ .

rn =

Γ (16)Γ (n + 3)

(5.72)

Γ (4)Γ (n + 16)

					117
Аналогично (3.101) получим			(6 + n + n2 )∞∫ N 2 (ρ)ρndρ .
rn	=	Γ (16)Γ (n + 3)			(5.73)
rn	=	Γ (4)Γ (n + 16)			(5.73)
2		Γ (4)Γ (n + 16)	2	0

В результате выражение для момента электронного радиуса гелиеподобных ионов имеет вид:

rn =	Γ (16)Γ (n + 3)	(6 + n + n2 )∞∫ (M 2 (ρ) + N 2 (ρ))ρndρ . (5.74)
	Γ (4)Γ (n + 16)
		2	0

Абсолютные значения моментов различных порядков для бе-

риллиеподобных ионов в состоянии 0+ тяжелых элементов от урана до менделевия представлены в табл. 21.

Элемент

Заряд ядра Z

U 92

Np 93

Pu 94

Am 95

Cm 96

Bk 97

Cf 98

Es 99

Fm 100

Md 101

Таблица 21

Радиальные моменты бериллиеподобных ионов тяжелых элементов в состоянии 0+

r−2 ,см−2	r−1 ,см−1	r1 ,см	r2 ,см2	r3 ,см3
9,13 1020	1,56 1010	1,62 10–10	4,31 10–20	1,47 10–29
9,57 1020	1,59 1010	1,59 10–10	4,16 10–20	1,39 10–29
1,00 1020	1,63 1010	1,56 10–10	4,01 10–20	1,32 10–29
1,05 1020	1,67 1010	1,53 10–10	3,86 10–20	1,25 10–29
1,11 1020	1,70 1010	1,50 10–10	3,72 10–20	1,18 10–29
1,16 1020	1,74 1010	1,47 10–10	3,59 10–20	1,12 10–29
1,22 1020	1,78 1010	1,44 10–10	3,45 10–20	1,06 10–29
1,29 1020	1,83 1010	1,41 10–10	3,33 10–20	1,00 10–29
1,35 1020	1,87 1010	1,39 10–10	3,20 10–20	9,47 10–30
1,43 1020	1,91 1010	1,36 10–10	3,08 10–20	8,95 10–30

118

ГЛАВА 6. Состояние 0+ углеродоподобных ионов трансурановых элементов

В данном разделе исследуются свойства углеродоподобных ионов тяжелых элементов в рамках решения уравнения Дирака для шести электронов в поле тяжелого ядра.

Рассчитан спектр 0+ полосы для углеродоподобных ионов элементов с Z = 92–101. Отдельного рассмотрения заслуживают рассчитанные ложные состояния для многоэлектронных релятивистских систем с кулоновским взаимодействием. Для них рассчитаны эффективные энергии связи и соответствующие им волновые функции.

Результаты исследований и расчетов могут найти применение при уточнении вероятностей переходов, пробегов, выборе схем рентгеновских лазеров и т. д.

6.1. Уравнение Дирака в 18-мерном пространстве

Движение электронов углеродоподобного иона в центральносимметричном электрическом поле ядра описывается уравнением Дирака.

В релятивистской системе единиц уравнение Дирака для

компонент волновой функции Ψ = является таковым:

αZ

E + ∑ r

−

∑

Φ = ∑cσi piΧ,

− r

i=1

i> j

i=1

αZ

E + 12 +

∑ r

− ∑

Χ = ∑cσi pi

Φ.

r − r

i=1

i> j

i=1

(6.1)

(6.2)

119

Энергия связи системы в этих уравнениях определена как E = ε − 6 < 0 , где ε – полная энергия системы в единицах mc2.

Для решения этого уравнения в рамках метода МУКФ необходимо представить компоненты ВФ в виде ряда по многомерным угловым функциям.

В минимальном приближении волновая функция состояния

0+ углеродоподобных ионов в спинорном представлении, соответ-
ствующая электронной конфигурации (1s2 2s21p1/2						2 ), имеет вид
	Φ		1	MU
Ψ =		=			,	(6.3)
			17 / 2
	Χ		ρ	NW

где ρ = ∑ ri – коллективная переменная и многомерные угловые

i=1

функции представляют собой детерминанты Слэтера, обладающие требуемыми квантовыми числами:

									ψ		(1)			ψ	(2)	...		ψ	(6)
					NK					1	(1)			1	(2)	...		1
			U =		NK				ψ2		(1)			ψ2	(2)	...		ψ2	(6)					,
			U =	(	−itρ)		2																	,
							2

									ψ6 (1)					ψ6 (2)
									ψ6 (1)					ψ6 (2)		... ψ6 (6)										(6.4)
										ξ	(1)			ξ (2)		...		ξ (		6)						(6.4)
										ξ	(1)			ξ (2)		...		ξ (		6)
			W =		NK					ξ12 (1)				ξ12 (2)		...		ξ12 (		6)			,
			W =		(−itρ)			2															,
								2
														ξ6 (2)		... ξ6 (				6)
									ξ6 (1)					ξ6 (2)		... ξ6 (				6)
где NK – нормировочный										множитель,						ортогональные									базисные
функции ψ и ξ имеют вид
	Ω	1	L2 (−itr )									Ω	1	L2	(−itr)						Ω	1		L2	(−itr )
		1	0− 0										1	0+ 0								1	0− 1
ψ1 =		2				, ψ2 =							2				,	ψ3 =				2				,
ψ1 =			Γ (3)			, ψ2 =								Γ (3)			,	ψ3 =						Γ (4)		,
			Γ (3)											Γ (3)										Γ (4)

120

(−itr )

L2 (−itr )

0+ 1

1+ 0

1− 0

ψ4 =

, ψ5

ψ6 =

Γ (4)

Γ (3)

(−itr )

11+

(−itr)

11−

L2 (−itr)

11− 0

ξ1 =

ξ2

ξ3 =

Γ (

Γ (4)

11+

L2 (−itr )

−Ω

10+

(−itr )

−Ω

L2 (−itr )

0− 0

ξ4 =

ξ5 =

ξ6 =

Γ (4)

Γ (3)

Нормировку волновой функции определим следующим обра-

зом:

∫ Ψ+ Ψdτ18 = 1 ,

(6.5)

для нормировочного множителя получим

NK2 =

Γ (22)

(6.6)

Если в систему уравнений (6.1), (6.2) подставить разложения компонент волновой функции через МУФ, а затем умножить полученные уравнения на МУФ слева, то после интегрирования по угловым переменным получим следующую систему уравнений для амплитуд разложения волновой функции:

α (c Z − d

)

M ′ −

M −

E + 12 +

N = 0

(6.7)

N′ +

E +

α (c2Z − d2 )

M = 0 .

(6.8)

Здесь коэффициенты a1 ,

a2 ,

c1 ,

c2 ,

и d2

можно получить при

вычислении МЭ потенциальной энергии и оператора импульса для верхней и нижней компонент ВФ.

Для верхней компоненты ВФ МЭ электрон-ядерного взаимодействия имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]