Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

когда она состоит из членов вплоть до пятой степени, и рассматривается, каким граничным условиям она удовлетворяет.

Рассматривается прямоугольная пластинка (полоса) длиной l, высотой h и толщиной 1. Расположение осей координат приводится на рис. 18. Пластинка невесома ρ = 0 .

l

Рис. 18. Прямоугольная пластинка

Применение полиномов 2-й и 3-й степени. Полином:

ϕ = (a2 x2 + b2 xy + c2 y 2 ) + (a3 x3 + b3 x2 y + c3 xy 2 + d3 y3 )

Поочередно предполагается, что все коэффициенты равными нулю, кроме одного.

В этом случае будут только вертикальные напряжения постоянной интенсивности, т.е. имитируется одноосное растяжение вдоль оси y. На рис. 19 эпюра напряжений является одновременно эпюрой внешней нагрузки.

σy + 2a2

σy + 2a2

Рис. 19. Напряженное состояние 1-го случая

31

2)ϕ = b2 xy .

σx = σ y = 0 , τ xy = −b2 .

Это случай чистого сдвига. На границе полосы действуют равномерно распределенные касательные усилия (рис. 20).

τ xy − b2

τ xy − b2

Рис. 20. Напряженное состояние 2-го случая

3)ϕ = с2 y 2 .

σx = 2c2 , σ y = τ xy = 0 .

Это случай равномерного растяжения вдоль оси x (рис. 21).

+ c2 σ x

Рис. 21. Напряженное состояние 3-го случая

4)ϕ = a3 x3 .

σx = τ xy = 0 , σ y = 6a3 x .

Вданном случае нагрузка действует вдоль оси y и распределяется по линейному закону (рис. 22, а). Если начало координат поместить по центру пластинки, то будет чистый изгиб (рис. 22, б).

32

+ 6a3l

5)ϕ = b3 x2 y .

σx = 0 , σ y = 2b3 y , τ xy = −2b3 x .

Это случай, когда к полосе приложены одновременно нормальные и касательные усилия (рис. 23). Вверху действуют растягивающие усилия, т.к. при y = h / 2 , σ y = b3h , а внизу сжимающие.

Касательные усилия вверху и внизу распределяются по линейному закону, слева касательных усилий нет, справа они распределены равномерно. Естественно, что все силы, приложенные к пластинке, уравновешены.

τxy − 2b3l

σy + b3h

τ xy

− 2b3l

σy − b3h

τxy − 2b3l

Рис. 23. Напряженное состояние 5-го случая

33

6)ϕ = с3 xy 2 .

σx = 2с3 x , σ y = 0 , τ xy = −2с3 y .

Нормальные усилия приложены к правому концу пластинки, касательные распределены равномерно вверху и внизу и изменяются по линейному закону левого и правого концов (рис. 24).

Рис. 24. Напряженное состояние 6-го случая

7)ϕ = d3 y3 .

σx = 6d3 y , σ y = τ xy = 0 .

Это случай изгиба моментами, к которым приводят распределенные усилия

(рис. 25).

Рис. 25. Напряженное состояние 7-го случая

Применение полиномов 4-й степени. Рассматривается полином:

ϕ = a4 x4 + b4 x3 y + c4 x2 y 2 + d4 xy3 + e4 y4 .

Данный полином удовлетворяет уравнению совместности (14) не при любых коэффициентах, между ними должна быть зависимость.

Производные имеют вид:

34

Далее подставляются эти значения в выражение (14):

24a4 + 8с4 + 24e4 = 0 ,

откуда e4 = −(a4 + c4 / 3) ; окончательно

ϕ = a4 x4 + b4 x3 y + c4 x2 y 2 + d4 xy3 − (a4 + c4 / 3) y 4 .

Возможны пять различных случаев, каждому из которых соответствует определенное напряженное состояние.

Далее рассматривается случай, наиболее часто встречающийся на практике, когда все коэффициенты равны нулю, кроме d4 .

8)ϕ = d4 xy3 .

σx = 6d4 xy , σ y = 0 , τ xy = −3d4 y 2 .

Нормальные усилия приложены только к правому концу. Касательные усилия равномерно распределены по верхнему и нижнему контуру и изменяются по параболическому закону справа и слева (рис. 26).

τ xy − 3/ 4d4h2

Рис. 26. Напряженное состояние 8-го случая

Применение полиномов 5-й степени. Рассматривается полином

ϕ = a5 x5 + b5 x4 y + c5 x3 y2 + d5 x2 y3 + e5 xy4 + f5 y5 ,

который, аналогично полиному 4-й степени удовлетворяет уравнению совместности только при определенных соотношениях между константами:

Полученные выражения подставляются в формулу (14):

120a5 x + 24b5 y + 24c5 x + 24d5 y + 24e5 x + 120 f5 y = 0 ;

в иной форме:

x(120a5 + 24c5 + 24e5 ) + y(24b5 + 24d5 + 120 f5 ) = 0 .

Так как координаты x и y независимы друг от друга, то выражения в скобках в отдельности должны равняться нулю. Далее необходимо выразить e5 и f5 из уравнений

120a5 + 24c5 + 24e5 = 0 , 24b5 + 24d5 + 120 f5 = 0 ;

e5 = −(5a5 + c5 ) , f5 = −(b5 + d5 ) / 5.

Окончательно

ϕ = a5 x5 + b5 x4 y + c5 x3 y 2 + d5 x2 y3 − (5a5 + c5 )xy 4 − (b5 + d5 ) y5 / 5.

9) ϕ = d5 (x2 y3 − y5 / 5).

Это случай, когда все коэффициенты равны нулю, кроме d5 .

σ x = d5 (6x2 y − 4 y3 ) , σ y = 2d5 y3 , τ xy = −6d5 xy2 .

Пластинка находится в сложном напряженном состоянии (рис. 27).

τxy − 3/ 2d5lh2

σy +1/ 4d5h3

Рис. 27. Напряженное состояние 9-го случая

Итак, рассмотрены типовые многочлены, которые будут пригодны для решения практических задач.

36

3.2. Примеры решения задач с помощью функции напряжений в виде полиномов

Полученный ряд частных решений может быть применен для конструирования функции напряжений, описывающей более сложное напряженное состояние и, как следствие, внешнюю нагрузку.

3.2.1. Изгиб консоли силой, приложенной к свободному торцу

Рассматривается консоль прямоугольного сечения шириной, равной единице, нагруженной вертикальной силой Р на ее свободном конце (приложена не сосредоточенная сила, а распределенная по всему торцу касательная нагрузка). Начало координат принимается, как показано на рис. 28.

1) Функция напряжений. Граничные условия заставляют искать такое решение, при котором верхняя и нижняя поверхности консоли не несут нагрузок, поэтому для них σ y = τ xy = 0 ; по левому же свободному торцу приложены касательные усилия.

Среди приведенных выше простейших случаев такого нет. Дальнейший путь состоит в их комбинировании. Необходимы такие решения, при которых к левому свободному торцу приложены только касательные усилия. Таковыми являются решения 2) и 6). Однако решение 6) в данном случае не подходит, т.к. при нем к верхней и нижней поверхностям приложены касательные усилия, направленные в одну и ту же сторону. Других решений с направлением касательных усилий в одну сторону, которые можно было бы наложить на решение 6) для ликвидации этих усилий нет. Следовательно, остается решение

37

2); однако его следует дополнить решением, при котором касательные усилия сверху и снизу направлены в разные стороны. К таким решениям относятся 5), 8) и 9). Решение 5) отпадает в силу того, что в нем присутствуют нормальные усилия сверху и снизу. В решении же 9) имеются нормальные усилия по левому краю. Приходим к заключению, что нужно использовать одновременно два случая 2) и 8).

Функция Эри будет иметь вид

3) Граничные условия. Далее необходимо учесть условия на контуре, что позволит найти неизвестные коэффициенты b2 и d4 .

При принятом выражении для ϕ напряжение σ x у левого торца ( x = 0 )

равны нулю. Напряжение σ y равно нулю во всей области. Касательные

напряжения вверху и внизу консоли должны быть равны нулю. Отсюда условие, что для y = ±h / 2 :

Другое условие, связывающее коэффициенты b2 и d4 , получим приравнивая сумму касательных усилий по левому торцу силе Р:

h / 2

∫τ xy dy = P .

−h / 2

Подставляя τ xy и интегрируя, получим:

38

Таким образом для определения неизвестных коэффициентов имеется два уравнения:

− b2 − 3 d4h = 0 , 4

− b2h − d4 h3 = P .

4

Из этих уравнений определим:

В задаче предполагалось, что сила Р порождалась касательными усилиями, действующими на свободном торце, распределение которых соответствует формуле, выведенной для τ xy . При другом способе приложения нагрузки и решение будет другим. Однако разница в результатах будет

39