Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

Константы, возникающие в процессе неопределенного интегрирования, не учитываются, так как они отвечают за жесткое движение, которого нет.

Для определения произвольных функций воспользуемся уравнением (18)

Перепишем это равенство в следующем виде:

Координаты x и y независимы друг от друга, поэтому выражения в квадратных скобках равны некоторым величинам A и B,

Тогда необходимо разрешить два уравнения

После интегрирования

f (x) = − P x3 + Аx + C , 6EI

f ( y) = μP y3 − P y3 + By + D , 3EI 6GI

где С и D – произвольные постоянные. Теперь перемещения

Постоянные A, B, C, D определяются из условий закрепления консоли.

41

В месте закрепления должно быть u = 0 и v = 0 для любых значений y. Однако, полиномами обеспечить такие условия нельзя, требуется более сложное решение, следует ограничиться только требованием, чтобы неподвижной оставалась точка К в середине опорного сечения.

Далее придется прибегнуть к некоторым упрощениям в плане заделки, т.к. из-за касательных напряжений должен искажаться прямой угол. Можно поступить двумя способами: считать, что горизонтальный элемент оси, примыкающей к точке К, неподвижен и не поворачивается, тогда

∂v = 0 , ∂x

или считать, что не поворачивается вертикальный элемент в той же точке, в этом случае

∂u = 0 . ∂y

Рассмотрим второй случай. При этом условии отдельные точки, выше и ниже точки К, могут иметь горизонтальные перемещения. Опорные сечения деформируются, как показано на рис. 29.

K

Рис. 29. Деформации вблизи заделки консоли

Таким образом, получится только приближенное решение и напряжения около заделки будут отличаться от найденных выше. Но ошибка в напряжениях на достаточно больших расстояниях от места закрепления по принципу СенВенана будет незначительна.

Итак, должны удовлетворяться условия при x = l и y = 0

u = v = 0 , ∂u = 0 . ∂y

42

Подставляя значения x и y в соответствующие формулы для перемещений, получим

Поскольку u зависит от y в третьей степени, то поперечные сечения не остаются при деформации плоскими и искривляются.

Уравнение упругой линии (уравнение оси после деформации) получим, полагая, что y = 0 в выражении для v:

Первый член соответствует решению, аналогичному в сопротивлении материалов, второй член представляет добавку, вызванную влиянием поперечной силы. Знаки минус объясняются тем, что ось y в нашей задаче направлена вверх.

3.2.2. Изгиб балки равномерно распределенной нагрузкой

Рассмотрим балку на двух опорах (рис. 30). Балка (полоса) прямоугольного сечения длиной l, высотой h и шириной, равной единице, нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. Опорные реакции представлены касательными усилиями, приложенными к краям балки. Начало координат разместим по центру среднего сечения.

l l

Рис. 30. Изгиб балки распределенной нагрузкой

Условия, которые должны выполняться на загруженной и свободной поверхностях:

По краям балки интегральные значения касательных напряжений должны равняться опорным реакциям (на форму распределения τ xy ограничений нет):

−h / 2

Знак минус относится к левому концу балки, т.к. здесь положительные τ xy

направлены вниз, плюс – к правому.

По концам балки не должно быть приложено продольных сил и моментов. Следовательно, при x = ±l :

44

−h / 2

1) Функция напряжений. Необходимо попытаться составить функцию напряжений из разобранных выше частных решений.

Случаи равномерно распределенной нагрузки по верхнему и нижнему краям балки имеются в решениях 1), 5), 9). В решениях 5) и 9) касательные усилия, приложенные к верхнему и нижнему краям, изменяются по прямым. И в том и в другом случае они направлены в разные стороны, а затем, накладывая друг на друга решения 5) и 9), можно уничтожить касательные усилия.

Но нормальные усилия окажутся приложенными к верхнему и к нижнему краям, причем направленными в одну сторону. Очевидно, что, добавляя решение 1), можно уничтожить вертикальные усилия по нижнему краю. Поэтому остановимся на комбинации решений 1), 5) и 9):

2) Напряжения. Напряжения в этом случае:

3) Граничные условия. Для соблюдения условий (20) по верхнему и нижнему контуру, необходимо выполнение

45

После подстановки найденного a2 во второе и третье уравнение (третье уравнение сокращается на х). Далее, умножая второе уравнение на h и вычитая результат из первого уравнения, получим:

С учетом найденных констант, выражения напряжения будут следующими:

Необходимо учесть в напряжениях момент инерции: I = 1× h3 , тогда

12

Теперь необходимо проверить условия на торцах.

При x = −l в (21):

46

4)Напряжения в окончательном виде. С учетом поправки, напряжение

σx имеет вид

Изгибающий момент в сечении на расстоянии x от середины пролета

M = q(l 2 − x2 ) ; 2

поперечная сила Q = −qx .

В связи с этим, окончательно формулы для напряжений

Первый член в выражении для σ x совпадает с тем, что дает сопротивление материалов. Для длинных и узких балок второй член вообще невелик, и в инженерных расчетах им можно пренебречь. В случае же широких балок его следует учитывать. Эпюра напряжений в середине пролета показана на рис. 31.

σ x

Рис. 31. Эпюра напряжений σ x

Если вычислить напряжения в крайних волокнах в среднем сечении балки, то окажется, что:

при h /(2l) = 0,1 второй член составляет 0,3% от первого;

при h /(2l) = 0,25 второй член составляет 1,7% от первого;

48

при h /(2l) = 0,5 второй член составляет 6,7% от первого.

Таким образом, когда высота балки сравнима с ее пролетом, то расчет нужно вести более точно по приведенным выше формулам.

В сопротивлении материалов предполагается, что волокна балки не испытывают сжатие в вертикальном направлении и σ y = 0 , однако в действительности такие напряжения существуют; вверху они уравновешиваются внешней нагрузкой, внизу равны нулю. Эпюра напряжений σ y показана на рис. 32.

q

σ y

q/2

Рис. 32. Эпюра напряжений σ y

Касательные напряжения получаются такими же, как и в сопротивлении материалов.

Введя решение 7), не удалось избавиться от напряжений σ x по краям балки, здесь они равны:

Но, поскольку эти напряжения уравновешиваются, т.е. их равнодействующая и момент равны нулю, они отражаются по принципу Сен-Венана только на небольших участках у опор. На некотором расстоянии от опор они не влияют на общий вид распределения напряжений. Эпюра напряжений в среднем сечении (рис. 43) останется одной и той же, независимо от того, приложены или нет по концам уравновешивающие силы.

Решение в полиномах можно применять только для балок, у которых высота не превышает, примерно, половины пролета. У широких же балок

49

напряжения по концам должны отразиться и в середине пролета. Чтобы не сделать существенной ошибки, следует задавать функцию ϕ в

тригонометрическом виде.

3.2.3. Расчет плотины треугольного профиля

Рассматривается случай треугольной пластинки. Предположим, что пластинка это расчетная модель плотины или подпорной стенки, подвергающейся нагрузке от давления воды и собственного веса. Как и ранее, требуется изучить вырезанную из плотины треугольную пластинку единичной толщины.

Здесь имеет место случай плоской деформации, в силу протяженности плотины. Напряжения, однако, должны быть такими же, как и при плоском напряженном состоянии. Оси координат направлены как показано на рис. 33.

y

Рис. 33. Треугольная платина

С нагрузочной стороны поверхность плотины вертикальна, с противоположной стороны наклонна под углом α к горизонту.

Давление воды на глубине y равно q = −γy (γ – удельный вес воды; знак минус соответствует отрицательным координатам y). Вес единицы объема плотины p. Ширина плотины на глубине y определяется зависимостью:

50