Плоские задачи теории упругости. Учебное пособие

Для нахождения C2 потребуется разложить D1 в ряд по cos по известной из математики формуле:

недействительна, но здесь мы имеем бесконечно большие напряжения. Умножая обе части (26) на 4D1 , получим:

n=1

Для того чтобы сумма независящих друг от друга членов равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы каждый член ее равнялся нулю, следовательно: C2 = 2q /α 2 .

При y = h должно быть τ xy = 0 .

n=∞

τ xy y=h = ∑α sin(αx){α [С1 sh(αh) + С2 ch(αh) + С3hsh(αh) + С4 h ch(αh)]+

n=1

+ [С3 sh(αh) + С4 ch(αh)]}.

61

Согласно формуле (27) все выражение в фигурных скобках равно нулю, поэтому D3 = 0 .

Для нахождения оставшихся коэффициентов С1 и С3 решить уравнения (27) и (28). Получим

Итак, все коэффициенты найдены, остается подставить их в формулы для напряжений. В силу того, что выражения получаются очень сложными, рекомендуется вычислять коэффициенты Сi для каждого значения n отдельно,

и в выражения для напряжений подставлять их численные значения. Например, для балки высотой h равной 2l, требуется определить

напряжение σ y в точке с координатами x = 0,4l и y = l / 2 (рис. 40).

y

Рис. 40. Равновесие широкой балки

63

С3 = −2q /α .

Вообще для широких балок, у которых высота больше половины пролета, можно с определенной степенью точности (вполне пригодной для инженерных расчетов) принять:

n =1

n=∞

σy = −2q ∑ cos(αx)(1 + αy)e−αy − q ,

n =1

n=∞

τxy = −2q ∑sin(αx)αye−αy .

n=1

Эти ряды сходятся очень быстро, за исключением мест, расположенных вблизи нижнего края балки (при малых значениях y).

Тогда искомое напряжение σ y в точке с координатами (0,4l; 0,5l) будет равно: σ y = −2q(−0,0135) − q = −0,973q .

На рис. 41 показаны эпюры напряжений σ y на уровнях h / 4 , h / 2 и

напряжений σ x .– в середине пролета и в месте приложения сосредоточенной силы.

64

3.5. Решение плоских задач в полярных координатах

Для тел определенной топологии удобнее использовать не прямоугольные, а полярные координаты.

В этом случае положение на плоскости любой точки определяется

Рис. 42. Бесконечно малый элемент в полярной системе координат

1) Уравнения равновесия. Из пластинки необходимо вырезать бесконечно малый элемент единичной толщины двумя радиальными плоскостями, образующими угол dθ и двумя цилиндрическим поверхностями с радиусами r

и r + dr .

или тангенциальные направления, τ rθ – касательные напряжения.

Нормальные напряжения при переходе от внутренней стороны элемента к внешней получают приращения

Необходимо спроецировать все силы, приложенные к выделенному элементу, на направление r с учетом массовой силы R, направленной вдоль этого направления:

Раскрыть скобки, сделать сокращения, отбросить бесконечно малые величины высшего порядка, разделить на rdrdθ . Окончательно получится первое уравнение равновесия:

и проделать те же операции, что и выше. Получится второе уравнение равновесия:

Тогда уравнение совместности, найденное для декартовой системы:

Прежде чем вывести основную формулу, необходимо установить связь между полярными и декартовыми координатами.

r 2 = x2 + y2 , y / x = tgθ .

Частные производные

Опуская промежуточные выкладки, окончательно для частных производных:

68

Если некоторый элемент, вырезанный из пластинки, перемещается в направлении радиуса на величину u, то он удлиняется в поперечном направлении (рис. 43). Относительная деформация

Относительная деформация в направлении радиуса выражается аналогично деформации, установленной при прямоугольной системе координат:

ds1

y

ds

dθ

u x

r

Рис. 43. Деформации элемента при симметричном нагружении

Если подставить сюда значение u, то: