Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

положительные направления касательных напряжений принимаются направления осей координат, если растягивающие напряжения по той же грани параллелепипеда имеют направление, совпадающее с положительным направлением соответствующей оси. Если же растягивающее напряжение имеет направление, противоположное положительному направлению оси, то положительные касательные напряжения направлены противоположно направлениям осей.

z σ z

σ x

x

Рис. 6. Напряженное состояние

При переходе к точке с другими координатами, напряжения будут изменяться, поэтому напряжения являются функциями координат. Внутренние силы, возникающие в результате рассечения тела плоскостью, должны уравновешиваться внешними силами, распределенными по поверхности тела.

Деформации, приводящие к изменению только объема параллелепипеда, называются продольными. На рис. 7, а показано удлинение вдоль оси y, характеризующееся деформацией ε x (индекс показывает, вдоль какой оси происходит деформация). Деформации, приводящие к изменению формы параллелепипеда, называются сдвиговыми. На рис. 7, б показан сдвиг в плоскости zy, характеризующийся углом сдвига γ yz (индексы показывают плоскость, параллельно которой происходит сдвиг).

11

Подобно напряжениям, деформированное состояние в точке определяется тензором деформаций:

ε x ,γ xy ,γ xz

γxy ,ε y ,γ yz .

γxz ,γ yz ,ε z

Каждая точка упругого тела при деформации занимает новое положение, т.е. перемещается. Например, перемещение точки А (рис. 8) определяется

вектором АА, , компоненты которого по осям координат обозначаются через u, v, w (зачастую слово компоненты опускают и называют их просто перемещениями).

x

Рис. 8. Перемещения точки

Компоненты u, v, w тоже векторные величины. Как будет показано дальше, деформации вычисляются через перемещения.

12

1.4. Способы решения задач теории упругости

Целью теории упругости является определение напряжений, деформаций

иперемещений твердого тела, возникающих в результате воздействия какихлибо факторов (внешние силы, нагрев, магнитные поля и т.д.).

Для определения напряжений нужно разрезать тело и рассмотреть равновесие отдельных его частей, однако можно сделать бесчисленное множество таких разрезов (метод сечений в сопротивлении материалов), но найти все напряжения, исходя только из уравнений равновесия, будет невозможно. Все задачи теории упругости являются статически неопределенными. Для разрешения статически неопределенных задач необходимо учитывать деформации.

Перемещения точек тела различны и, как и напряжения, являются функциями координат. Если перемещения всех без исключения точек тела определены, то можно сказать, что задача теории упругости решена, т.к. по перемещениям определяются деформации, а с помощью деформаций, исходя из закона Гука, определяются напряжения.

Для элементарного параллелепипеда зависимости между напряжениями установить нетрудно. Разбив упругое тело на множество элементарных параллелепипедов (рис. 9), зависимости для каждого элемента можно установить отдельно и далее попытаться написать уравнения, выражающие такие условия, при которых на соседних гранях параллелепипедов напряжения

иперемещения одинаковы, а также учесть условия на поверхности. Но совершенно очевидно, что не только решить, но и составить бесконечное число уравнений на практике нельзя. Поэтому для одного элементарного параллелепипеда нужно составить такие функции общего вида, которые были бы действительны и для любого другого параллелепипеда в любом месте тела. Эти уравнения будут иметь дифференциальную форму в силу малости размеров элемента.

13

y

x

Рис. 9. Твердое тело, разбитое на элементарные параллелепипеды

Таким образом, для решения задач теории упругости сначала нужно вывести основные дифференциальные зависимости, тогда будут соблюдены условия равновесия в каждой точке и совместности деформаций. Далее, решая конкретную краевую задачу, нужно найти такие функции, которые удовлетворяли бы всем этим уравнениям, а также условиям на поверхности тела. В итоге получившиеся уравнения не всегда могут иметь общее решение, поэтому не все задачи теории упругости могут быть разрешимы.

Иногда необходимо действовать обратным образом: задавать некоторые функции и исследовать их на предмет, каким граничным условиям они удовлетворяют, затем комбинировать их, оценивая степень приближения к граничным условиям.

Подобно тому, как в сопротивлении материалов разрешаются статически неопределенные задачи (метод сил и метод перемещений), в теории упругости все задачи можно решать в напряжениях или в перемещениях. В первом случае сначала находятся напряжения, а по ним относительные деформации и перемещения. Во втором случае сразу делается попытка подобрать функции перемещений, удовлетворяющие всем уравнениям теории упругости, а по ним деформации и напряжения. Первый случай в пространственной задаче требует подбора шести функций, второй – трех. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, по ряду причин более распространено решение в напряжениях.

14

2.ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ

2.1.Плоское напряженное и деформированное состояние

Рассмотрим твердое тело, характеризующееся тремя измерениями; если одно измерение очень мало, по сравнению с другими, получается пластинка. Если внешние силы действуют на боковые грани пластинки, то задача интерпретируется как плоская. В плоской задаче следует различать два случая: плоское напряженное состояние и плоская деформация.

Плоским напряженным состоянием называется такое состояние, которое возникает в очень тонкой пластинке под действием сил, приложенных к ее контуру и лежащих в плоскости пластинки. При этом внешние силы следует считать равномерно распределенными по толщине пластинки (рис. 10). Вследствие малой толщины пластинки напряжения в ней заметно не изменяются при переходе от одной граничной боковой поверхности к другой. Их можно считать равномерно распределяющимися по толщине пластинки и не зависящими от координаты z. Все процессы условно происходят в пределах одной плоскости.

z x

0

Рис. 10. Пример плоского напряженного состояния

Однако вследствие эффекта Пуассона, присущего всем упругим телам, пластинка в общем случае будет деформироваться в направлении оси z, и в зависимости от направления действия сил сужаться или расширяться.

15

Таким образом, плоское напряженное состояние характеризуется тем, что в направлении оси z деформации имеют место быть, а напряжения, как нормальные, так и касательные, в этом же направлении отсутствуют.

Плоская деформация возникает тогда, когда упругое тело в направлении третьей оси z, наоборот, большого размера, остальные размеры тела примерно одинаковы. При этом силы, приложенные к телу, действуют в плоскостях поперечных сечений (xoy) и не зависят от координаты z. Примером такого состояния может служить подпорная стенка, находящаяся под действием равномерного по длине стенки давления со стороны грунта (рис. 11).

1

y

z

Рис. 11. Пример плоского деформированного состояния

Для анализа упругого состояния можно вырезать двумя бесконечно близкими параллельными плоскостями элемент в виде очень тонкой пластинки и изучить только его, так как все остальные такие же элементы будут находиться в одинаковых состояниях. Исключения будут составлять элементы у концов стенки.

Таким образом, будет получена плоская задача, так как процессы будут протекать в одной плоскости. Напряжения должны распределяться равномерно по толщине пластики и действовать в плоскости xoy.

Однако этот случай существенно отличается от плоского напряженного состояния. Поперечные деформации пластинки в направлении оси z невозможны, так как им мешают соседние пластинки, находящиеся в

16

одинаковых условиях. Действие двух соседних пластинок друг на друга выражается напряжением, возникающим в направлении оси z.

2.2. Определяющие соотношения

Рассматривается упругое цилиндрическое тело, находящееся в равновесии под действие внешних сил, не меняющихся вдоль образующей.

Мысленно вырезается прямоугольная пластинка бесконечно малых размеров dx , dy , 1 (последний размер характеризует толщину вырезанной пластинки; поскольку этот размер не будет участвовать в выводе формул, он будет принят равным единице). Оси координат целесообразно направить по осям параллелепипеда с началом в одной из его вершин (рис. 12).

Рис. 12. Бесконечно малый параллелепипед

Для вывода определяющих упругую среду соотношений необходимо рассмотреть три стороны задачи: статическую, из которой будут определены уравнения равновесия, геометрическую сторону, определяющую зависимости между деформациями, и физическую, которая базируется на законе Гука для изотропной среды.

Статическая сторона задачи. Когда рассматривается равновесие выделенного малого элемента, то в общем случае нормальные напряжения на противоположных его гранях не равны, одно отличается от другого малым приращением. Устанавливая приращение напряжения σ x как функцию координат x и y, при переходе от левой стороны к правой изменяется только в

17

зависимости от координаты x на dx при постоянной координате y. Если на левой стороне приложено напряжение σ x (рис. 13), то по правилам математики

Рис. 13. Приращение напряжений

Силы, к которым приводятся напряжения на каждой грани прямоугольника, равны произведению соответствующего напряжения на площадь грани, на котором оно действует, например px = σ x dx ×1. Если на тело действуют массовые силы F, то проекции массовых сил, действующих на вырезанный элемент Fx = Xdxdy ×1, Fy = Ydxdy ×1.

Составим уравнения равновесия плоской системы сил:

∑ M A = 0 , ∑ X = 0 , ∑Y = 0 .

Уравнение моментов всех сил относительно точки А имеет вид

18

и отбрасывая бесконечно малые величины третьего порядка, окончательно получаем

τ xy = τ yx ,

что подтверждает закон парности касательных напряжений. Уравнение проекций всех сил на ось Х:

Если рассматривается задача динамики, то в правой части уравнения вместо

вдоль оси х.

После сокращения, а также аналогично и для оси у, окончательно получим дифференциальные уравнения равновесия (в скобках даны инерционные составляющие, если решается задача динамики, v – перемещение вдоль оси y):

Двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных напряжений (без массовых сил), поэтому необходимо установить дополнительные зависимости.

Геометрическая сторона задачи. Рассматривается вырезанный ранее параллелепипед единичной толщины оаbc (рис. 14).

19

Рис. 14. Изменение формы малого параллелепипеда

После деформации прямоугольник изменит положение и форму. Его стороны удлинятся (деформации растяжения) и повернутся. Перемещение точки о в положение о1 обозначим через u и v – проекции вектора перемещения оо1 = u + v .

Поскольку горизонтальное перемещение при переходе от о к с изменяется

только в зависимости от координаты x , оно получит приращение u + ∂u dx , ∂x

соответственно вертикальное перемещение v + ∂v dx . ∂x

Аналогично, перемещения точки а получат приращения по сравнению с перемещением точки о. Перемещения будут зависеть только от координаты y и

Абсолютное удлинение стороны ос, т.е. dx равно разности горизонтальных перемещений:

20