Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

εθ = 1 (σθ - μσ r ) .

E

Уравнение совместности в напряжениях

При отсутствии массовых сил, напряжения:

После преобразований, подставив напряжения в уравнение совместности, получается:

Последнее уравнение выведено для случая плоского напряженного состояния, но оно будет действительно и для случая плоской деформации.

При таком способе вывода получается уравнение третьего порядка. Если идти путем преобразования общего уравнения (30), для случая симметричного состояния, пришлось бы решать уравнение четвертого порядка. Интеграл бы его заключал четыре произвольные постоянные, а значит он не удовлетворял бы уравнению (31), и соответствующая произвольная постоянная равнялась бы нулю. Для того, чтобы в этом убедиться, пришлось бы провести сложное дополнительное исследование. Применение формулы (31) избавляет от такого исследования и является более удобным.

Уравнение (31) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение имеет вид:

ϕ = C1 ln r + C2r 2 + C3 .

Соответственно напряжения

71

3.6. Пример решения плоских задач в полярных координатах

Случай симметричного распределения напряжений возникает в задаче для полого цилиндра, подвергающегося равномерно распределенному давлению с внутренней и внешней стороны. Решение задачи было предложено Ламе в 1852 г.

Для перехода к плоской задаче необходимо вырезать поперек цилиндра слой в виде пластинки единичной толщины (рис. 44). Если цилиндр достаточно длинный и не деформируется в продольном направлении, то будет иметь место случай плоской деформации. Если цилиндр малой длины, то пластинка будет испытывать плоское напряженное состояние. Она может свободно деформироваться вдоль оси, однако нормальные напряжения будут равны нулю.

Обозначим внутренний радиус пластинки через а, внешний – b; нагрузку на своих радиусах через qa и qb . Радиальные напряжения на контуре:

σ r r = a = -qa , σ r r =b = -qb .

Согласно формуле (32) для определения констант можно составить два уравнения:

Эпюры напряжений показаны на рис. 44 (положительные направления отложены вверх от горизонтальной линии).

72

qb

qa

σ r

σθ

а

b

Рис. 44. Всестороннее сжатие кольца

Если давление q приложено только с внутренней стороны, то напряжения будут равны

Эпюра напряжений показана на рис. 45.

+

q –

σθ σ r

а

b

Рис. 45. Растяжение кольца по внутреннему контуру

73

Напряжение σ r – сжимающее, σθ – растягивающее. Максимальное значение

всегда больше внутреннего давления и приближается к нему при увеличении внешнего радиуса b.

Если нагрузка q приложена только к внешнему контуру в виде растягивающих усилий в радиальном направлении (рис. 46), то напряжения

q

+

σθ

а

b

Рис. 46. Растяжение кольца по внешнему контуру

При достаточно большом b, по сравнению с а, это напряжение стремится к величине 2q. Следует отметить, что если бы внутреннего отверстия не было, то в пластинке было бы однородное напряженное состояние равное q, но стоит сделать хотя бы небольшое отверстие, как около него возникает концентрация напряжений.

74

В качестве второго примера рассмотрим задачу Фламана о действии сосредоточенной силы на полуплоскость; в терминах плоской теории – на бесконечную плоскую пластинку, ограниченную прямолинейным краем. По толщине пластинки нагрузка распределена равномерно.

Опуская доказательства, следует отметить, что в этом случае во всех точках полуплоскости возникают радиальные нормальные напряжения

где r – расстояние от точки наблюдения до точки приложения сосредоточенной силы, θ – угол, образуемый направлением r с вертикальной осью.

Напряжения σθ и τ rθ равны нулю. Траектории напряжений представляют собой прямые линии, сходящиеся к точке О (рис. 47).

O

θ d

r

Рис. 47. Задача Фламана

Если провести окружность произвольного диаметра d, касающегося верхнего края в точке приложения внешней силы, то по всей этой окружности

3.7.Решение задач с помощью функций комплексного переменного

1)Комплексное представление функции напряжений.

75

Первые два из этих уравнений, решенные относительно ∂u и ∂v , определяют: ∂x ∂y

Функция Q определяется при заданном Р с точностью до произвольной константы.

Учитывается, что

ϕ(z) = p + iq = 14 ∫ f (z)dz ,

где f (z) = P(x, y) + i Q(x, y) – функция комплексного переменного z = x + iy .

Тогда для производной

Таким образом,

77

P = 4 ∂p = 4 ∂q , ∂x ∂y

и уравнения (34) можно записать:

Интегрируя последние выражения, получим:

где f1( y) , f2 (x) – некоторые функции одной переменной.

Подставляя эти значения в последнее из уравнений (33) и замечая, что ∂p = ∂q , ∂y ∂x

получаем: f1'( y) + f2'(x) = 0 , откуда следует что функции равны

f1 = 2G(−εy + α ) , f2 = 2G(εx + β ) ,

где α , β , ε – произвольные постоянные. Эти выражения дают только жесткое

движение и могут быть отброшены. Тогда для перемещений:

Рассмотрим функцию напряжений ϕ(z) = p + iq . Легко убедиться из (35),

функция ϕ − px − py гармоническая, т.е. выполняется

(ϕ − px − py) = 0 .

Поэтому

ϕ = px + py + p1 ,

где p1 – некоторая функция, тоже гармоническая в рассматриваемой области,

занимаемой телом.