Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Д.А. Иванычев

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Учебное пособие

y z

x

0

Липецк Липецкий государственный технический университет

2019

УДК 539.3(07) И233

Рецензенты:

кафедра вычислительной механики и математики Тульского государственного университета;

Шашкин А.И., д-р физ.-мат. наук, проф., декан факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета

технического университета, 2019. – 85 с.

ISBN 978-5-88247-928-1

В пособии рассмотрены выводы определяющих плоскую изотропную среду соотношений, показаны способы решения краевых задач с помощью полиномов, тригонометрических рядов и функций комплексного переменного; приведены примеры. В некоторых задачах показано распределение напряжений, возникающих в телах под действием внешних сил. По каждой теме приводится теоретическая справка.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии подробно изложены основные определяющие соотношения и способы решения плоских краевых задач теории упругости, традиционно входящие в более обширный курс теории упругости. Теоретический материал изложен в подробной форме с выводами формул. В пособии приведена постановка плоских краевых изотропных задач и способы их решения с помощью функции напряжений в виде полиномов, тригонометрических рядов и функций комплексного переменного. Даны примеры решения задач изгиба консольно закрепленной балки прямоугольного сечения силой, приложенной на свободном конце, изгиба балки равномерно распределенной нагрузки, задача для пластинки треугольной формы под действием неравномерного давления, задача для широкой многоопорной балки под действием равномерно распределенной нагрузки и осесимметричные задачи для кольцеобразной области. Приведены сравнения полученных решений с аналогичными решениями, полученными элементарной теорией изгиба в курсе сопротивления материалов. Для некоторых задач показаны эпюры распределения напряжений. В конце пособия приложен перечень литературы, содержащий названия работ, непосредственно использованных в тексте, а также других работ по теории упругости, которые представляют интерес в изучении материала.

При изучении материала пособия предполагается, что студент знаком с курсом высшей математики и, в частности, с теорией функции комплексного переменного.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся на кафедре общей механики Липецкого государственного технического университета, изучающих курс теории упругости.

4

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Объект исследования

Современная теория расчета балок, стержней, конструкций, применяемая в сопротивлении материалов, основана на теории упругости, которая тесно связана с общей физикой. Когда теория упругости начинает применяться к расчету прикладных задач, ее можно выделить в самостоятельную науку.

Если сопротивление материалов дает элементарные теории расчета элементов конструкций, деталей машин, то теория упругости дает точные теории при принятых допущениях в граничных условиях. Например, при изучении изгиба балок в сопротивлении материалов вводится гипотеза плоских сечений Бернулли о том, что плоские сечения до деформации остаются такими же и после. Нормальные напряжения изменяются по линейному закону (рис. 1, а). Эта гипотеза справедлива для узких балок с большим пролетом. Если высота сечения балки того же порядка, что и ее длина, то гипотеза Бернулли уже неприменима, т.к. напряжения в этом случае не меняются по линейному закону

(рис. 1, б).

Рис. 1. Балка на двух опорах

При расчете ломаного бруса (рис. 2) формулы сопротивления материалов пригодны лишь в том случае, если размеры поперечного сечения малы по сравнению с их протяженностью, но, элементарными методами нельзя определить напряженное состояние в месте перелома ab. Как показывает теория упругости, напряжения здесь изменяются по кривой (рис. 2).

5

b b

аа

Рис. 2. Ломаная балка

При расчете деталей, имеющих вырезы (круговые, в виде эллипса и др.), в элементарной теории сопротивления материалов (рис. 3) обычно вводят в

расчет ослабленное сечение (нетто) и принимают распределение напряжений равномерным. Между тем в действительности эти напряжения неравномерны; у отверстий наблюдается их концентрация. Напряжения у отверстий могут быть найдены только методами теории упругости.

Рис. 3. Растяжение пластинки с вырезами

Пользуясь элементарными приемами, нельзя найти напряжения вблизи мест приложения внешней нагрузки, распределение напряжений в неограниченном упругом массиве и т.п. – все эти задачи разрешаются теорией упругости. Расчёты плит и оболочек полностью относятся к введению теории упругости.

Теория упругости основана на опытных данных о физических свойствах материалов, но теоретическая часть занимает в ней ведущее место (как показывает само заглавие) и требует применения довольно сложного математического аппарата. Основные уравнения теории упругости были выведены давно и сейчас используются в готовом виде. Преобразования были длительными и сложными. Применяются эти уравнения для решения задач теории упругости. Краткое изложение в книге наиболее существенных из этих

6

задач не может дать полного представления о грандиозном труде, затраченном на их решение.

Если в настоящее время встречаются задачи теории упругости, которые еще не удалось разрешить, то главная причина этого – огромные математические затруднения. Не всегда можно отыскать функцию, удовлетворяющую дифференциальным уравнениям в частных производных преимущественно 2-го и 4-го порядков и граничным условиям.

На практике может возникнуть необходимость применить результаты имеющихся решений в практической жизни, развить и углубить эти решения; так, например, рассчитать балку-стенку, пользуясь тригонометрическими рядами или теорией конечных разностей; рассчитать сложный профиль на кручение, воспользоваться решением Буссинеска для определения напряжений в грунте или для расчета балок на упругом основании и т.д.

1.2. Гипотезы теории упругости

Нельзя сказать, что теория упругости совершенно свободна от всяких гипотез. Они носят характер рабочих гипотез, т.е. предположений, которые вводятся для упрощения выкладок, причём заранее известно, что ошибка от введения таких предположений невелика. Следовательно, введение рабочих гипотез равносильно пренебрежению величинами весьма малыми по сравнению с теми, которые играют решающую роль.

Например, при расчетах тонких плит в теории упругости принимают гипотезу, аналогичную гипотезе Бернулли, так как из-за малой толщины плит ошибка, получающаяся от введения этой гипотезы, практически не отражается на окончательных результатах. Но при расчете толстых плит эту гипотезу уже нельзя применять, здесь она могла бы исказить результаты. Поэтому толстую плиту следует рассчитывать точнее; расчёт такой плиты гораздо сложнее, чем расчет тонкой плиты.

7

Втеории упругости широко используется принцип Сен-Венана, который по существу также относится к числу рабочих гипотез. Согласно этому принципу в точках, достаточно удалённых от мест приложения внешних нагрузок, напряжения почти не зависят от того, как именно приложены эти нагрузки. Таким образом, если усилия, приложенные к небольшой части упругого тела, заменить другими, статическими эквивалентными, то существенно изменятся только местные напряжения, на достаточно же удалённых точках такая замена отразится незначительно. Практически ее влиянием можно пренебречь.

Одна из основных рабочих гипотез, которую вводят в теорию упругости - это гипотеза о сплошности строения упругого тела. Предполагается, что материал, из которого состоит упругое тело, непрерывно распределён по его объёму.

Вдействительности это не так: все тела имеют молекулярное строение. Однако размеры молекул и расстояния между ними так ничтожно малы по сравнению с размерами упругого тела, что молекулярное строение тел при решении практических задач можно не учитывать. Первые исследователи – основоположники теории упругости, исходили из предположения о молекулярном строении тел, но в данный момент вводятся необходимые уравнения, учитывающие данную теорию.

Втеории упругости, как показывает название, предполагается, что все тела обладают свойством упругости. Под упругостью понимается способность тел восстанавливать свою первоначальную форму и первоначальные размеры после снятия внешней нагрузки. При этом теория упругости оперирует понятием абсолютной упругости, т.е. тело восстанавливает свои размеры полностью, при этом восстанавливается и взаимное расположение частиц тела.

Вся теория строится на законе Гука о прямой пропорциональности между напряжением σ и деформацией ε , в случае одноосного растяжения или сжатия он имеет вид:

8

σ = Å ε ,

где Е – модуль упругости материала (модуль Юнга).

На рис. 4 показан график зависимости между напряжением и деформацией при одноосном растяжении.

σ

А

О ε

Рис. 4. Кривая зависимости между напряжением и деформацией

Прямая линия ОА характеризует упругую зону. Работу упругих тел за пределами пластичности рассматривает самостоятельная дисциплина – теория пластичности.

В теории упругости принято считать, что материал упругого тела совершенно однороден, т.е. во всех точках имеет одинаковые свойства.

Упругое тело может быть изотропным и анизотропным. У изотропных тел упругие свойства во всех направлениях одинаковы. У анизотропных тел для разных направлений они различны. Кристаллические материалы, синтетические армированные материалы, древесина и др. относятся к анизотропным материалам.

Сталь состоит из мельчайших кристаллов, упругие свойства которых по разным направлениям неодинаковы, но, поскольку размеры кристаллов очень малы и расположены хаотично, можно считать сталь изотропным телом.

Изучение напряженного состояния анизотропных тел является более сложной задачей. Далее речь пойдет только о изотропных телах.

Деформации предполагаются малыми по сравнению с размерами самого

тела.

9

1.3. Условные обозначения

Рассмотрим упругое тело, находящееся под действием внешних сил (краевая задача теории упругости). В какой-либо внутренней точке А с координатами x, y, z тела возникают силы внутреннего взаимодействия, численно характеризуемые через напряжения (рис. 5).

z

А σ

z

y

О

y

x

x

Рис. 5. Равновесие упругого тела

Если представить точку А в виде параллелепипеда, то напряжения на одной ее грани будут отличаться от напряжений на другой грани. Совокупность всех напряжений определяет напряженное состояние в точке и характеризуется тензором напряжений:

σx ,τ xy ,τ xz

τxy ,σ y ,τ yz ,

τxz ,τ yz ,σ z

где σ x , σ y , σ z – нормальные напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям, индекс указывает, какой оси координат перпендикулярна эта площадка; τ xy , τ xz , τ yz – касательные напряжения, первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна площадка, а второй – какой оси параллельно напряжение (рис. 6).

Положительные направления для напряжений показаны на чертеже. Нормальные напряжения положительные, если они вызывают растяжение. За

10