Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

тяготения, действующие между телами, находятся в соответствии с законом всемирного тяготения (1.2.1). И такая небесная механика на основе механики Ньютона вполне удовлетворительно описывает движение планет и позволяет прогнозировать взаимное их положение на небосводе на довольно большой срок.

Ньютон соединил уже известную формулу второго закона F= m а с математикой через изобретенное им дифференциальное исчислениеиполучилдифференциальныеуравнениядвижениятел, которыевсовременномвидезаписываютсяследующимобразом[28]:

где i = 0, 1, ..., N; i – номер материальной точки; mi – масса точки; xi – координаты; Fi – равнодействующие всех сил, действующие на i-ю материальную точку.

Уравнения (1.2.2) с виду просты, но интегрирование их довольно затруднительно и не всегда возможно. Во многих частных случаях в силы Fi входят и силы инерции, введенные Эйлером, и моменты инерции. Моменты инерции впервые в механику ввел Гюйгенс, а Эйлер дал им название и применил к вращательному движению тел.

Практика научных расчетов показала, что во многих задачах как земной, так и небесной механики расчеты, проведенные с использованием ньютоновской механики, дают результаты, которые не расходятся с опытом.

Ньютон своиуравненияинтегрировалгеометрически, чтовесьма трудоемко. Исходяизположений Ньютона и Гюйгенса, Леонард Эйлер (1707–1783) развивает динамику как рациональную науку. ТрактатЭйлера«Механика,илиНаука одвижении,изложеннаяаналитически» (1736) посвящен динамике точки [2]. В предисловии Эйлер указывает, что он впервые применил в механике анализ, благодаря которому только и «можно достигнуть ее полного понимания...».

В 1760 г. вышла в свет «Теория движения твердых тел» Эйлера. Здесь он возвращается к понятиям покоя и движения, которые рассматриваеткакизменениеположениятела или точки впростран-

11

стве. В каждом телеон определяетцентр масс, или центр инерции, причем указывает, что понятие центра тяжести является более узким, так как обусловливается лишь тяготением, определяет также момент инерции тела и изучает движение тела вокруг закрепленной оси, а затем движение свободного твердого тела. Это движение он разлагает на движение центра инерции тела и на движение вокруг центра инерции тела и выводит систему уравнений, описывающих его [2].

Следующий шаг в создании динамики сделал Даламбер, его «Трактатодинамике»былопубликован в1743г. ЖанЛерон Даламбер (Д’Аламбер) (1717–1783) был одним из самых блестящих ученых XVIII в. Даламбер утверждал, чтомеханика строится на основе трех принципов: инерции, сложного движения и равновесия. Первая часть трактата посвящена статике. Основным содержанием второй части является изложение принципа Даламбера.

Лагранж так характеризует этот принцип: «...предложен прямой и общий метод, с помощью которого можно разрешить, или во всяком случае выразить в виде уравнений, все проблемы механики, какие только можно себе представить. Этот метод приводит всезаконы движениятелк законом ихравновесияи такимобразом сводит динамику к статике» [2].

После Ньютона многие великие умы занимались разработкой аналитических методов составления и интегрирования уравнений движения твердых тел и механических систем: Эйлер, Клеро, Иоанн, Якоб и Даниил Бернулли, Даламбер, Лагранж, Лаплас, Коши, Якоби, Пуансо, Пуассон, Гаусс, Гамильтон, Остроградский, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, В. И. Арнольд,

Ю. Мозери многиедругие[1–3, 5–11, 15, 16, 22–25, 28, 30, 31, 33].

1.3. Механика Маха. Дальнодействие

Э. Мах(1838–1916) на рубежеXIX и XXвв. писал в«Механике»: «Именно простейшие с виду принципы механики очень слож-

12

ны; они основаны на незавершенных и даже недоступных полному завершению данных опыта; практически они, правда, достаточно проверены для того, чтобы принимая во внимание достаточную устойчивость окружающей нас среды, служить основой для математической дедукции, но сами они вовсе не могут рассматриваться как математические истины, а они должны рассматриваться, напротив того, как принципы не только способные поддаваться непрерывному контролю опыта, но даже нуждаться в нем» [22].

Э. Мах критикует понятие массы, введенное Ньютоном. Мы советуем читателю самому познакомиться с критикой Махом механики Ньютона. Мы жеобратимся к вопросам, связанным с законом инерции.

Известно, что идеи Маха очень интересовали одного из авторов специальной теории относительности (СТО) – А. Эйнштейна. Двумя другими авторами СТО являются Х. А. Лорентц и А. Пуанкаре.А. Пайсвнаучной биографииА. Эйнштейнадаетанализмеханики Маха:«Основным нововведением в механике Маха стал отказ от понятия абсолютного пространства при формулировке закона инерции. Запишем этот закон следующим образом:система, на которую не действуют никакие силы, находится либо в покое, либо в состоянии равномерного прямолинейного движения по отношению к Х:

Х= абсолютное пространство – Ньютон;

Х= идеализированное представление

онеподвижных звездах как о жесткой системе – Мах» [26]. «Когда мыговорим, чтонекоторое телосохраняет неизменны-

ми скорость и направление своего движения в пространстве, то подразумеваем, чтоэтократкоеутверждениеотноситсяковсей Вселенной», – так выразился Мах [22]. Далееон утверждает, чтоотношение ко всей Вселенной можно ограничить массивными телами на больших расстояниях, которые образуют жесткую систему неподвижных звезд, так как перемещения по отношению к близким телам взаимно компенсируются [26].

Заметим, что для большинства практических задач механика Маха совпадает с механикой Ньютона.

13

Затем Мах ставит новую проблему. Закон инерции Ньютона относится к абсолютному пространству; этот закон является акси-

матическимпринципомкинематики. ПомнениюМаха,закон инер-

ции есть закон движения тел поотношению к неподвижным звездам. Не следует ли поэтому искать динамическое объяснение такого движения, точно так же, как динамически объясняются орбиты планет или относительное движение заряженных частиц, описываемое электродинамикой? Это не цитата из Маха, однако такой динамический подходощущаетсявеговопросе:«Чтостанетсзаконом инерции, если небеса в целом придут в движение, а звезды начнут беспорядочно метаться? Как тогда применять этот закон? Как он будет выглядеть?.. Только, если вся Вселенная распадется на части, мы поймем, что все тела в равной степени важны для выполнения закона инерции» [26].

ВкнигеМаха неговоритсяотом, какна практикеучестьвклад со стороны каждого тела, – он не предложил конкретной динамической схемысвоегоновоготолкованиязакона инерции. Он открыл закон инерции Маха, а не принцип Маха [Там же].

Забегая вперед, отметим, что в настоящей работе в главе 3 идея Маха о взаимодействии тел (материальных точек, лежащих на прямой) оказалась выполненной на практике с использованием дискретного асимптотического метода при вычислении радиуса инерции

rин = МD,

где МD – момент дальнодействия.

При квадратичном преобразовании дискретного единичного распределения масс тела взаимодействуют части тела: 0, 1, ..., N. Таким образом находится момент инерции тела:

Jин = r2ин m = МD2 m,

где m – масса тела.

Адинамическиеуравнениядвижениятела находятсяпри этом так же, как и в механике Ньютона.

14

1.4. Уравнения электродинамики Максвелла. Механика Герца. Близкодействие

Максвеллдалчеловечествубольше, чемвсе фондовыебиржизавсю историю их существования.

М. Тэтчер [29, с. 15]

Дж. К. Максвелл (1831–1879) принадлежит к числу величайших ученых мира. Труды Максвелла поэлектромагнетизмув определенном смысле завершили теорию электромагнитных взаимодействий. Максвелл ввел понятие тока смещения, вывел правильную систему уравнений и обнаружил решения, соответствующие световым волнам [21]. Максвелл много работал над созданием механических моделей единого эфира с вращающимися шестернями

исложными передачами между ними. Он создал теорию близкодействия в то время, когда в науке господствовала теория дальнодействия Ньютона. Но и дальнодействие ему не было «чуждым». Так, В. В. Веденяпин пишет: «...Максвелл, по существу, искал устойчивые решения гидродинамического следствия кинетического уравнения типа Власова в самосогласованномполе»[21]. Известно, что уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы основано на дальнодействии.

Проверяя по заданию Г. А. Гельмгольца (1821–1894) максвеллов ток смещения (в существовании которого Гельмгольц сомневался), Генрих Герц (1857–1894) подтвердил существованиеэлектромагнитных волн. Герц внес значительный вклад в упрощение уравненийМаксвеллаиихэкспериментальноеобоснование.Онразработал механику, в основе которой лежит близкодействие.

Основой бессиловой механики Герца [3, 6] является принцип прямейшего пути. Принцип прямейшего пути Герца дополняет закон инерции Ньютона. Этот принцип гласит, что всякая «свободная» система движется по прямейшему пути (т. е. по пути с наименьшей кривизной). Герц в своей механике устраняет понятие силы в том виде, в каком оно определено в механике Ньютона,

ирассматривает силы как эффект явных или скрытых связей. По-

15

этому понятие «свободная система» по Герцу означает, что точка системы находится только под действием наложенных на систему связей. Геометрический подход Герца требует использования в механике дифференциальной геометрии.

1.5.Роль механики в физике

иприкладной механике

Б. М. Моисеев отмечает: «Объяснение сущности явления без точного количественного описания не выводит физику на инженерные просторы, делает ее беспомощной. В то время как математическое описание без выявления физической природы явления с легкостью переводит теорию на просторы математических спекуляций. Только единство физики и математики делает науку рациональной и практически значимой. Но при этом физика остается физикой, и ее методы и методологические принципы доступны не всем, так же, как и математические методы и методологические особенности современной математики» [23, с. 18]. Из этого следует, чтомеханикдолжен бытьи физиком, и математиком. Талантливый физик может быть беспомощен в математике (например, Фарадей), и наоборот – талантливый математик может ничего не понимать в физике. Эта реальность, с которой надо считаться, но обучатьнужнотак, чтобыспециалистпонимали физику, и математику, и механику. Синергетика [1] требует от специалиста владения еще большим числом научных дисциплин.

Заметим,чтоЗабуски(N.J.Zabusky,1981)сформулировалблизкую к вышеприведенной трактовку синергетического подхода: «Синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам можно определить как совместное использование обычного анализа и численной машинной математики для получениярешений разумнопоставленныхвопросовматематического и физического содержания, систем уравнений» [13].

«Несмотря на исключительныепо своим последствиям заслуги и достижения, полученные с помощью квантовой теории, существуют проблемы преодоления принципов и ограничений, по-

16

ложенных в ее основу. Самое интересное в физике – не состояние, а процессы, для изучения которых аппарат современной квантовой теории не приспособлен» [23]. При создании технологических лазеров механические теории играют огромную роль, так как часто конструкции лазеров создаются эмпирическим и экспериментальнымпутем, при этомиспользуютсяприближенныетеории, например, полуклассическая теория Г. Хакена [32] и др.

Механика Ньютона и ее аналитические аналоги, в основе которых лежат принципы Ньютона, все времяразвиваются. Выяснилось, что законы механики Ньютона не абсолютны. Появилась новая механика – СТО. Однако оставим СТО физикам и философам, механикам и инженерам достаточно механики Ньютона. На базе механики Ньютона развиваютсямногиеприкладныенауки:сопротивлениематериалов, теорияупругости, гидродинамика, теорияпограничного слоя, газовая динамика и др. В этих науках к законам механики добавляются другие законы, характеризующие свойства тел. Так, в сопроматеучитываютсяи деформации тел, и закон Гука о связях деформаций с силами. В газовой динамике учитывается сжимаемость газа. В частности, Эрнст Мах с 1881 г. изучал аэродинамические процессы, сопровождающие сверхзвуковой полет тел. Он открыл и исследовал волновой процесс, позже получивший название ударной волны. В этой области именем Маха назван ряд величин и понятий: Маха число, конус, угол, линия и др. [22].

Моменты инерции твердых тел кроме теоретической механики широкоиспользуются всопротивлении материалов [20] и физике частиц [15].

1.6. Силовой расчет и принцип Даламбера

Составление и решение уравнений движения твердого тела типа (1.2.2) вызывает большие трудности. Поэтому обычно расчет сложных конструкций при динамическом нагружении, как правило, сводят к статическому расчету. Теоретически многие динамическиенагрузки на конструкциюможносвести к статическим уси-

17

лиям и реакциям связей, если воспользоваться принципом Даламбера и к действующим силам и реакциям связей добавить силы инерции вцентремассконструкции, принимаемой за твердоетело. Силовой расчет определяет статические нагрузки, на основе которых и строится скелет конструкции. Этот скелет (автомобиля, самолета или другого транспортного средства) постепенно, в результате удовлетворения всех требований по эксплуатации, функционированию, управляемости, прочности и жесткости, надежности, устойчивости движения и т. д., в процессе работы над техническими рабочимпроектомбудетпревращатьсявгоднуюдляэксплуатации конструкцию. Кроме того, нагрузки для серийных машин определяют и экспериментально. Именно сочетание теоретических и экспериментальных методов помогает найти практические методы проектирования для всех требуемых расчетных случаев. Заметим, что экспериментальные коэффициенты перегрузки вводятся на основе принципа Даламбера и метода кинетостатики для деформированных тел [30, 33].

Принцип Даламбера дляматериальной точки можнополучить из уравнения Ньютона–Галилея [16, с. 36], т. е. второго уравнения Ньютона:

F = m a.

Если перенести член ma в левую часть уравнения, тополучим

Это и есть принцип Даламбера. Величина, стоящая в скобках, условноназываетсясилойинерции. Принцип читаетсятак:при движении материальной точки действующиена неесилы и сила инерции взаимно уравновешиваются.

Из принципа Даламбера следует, что добавление силы инерции к силам, действующим на движущуюся точку, дает взаимно уравновешеннуюсистемусил, т. е. такоедобавлениепозволяетрассматривать динамическую задачу как статическую (метод кинетостатики) [30]. И тогда для ее решения можно воспользоваться общим методом решения задач на равновесие. Примеры решения таких задач даны в [3, 7, 9, 16, 24, 30, 33]. Заметим, что сам термин «инерция» был предложен Даламбером.

18

Твердоетеломожнорассматриватькаксистемуматериальных точек, расстояния между которыми не меняются ни при каких ус- ловиях.Поэтомудинамикатвердоготела–частный случайдинамики системы. Все теоремы и формулировки, справедливые для динамики системы, применимы и к задачам динамики твердого тела (но не наоборот).

При поступательном движении все точки твердого тела движутся одинаково, поэтому динамика поступательного движения твердого тела просто сводится к динамике точки. Так, примеры практическогоиспользования этогофакта даются в книгеЛ. А. Гобермана [9, с. 10] при определении динамических нагрузок на автоцистерну. Для решения задач вращательного движения твердого тела необходимонаходить моменты инерции твердоготела [3, 7–11, 15, 16, 30, 31, 33].

1.7.О дискретном асимптотическом методе определения радиусов инерции

Традиционный метод Гюйгенса–Эйлера для определения моментов инерции твердого тела достаточно хорошо разработан и изложен в книгах по теоретической механике и ее приложениям [3, 7, 8, 15, 24, 30, 31, 33]. Однакопри решении практических задач по определению моментов инерции для автомобилей, пассажирских самолетов и т. д. трудности как вычислительные, так и иные (например, решение обратных задач: по заданному моменту инерции найти распределение масс вдоль главной оси транспортного средства при некоторых ограничениях) остаются, и их сложно преодолеть в рамках традиционного метода.

В книге авторов [20] разработан другой метод – дискретный асимптотический метод нахождения радиусов инерции rин, а по ним – и осевых моментов инерции Jин. Этот метод применим для болееузкогокласса моментов инерции (для центробежных моментов он не применим) и для более узкого класса конструкций, имеющих ось симметрии – главную ось конструкции (автобусы,

19

пассажирские самолеты и др.). Преимущество этого метода в том, что в его рамках легко решаются обратные задачи. Более подробное описание метода и его развитие для решения задач механики будет дано в главах 2, 3 и 4. В этих главах читатель познакомится со многими преимуществами этого метода, например, более простыми методами вычисления осевых моментов инерции твердого тела. Вглаве3установленавзаимосвязьдискретногоасимптотического метода с идеями Маха [22, 26].

20