Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

А. И. МАКАРОВ, Д. А. МАКАРОВ

ДИСКРЕТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МАСС

ВТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

ИЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2014

УДК22.161+519.2+531.8+539.3/.8 М 152

Макаров, А. И.

М152 Дискретная геометрия масс в теоретической механике

иее приложениях / А. И. Макаров, Д. А. Макаров. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 88 с.

ISBN978-5-7996-1084-5

Рассматриваются решения как прямых задач по нахождению моментов инерции твердых тел и их радиусов инерции, так и обратных задач, когда повеличинерадиусаинерциинаходятсяраспределениямасс твердого тела.

Для механиков, физиков, конструкторов транспортной техники и всех тех, кто интересуется теоретической механикой и ее приложениями.

УДК 22.161+519.2+531.8+539.3/.8

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

4.3.Вычисление центров масс, радиусов инерции

имоментов инерции несимметричных

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга посвящена развитию в теоретической механике и ее приложениях новых методов нахождения моментов инерции твердыхтел,ранеерассмотренныхавторамивработе[20].Послеопубликования этой книги выяснилась связь дискретного асимптотического метода вычисления радиусов инерции тел с идеями Э. Маха (1838–1916). В «Механике» [22] Мах высказывает гипотезу о динамическом происхождении инерции твердых тел.

Вданной работемоменты инерции твердых тел (например, автомобиля, пассажирскогосамолетаи другоготранспортногосредства) находятся дискретным асимптотическим методом [20], который можноинтерпретироватькакрезультатвзаимодействиянебольшого числа дискретных тел (N < 5 10) (механической системы), закрепленных так, что при расчетеих можносчитать единым твердым телом. Изучаются как зеркально-симметричные, так и несимметричныераспределениямасс.Решаютсякакпрямыезадачиповычислениюмоментов инерции, таки обратныезадачи, когда повеличине момента инерции можно найти распределение масс. Здесь мы меньше касаемся вопросов теории вероятностей и сопротивления материалов, но больше внимания уделяем теоретической механике и ее приложениям.

Книгабудетполезна механикам, физикам, конструкторамтранспортной техники и всем тем, кто интересуется теоретической механикой и ее приложениями.

Вработах А. И. Макарова, Д. А. Макарова [17–20] показана роль дискретных моментов дальнодействия (МD) в создании элементарной дискретной теории вероятностей (ДТВ) и математической статистики (МС) коллективного дальнодействия. В соответствии с аналогией, существующей между дисперсией DХ в теории ве-

роятностей (ТВ)и моментом инерции твердоготела Jин в механике [4, 14], можновсезакономерностиДТВперенести (распространить)

на моменты инерции твердоготела в теоретической механике(ТМ)

5

[3, 7–11, 15, 16, 22, 24, 30, 31, 33] и на осевые моменты инерции сечений балок и стоек в сопротивлении материалов (СМ) [20].

Дискретное квадратичное преобразование [17–20] распреде-

ления Pi – Xi (i = 0, 1, ..., N) в распределение qi – Yi (i = 0, 1, ..., N)

для трех наук: ДТВ, ТМ и СМ – оказывается общим. Для часто встречающихся эпюр Рi – Xi его можно выполнить заранее с помощью калькулятора, а результаты оформить в виде таблиц или эту часть расчетов выделить в отдельную процедуру при расчетах на компьютере.

Это позволило найти новые асимптотические методы и усовершенствовать существующиетрадиционныеметодывычисления моментов инерции твердых тел Jин и радиусов инерции rин – в ТМ, а также – радиусов инерции сечений балок rин и осевых моментов инерции сечений балоки стоекJу вСМ. Причемвначаленаходятся радиусыинерции rин = MD(в ДТВнаходятся = MD), а затем сами моменты инерции твердыхтел в ТМ или осевыемоменты инерции сечений балок в СМ, что методически более удобно по сравнению с традиционными методами в ТМ и СМ.

При расчете конструкций транспортных и других машин [9–11, 24, 30, 33], как правило, вначале проводится силовой расчет, который определяет скелет конструкции, а затем проводится прочностнойрасчетирасчетперемещений ижесткостиконструкции восновном методами сопротивления материалов и строительной механики. Подбирается материал для элементов конструкции, находятся размеры сечений, и, как говорят конструкторы, «скелет конструкции обрастает мышцами».

Заметим, чтосиловой расчет основан на принципеДаламбера и методе кинетостатики [30] и применяется к несвободным точкам (материальным системам). Силы инерции, входящие в уравнения движения таких систем, есть силы взаимодействия, возникающие попарно.Ониоказываютреальноедействиенадеформируемыетела (конструкции транспортных машин) и должны учитываться в расчетах. С этой целью вводятся коэффициенты перегрузок, которые, кроме расчетов транспортных машин, нашли широкое применение и при расчете авиационных конструкций [33].

6

Глава 1

ИНЕРЦИЯ В МЕХАНИКЕ: краткий обзор

Физика,бойся метафизики!

И. Ньютон [5]

1.1. Инерция в механике: Галилей, Гюйгенс, Декарт, Лейбниц. Близкодействие

Эрнст Мах во введении к «Механике» писал: «Древнейшая и наиболее простая часть физики, рассматривающаяся также потомукакоснова для пониманиямногихдругих еечастей, занимается изучениемдвиженияиравновесиямасс.Онаноситназваниемеханики. <...> История развития механики, знакомство с которой безусловно необходимо для полного понимания и современной формы этой науки, представляет простой и поучительный примертех процессов, которыми вообще развивается естествознание» [22, с. 10].

Прошло более сотни лет с того момента, когда написаны эти строки, но и сегодня они актуальны и современны.

Статика – учение о равновесии тел – изучалась с древнейших времен, за тысячелетия до новой эры, и вплоть до эпохи Возрождения. Сейчас статика содержится в конечном варианте динамики (при ускорении, равном нулю). В сочинениях великого философа Аристотеля(384–322гг. дон. э.):«Физика», «Механика»и др., носящихвосновномфилософский характер, излагаетсяучениеоравновесии рычага и других машин, а также общее учение о движении. Аристотель стремился выяснить причины явлений чисто умозрительным трудом, не прибегая к наблюдению и опыту.

Изучение динамики движения тел систематически началось лишь в эпоху Возрождения. Известно, что Леонардо да Винчи

7

(1452–1519)и Дж. Бенедетти почти полностьюразобралисьспроблемой инерции, применяя ее для научного объяснения ускорения движения тел [5, 28].

Галилео Галилей (1564–1640) экспериментальнопоказал, что в механическом движении сила есть причина ускорения тела. Ю. С. Владимировотмечает: «Важноезначениедлямеханики имелоопровержениеГалилеемаристотелевскогоположения опринципиальномразличии междусостояниями покояи равномерногопрямолинейного движения тел» [5, с. 51]. Галилей был близок к формулированиюзакона инерции, так, в[21]сказано,чтоон установил закон инерции в 1609 г.

Гюйгенс (1629–1695) развил далее исследования, начатые Галилеем, и разрешил также первые задачи динамики многих масс. Галилейограничилсяисключительнодинамикой одноготела. Гюйгенс изобрел часы, изучил движение маятника и дал ряд теорем о центробежной силе и по теории удара. «Для определения центра качаний физического маятника Гюйгенс пользуется отношением суммы произведений масс на квадраты расстояний к сумме статических моментов. Позже Эйлер назвал произведение массы тела на квадрат расстояния моментом инерции» [2, с. 60].

Э. Мах так оценил роль Гюйгенса в механике: «Приведенные рассуждения сослужили нам и ту службу, что они дали нам возможность выяснить природу понятия “момент инерции”. Понятие этоне дает нам ни одного принципиальногопознания, которогомы немогли бы получить и без него. Ноэто понятиеделает излишним отдельное рассмотрение частей масс или осуществляет его раз навсегда, благодаря чему мы более коротким и удобным путем приходим к цели. Таким образом, это понятие имеет известное значение в экономии механики. Послепопыток Эйлера и Cегнера, увенчавшихся небольшим успехом, Пуансо развил далее относящиеся сюда мысли и ввел дальнейшее облегчение своим “эллипсойдом инерции и центральным эллипсойдом”» [22].

Декарт (1596–1650) сформулировал закон инерции: «Всякая вещь <...> продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и изменяетегонеиначе, какотвстречисдругими. Отсюда должно заключить, что тело, раз начав двигаться, продолжает это движение и никуда само собою не останавливается» [5, c. 53].

8

Известно, «чтозаслуги Декарта вразвитии, независимоотГалилея, основныхпредставлений современной динамики более значительны, чем это принимают обыкновенно... Во время своего пребывания в Голландии (1617–1619) Декарт вместе с Бекманом занимался изучением ускорения падающего тела, исходя из исследований Кордано и, вероятно, также Сколингера и Бенедетти. Как это явствует из писем Мерсена 1629 года, т. е. до опубликования работы Галилея, он совершенно познал закон инерции, закон рав- номерно-ускоренного движения под действием постоянной силы,

иошибался только в определении зависимости расстояния, пройденного в своем движении» [22, с. 439].

ФилософияГ.В.Лейбница(1646–1716)представляетсобойсин- тез идей античности, главным образом Аристотеля, и естественнонаучных представлений его времени, сформировалась в полемике с позицией Р. Декарта и его современника И. Ньютона. А. Н. Боголюбов отмечает:«В механикеЛейбниц был принципиальным противником Декарта... Он, следуя Гюйгенсу и обобщая его результаты, вводит (1686 г.) в механику понятие живой силы... Он ввел кинетическуюэнергиюкакмерудвиженияиподошелкформулировке закона сохранения энергии при взаимодействии тел...» [2, с. 65].

Работы Галилея, Гюйгенса и Ньютона довольно подробно и критически рассмотреныв «Механике»Маха. Тамже уделеновниманиеработам Декарта, Лейбница и других ученых XVI–XVIII вв.

Такимобразом, дозакона всемирноготяготенияНьютона принималось, чтовсе процессывзаимодействиятел сводятся ких прямому контакту: ударило одно тело другое – вот вам и взаимодействие. Это были типичные теории близкодействия. Декарт, Гюйгенс

иЛейбниц были сторонниками теории близкодействия.

1.2.Механика Ньютона. Дальнодействие

Исаак Ньютон (1642–1723) своей работой «Математические началанатуральной философии»(1687)завершилнаучнуюреволю-

9

цию, начатуюГалилеем, Гюйгенсом, Декартом, Лейбницем, Кеплером, Гуком и другими учеными. Его труд явился основой для создания ньютоновской механики и нового миропонимания [25].

Э. Мах отмечает: «...В области динамики у Ньютона двоякого рода заслуги. Во-первых, он весьма расширил полезрениямеханической физики своимоткрытиемвсеобщеготяготения. Во-вторых, он дал завершение принятым в настоящее время принципам механики. После негоне был более провозглашен ни один существенно новый принцип. Все, что после него было сделано в механике, относилось только к дедуктивному, формальному и математическомуразвитиюмеханики на основепринциповНьютона»[22, с. 154].

Известно, что закон всемирного тяготения изучал Роберт Гук (1635–1703), приоритет открытия закона принадлежит Гуку, что подтверждает официальное письмо в Королевскую академию. Но Ньютон даже не сослался на Гука, ведь он занимался математикой [28] и не обязан был ссылаться на открытия в физике. Именно этот закон впервые использует дальнодействие, до него Гюйгенс, Декарти Лейбниц предполагали, чтовсепроцессывзаимодействия тел происходят через непосредственный контакт. После того как Ньютон понял, что яблоко притягивается Землей, он додумался до всеобщего принципа: все тела притягивают друг друга и сила взаимодействия F прямо пропорциональна квадрату расстояния между этими телами r01, если зацентры тел приниматьих центры масс, т. е.

где – гравитационная постоянная.

Как видно из формулы (1.2.1), взаимодействие тел с массами m0 иm1 происходитбезконтактачерезпустоепространство.Длямногих механических задачэтот закон позволяет довольноточнонаходить силы взаимодействия.

Так, небеснаямеханика современ Лапласа [1]исходитизтого, что Солнце и планеты Солнечной системы представляют собой материальные точки, расположенные в центрах масс этих планет, смассами,соответствующимимассамэтихпланетиСолнца, асилы

10