Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

Относительное удлинение, оно же и является продольной деформацией вдоль оси х:

Относительное удлинение вертикальной стороны оа:

Угол поворота стороны ос (в силу малой деформации равный его тангенсу) должен быть равен разности вертикальных перемещений точек о и с, деленной

Положительный угол сдвига соответствует уменьшению прямого угла аос.

В теории упругости применяют еще один прием. Деформированный контур в форме параллелограмма поворачивают на равный угол относительно осей x и y. Этот угол обозначают ε xy

Окончательно получим дифференциальные уравнения, связывающие деформации с перемещениями (соотношения Коши):

21

Физическая сторона задачи. Закон Гука, устанавливающий связь между напряжением и деформацией при растяжении в одном направлении, например, вдоль оси х имеет вид:

ε x = σ x ,

E

где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга). Закон Гука при сдвиге:

продольном направлении идет уменьшение поперечных размеров (рис. 15).

Рис. 15. Растяжение тела

Таким образом, изотропный материал характеризуют две константы Å и μ .

При действии сил во всех трех направлениях, относительные деформации равны:

22

σ z ¹ 0 . Из последней формулы (3) следует

σ z = μ(σ x + σ y ) ,

подставляя это выражение в первые две формулы (3), получим для случая плоской деформации:

2.3. Уравнения совместности

При решении задач теории упругости необходимо добиваться, чтобы в каждой точке тела выполнялись уравнения равновесия (1), геометрические уравнения (2) и физические условия (4) или (5) в зависимости от задачи.

23

параллелепипедов не могут быть произвольными, они взаимосвязаны, т.к. упругое тело состоит из совокупности таких малых параллелепипедов. Установим уравнение, связывающее деформации в «единое целое».

Исключим из соотношений Коши компоненты вектора перемещения. Для этого продифференцируем ε x дважды по y, а ε y дважды по х и сложим результаты:

Выражение в скобках равняется γ xy ; окончательно:

Эта зависимость называется дифференциальным уравнением совместности деформаций. Если искомые деформации удовлетворяют этому уравнению, то они обеспечивают существование u и v, связанных с деформациями соотношениями Коши. Из прямоугольных параллелепипедов, на которые разбито упругое тело, можно после их деформации снова собрать это тело, причем отдельные элементы будут плотно прилегать друг к другу, так как перемещения точек двух смежных элементов в месте их сопряжения одинаковы.

24

Теперь число неизвестных функций, которые нужно подобрать, сократилось до

шести σ x , σ y , τ xy , ε x , ε y , γ xy .

Вряде задач требуется найти распределение напряжений, а перемещения

идеформации остаются на втором плане. Потому естественным является уменьшение числа решаемых уравнений. Если вместо деформаций в уравнение

(6) подставить напряжения в соответствии с выражениями (4) или (5), то получится уравнение совместности в напряжениях. Следует рассмотреть отдельно плоское напряженное и деформированное состояния.

Плоское напряженное состояние. Выражения для деформаций (4)

подставляются в уравнение совместности (6) и, после сокращения, получается:

Далее необходимо исключить из последнего τ xy . Используются уравнения

равновесия (1), поскольку они связывают нормальные и касательные напряжения. Необходимо продифференцировать первое уравнение из (1) по х, а второе по y:

Складывая уравнения, можно выразить:

Полученное равенство необходимо подставить в (7):

После раскрытия скобок и сокращения уравнение совместности в напряжениях будет иметь вид:

25

Аналогичные операции проводятся и для случая плоского деформированного состояния, только в уравнения совместности деформаций подставляются уравнения (5).

Окончательно уравнение запишется:

Если проекции объемных сил Х, Y не зависят от координат (например сила тяжести), то правые части уравнений (8), (9) равны нулю для обоих случаев:

где Ñ2 – оператор Лапласа.

Из последнего соотношения следует, что при одних и тех же граничных условиях распределение напряжений в обоих случаях будет идентичным, а вот деформации будут отличаться.

2.4. Краевые условия

Прежде чем определить связь между напряжениями и условиями на поверхности тела, необходимо ввести выражения для определения напряжений по наклонным площадкам. Для этого в какой либо точке А упругого тела (рис. 16, а) следует вырезать в районе этой точки бесконечно малую призму abc и рассмотреть ее равновесие. К наклонной площадке или к грани призмы bc (рис. 16, б), образующей некоторый угол α к осью х, приложено напряжение, имеющее нормальное σ и касательное τ составляющие. К вертикальной и горизонтальной граням призмы приложены, как и ранее, напряжения σ x , σ y и

τ xy .

26

В силу того, что одни напряжения заменяются другими, нет необходимости вводить приращения напряжений, они весьма малы по сравнению с напряжениями.

Площадка bc обозначается через dF , тогда площадка ab будет dF sin α , площадка ac – dF cosα .

Проекции на координатные оси полного напряжения (т.е. суперпозиции векторов σ и τ ), приложенного к наклонной площадке, обозначаются как Хn и

Yn . Составляются суммы проекций всех сил на оси координат и приравниваются к нулю (равновесие):

X ndF − σ x dF sin α −τ xy dF cosα = 0 ,

YndF − σ y dF cosα −τ xy dF sin α = 0 .

После сокращений, последние уравнения имеют вид

X n = σ x sinα + τ xy cosα ,

(11)

Yn = σ y cosα + τ xy sin α.

Если требуется найти напряжения нормальные и касательные на наклонных площадках, то необходимо спроецировать Õ n и Yn на направление

σ и τ поочередно:

σ = X n sinα + Yn cosα , τ = X n cosα − Yn sin α .

27

Если подставить в эти выражения соотношения (11) и перейти к тригонометрическим величинам двойного угла α , то после преобразований окончательно напряжения на наклонных площадках будут иметь вид

Полученные выражения открывают возможность для дальнейшего исследования, например определение главных напряжений, главных площадок и т.д.

Выведенные формулы для напряжений на наклонных площадках можно применить и к условиям на контуре упругого тела. На практике приходится решать задачи для упругих тел, контур которых ограничен кривыми или наклонными к осям линиями (рис. 17). Такое тело нельзя мысленно разделить только на прямоугольники. По контуру неизбежно будут получаться малые треугольники. Внешние нагрузки должны уравновешиваться усилиями, приложенными к вертикальным и горизонтальным сторонам элементарных треугольников.

внешнюю нагрузку с напряжениями, будут иметь вид соотношений (11). 28

Данное уравнение является основным в плоской задаче теории упругости для анизотропного тела.

Теперь вместо восьми совместно решаемых уравнений (два уравнения равновесия, три соотношения Коши и три физических уравнения (закон Гука)) осталось одно уравнение для ϕ , т.к. если какая-либо функция удовлетворяет дифференциальному однородному уравнению, то любая производная ее также удовлетворяет этому уравнению.

Решая какую-нибудь краевую задачу, нужно подобрать такую функцию

ϕ, которая удовлетворяла бы не только бигармоническому уравнению (14), но

икраевым условиям. После определения ϕ вычисляются напряжения, затем

деформации и, если требуется, путем интегрирования соотношений Коши, перемещения.

На практике же затруднения все равно остаются; они заключаются не в подборе функции ϕ , таких функций можно подобрать бесчисленное множество, а в подборе функции, удовлетворяющей одновременно и граничным условиям. Иногда этого вообще не удается сделать.

3.РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ

3.1.Решение плоских задач в полиномах

Функция напряжений ϕ задается в виде полинома

ϕ = (a2 x2 + b2 xy + c2 y 2 ) + (a3 x3 + b3 x2 y + c3 xy 2 + d3 y3 ) +

+(a4 x4 + b4 x3 y + ...) + ...

иисследуется, каким случаям напряженного состояния она может соответствовать. Первые степени не рассматриваются у переменных, т.к. производные по координатам берутся дважды. Исследуется применение ϕ ,

30