Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

Внося в последнюю формулу соотношение (38), получим

Складывая равенства (42) и (43) и заменяя во втором результате i на − i , окончательно для напряжений получим:

σ x + σ y = 2[ϕ '(z) + ϕ '(z)] = 4 Re[ϕ '(z)], σ y − σ x + 2iτ xy = 2[zϕ '(z) +ψ '(z)].

Эти формулы принадлежат Г.В. Колосову, однако они были получены иным путем, без использования функции Эри.

4) Краевые условия.

Необходимо найти выражения для главного вектора усилий, приложенных с внешней стороны к элементу дуги АВ, описывающей контур тела (рис. 48). Компоненты главного вектора обозначить (Х, Y). Из формул (40) и (41) следует:

81

где [ ]BA означает приращение выражения, заключенного в скобки, при перемещении от А до В.

Если в предыдущей формуле считать, что А зафиксирована, а точка В – переменная, и обозначить ее аффикс через z = x + iy , то получим:

f (x, y) = ϕ(z) + zϕ '(z) +ψ (z) = i ∫ ( X n + iYn )ds + c = i( X + iY ) + c ,

AB

где с – произвольная константа.

Главный вектор (Х, Y) не зависит от формы дуги, соединяющей точки А и В. Теперь следует определить выражение для главного момента М

рассматриваемых усилий относительно начала координат:

M = − ∫ (xYn − yX n )ds .

AB

На основании выражения (39), последнюю формулу можно переписать:

Внося это выражение в предыдущую формулу и, учитывая, что

ϕ = Re[zϕ(z) + χ (z)] ,

82

окончательно получаем:

М = Re[χ (z) − zψ (z) − zzϕ '(z)]BA .

Если, как и предполагаем, область односвязна, то точка В совпадает с точкой А (кривая замкнута) и функции ϕ(z) , ψ (z) , χ (z) односвязны в ней.

Значения в точках А и В совпадают и X = Y = M = 0 . Последнее означает, что совокупность внешних сил, действующих на часть тела, находящегося в равновесии, статически эквивалентна нулю.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В пособии рассмотрены все основные положения плоской теории упругости. Показаны методы решения задач с помощью функции напряжений различного вида и даны рекомендации, для каких задач целесообразно применять тот или иной вид функции напряжений. Даны сравнения полученных точных решений с решениями в приближенной теории сопротивления материалов.

Можно отметить разделы теории упругости, не вошедшие в пособие. Например, это задачи кручения стержней, пространственные задачи теории упругости, изгиб пластин, расчет плит на упругом основании и др.

Сведения, приведенные в пособии, помогут читателю при самостоятельном освоении теории плоских задач и иных вопросов теории упругости, так как выводы основных определяющих среду соотношений идентичны.

Материалы пособия могут быть вполне пригодны для уточненного расчета деталей машин и механизмов, элементов конструкций и др. в дальнейшей инженерной деятельности студентов.

83

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Основы теории упругости: учеб. пособие / В.Н. Барашков, И.Ю. Смолина, Л.Е. Путеева, Д.Н. Песцов. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит.

ун-та, 2012. – 184 с.

2.Жемочкин, Б.Н. Теория упругости / Б.Н. Жемочкин. – Москва: Гос. Изд-во литературы по строительству и архитектуре, 1957. – 257 с.

3.Кац, А.М. Теория упругости : учебник для вузов /А.М. Кац. – СанктПетербург: Лань, 2002. – 207 с.

4.Икрин, В.А. Сопротивление материалов с элементами теории упругости и пластичности: учебник для вузов / В.А. Иркин. – Москва: Изд-во АСВ, 2005. – 424 с.

5.Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. – Москва: Наука, 1970. –

940 с.

6.Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. – Москва: Наука, 1966. – 707 с.

7.Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. – Москва: Мир,1975. –

872 с.

8. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. – Москв: Наука, 1979. – 744 с.

84

Учебное издание

Иванычев Дмитрий Алексеевич

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Учебное пособие

Редактор Е.А. Федюшина

Подписано в печать 29.03.2019. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объем 5,3 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №

Издательство Липецкого государственного технического университета. Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.

398055, Липецк, ул. Московская, 30.