Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

Введем единичную массу

где pi = mi/m, i = 0, 1, ..., N.

Получили формулу, совпадающуюсформулой для ДТВ[17–20]:

N

pi 1,

i 0

где pi – вероятности i-й случайной величины (с. в.).

Для дискретных распределений вероятностей pi, i = 0, 1, ..., N,

при pi 1 нами в [17–20] быловведено квадратичноепреобра-

зование и обратное квадратичное преобразование. Поэтому имеет смысл такие преобразования ввести и использовать для единично-

N

го распределения масс pi = mi/m, pi 1.

i 0

Координата центра масс

где MY – матожидание c. в. y.

3.2. Квадратичное преобразование единичного распределения масс тела. Обратное квадратичное преобразование.

Момент дальнодействия

Квадратичноепреобразованиеединичногораспределениямасс тела совпадает с квадратичным преобразованием распределения вероятностей случайной величины (с. в.) y, так как эти два распределения совпадают [17–20]:

pi = (p0, p1, ..., pN),

N

где i = 0, 1, ..., N, pi 1.

i 0

41

Для распределения масс pi = mi/m, i = 0, 1, ..., N, и

Расстояние между центрами масс частей тела постоянное и равноl.Возведемвквадратправуюи левуючасти уравнения(3.2.1), получим систему [20]:

(3.2.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yN –1 (N –1)l, qN –1 2(p0 pN –1 p1 pN ),

N

yN Nl, qN 2 (p0 pN ), qi 1.

i 0

Даннуюсистему(3.2.2)мыиназваликвадратичнымпреобразованием единичного распределения масс (или вероятностей) в единичное инерционное распределение масс q = (q0, q1, ..., qN).

Каквидноизформул(3.2.2), этопреобразованиевсегда выполнимопри заданномединичномраспределении массpi, i =0, 1, ..., N,

N

иpi 1.

i 0

Дискретный момент дальнодействия МD [17–19]:

где yi – координаты центров масс частей тела в i-хдискретных точ-

ках, i = 0, 1, ..., N.

Физический смысл МD мы рассмотрим в следующем параграфе, где покажем, что МD = rин – радиусу инерции твердого тела.

Если же нам, наоборот, известно инерционное распределение масс q = (q0, q1, ..., qN), то по-иному записав систему (3.2.2), получим

42

Решив систему (3.2.4), найдем исходное единичное распреде-

N

ление масс р = (р0, р1, ..., рN), для проверки используем pi 1.

i 0

Система (3.2.4) обратного квадратичного преобразования является квадратичной нелинейной алгебраической системой и ее решение может вызвать трудности, однако в некоторых частных случаях она легко решается.

Двегеометрическиехарактеристики матожидание–MY, определяемоепо формуле (3.1.1) (унас этоцентр масс тела), и дискретный моментдальнодействияМD, определяемый поформуле(3.2.3), какэтоизвестноиздискретнойтеориивероятностей [17–20], вполне удовлетворительно характеризуют распределение вероятностей c. в. yi, i= 0, 1, ..., N. Следовательно, и для распределения масс тела эти две дискретныегеометрические характеристики – MY = yc и MD= rин (rин – радиус инерции тела) должны вполне удовлетворительно характеризовать распределение масс твердого тела.

3.3.Дискретный асимптотический метод

вдинамике твердого тела

Кроме традиционного метода Гюйгенса–Эйлера – метода определения моментов инерции твердого тела в динамике твердого тела [3, 7, 15, 22, 24, 30, 33] (см. гл. 2), радиусинерции rин и осевые моменты инерции твердого тела Jx = Jz (рис. 2.4.1) для тел, имею-

43

щих осью симметрии Oy (которая является и главной осью), можно находить с помощью дискретного асимптотического метода, который вытекает из аналогии между дисперсией в теории вероятностей и осевым моментом инерции в теоретической механике.

Известно [20], что дискретные геометрические характеристики:

MY = yc и y MD или DY = y2= MD2,

характеризуют дискретное распределение вероятностей с. в. y, тогда и MY, и MD характеризуют дискретное распределение вероятностей с. в. y.

Автеоретической механике, всилуаналогии стеорией вероятностей [4, 14], yc – координата центра масс твердого тела и rин – радиус инерции твердого тела характеризуют единичное распреде-

лениемасс твердого тела, нотогда и yc и Jxc = Jzc = mrин2 = m MD2 – осевые моменты инерции твердого тела характеризуют распреде-

N

лениемасстела, гдеm –масса тела, m mi , гдеmi (i =0, 1, ..., N)–

i 0

части тела.

Итак, координата центра масс тела yc и осевыемоменты инерции Jxc = Jzc характеризуют распределениемасс твердоготела (конструкции транспортного средства).

Для нахождения приближенного значения радиуса инерции rин = rx = rz необходимо распределение массы тела вдоль оси Oy

(рис. 2.4.1), mi – yi, i = 0, 1, ..., N, представить в виде единичной

масса тела. Далее дискретным квадратичным преобразованием (3.2.2) распределение единичной массы тела pi – yi, i = 0, 1, ..., N,

N

pi 1 преобразуем в распределение единичной инерционной

i 0

N

(во вращательном движении) массы qi – yi, i = 0, 1, ..., N, qi 1,

i 0

как это делалось в работах по ДТВ [17–19], в работе по дискретной геометрии масс [20] и в п. 3.2.

44

Дискретный момент дальнодействия

N

MD yi qi

i 0

и будет приближенно равен радиусу инерции твердого тела

rин = rxc = rzc = MD,

так как MD = y,

y2 = DY = Jx1c = Jz1c,

где DY– дисперсияс. в. y, Jx1c = Jz1c –осевыемоментыинерции еди-

ничной массы m = 1 относительно осей, проходящих через центр масс С.

Радиусы инерции тела

Jz1c DY 2y y MD.

Тогда для массы тела m

так как rин = MD.

Это методически болеепоследовательный способ нахождения осевых моментов инерции: вначале находится радиус инерции rин, а затем по нему – осевой момент инерции.

Итак, получили новый дискретный асимптотический закон в динамике твердого тела:

Квадратичное преобразование дискретного единичного рас-

N

пределения масс твердого тела рi – yi, i = 0, 1, ..., N, pi 1 дает

i 0

единичное инерционное (во вращательном движении) распреде-

45

позволяет с некоторой погрешностью найти радиус инерции тела

N

rин MD yi qi,

i 0

при этом осевые моменты инерции

Косвенно этот приближенный закон подтверждается тем, что моментыинерции, найденныетрадиционнымметодом, частоблизки к моментам инерции, найденным дискретным асимптотическим методом. В этом читатель может убедиться после исследования большого числа задач [20] (см. также гл. 4 данной книги).

3.4.Дискретный асимптотический закон

исинергетика

Винтервью с Е. Н. Князевой отец синергетики Г. Хакен определил ключевые понятия, раскрывающие сущность синергетики:

1. Исследуемые системы состоят из нескольких или многих одинаковых или разнородных частей, которые находятся во взаимодействии друг с другом.

2. Эти системы являются нелинейными.

3. При рассмотрении физических, химических и биологических систем речь идет об открытых системах, далеких от теплового равновесия.

4. Эти системы подвержены внутренним и внешним колебаниям и т. д.

Взглянув на систему квадратичного преобразования единичного распределения масс твердого тела рi – yi, i = 0, 1, ..., N,

N

pi 1 (3.2.2) в единичное распределение инерционных масс

i 0

46

N

qi – yi, i = 0, 1, ..., N, qi 1, мы видим, что массы pi взаимодей-

i 0

ствуют с массами pj, где индексы i = 0, 1, ..., N и j = 0, 1, ..., N. Если известны единичные значения масс (p0, p1, ..., pN), то единичные значения инерционных масс (q0, q1, ..., qN) просто вычисляются по формулам системы (3.2.2).

Однако если нужно решить задачу обратного квадратичного преобразования по системе (3.2.4): при известных (q0, q1, ..., qN) найти исходные (p0, p1, ..., pN), то система (3.2.4) уже является нелинейной, квадратичной системой и ее решение в общем случае может вызвать некоторые трудности.

Припроектированииконструкции,например,автомобиля(твердого тела), части тела могут меняться местами (например, место установки двигателя), могут добавляться новые части тела. Масса тела (автомобиля)может колебаться. Она можетувеличиватьсяили уменьшаться в зависимости от заправки топливом и расхода топлива во время движения, меняется груз, меняется дорога, реакция дороги и может перераспределяться масса частей тела при вращательномдвижении тела. Как тепловая машина, автомобильявляется открытой системой.

Таким образом, при проектировании конструкции транспортного средства мы имеем все признаки синергетической системы. Вкнигеавторов[20]показано, чтосистемыалгебраическихуравнений (3.2.2)и (3.2.4)применяютсяв теории вероятностей и математической статистике, в теоретической механике, в сопротивлении материалов для определения осевых моментов инерции сечений балок и стоек. В теоретической физике они могут использоваться для нахождения моментовинерции системчастиц, лежащихна одной прямой (ротаторов). Системы (3.2.2) и (3.2.4) вполне конкретнопоказывают, как взаимодействуютчасти тела или частицы, входящие в систему. Ранеев книгах [17–20] мы показывали, как взаимодействуют между собой вероятности случайных величин.

47

3.5.Математическое и физическое содержание дискретного асимптотического метода

ПустьтвердоетелососьюсимметрииOyдвижетсявплоскости xOy (рис. 3.5.1) поступательно по оси Oy, его центр масс – т. С находится на оси Oy и координата центра масс C

N

yc MY yi pi,

i 0

N

где pi = mi/m, i = 0, 1, ..., N, pi 1 – единичная масса тела, m =

i 0

N

m pi – масса тела.

i 0

В точке К поступательноедвижение тела переходит вовращательное движение тела.

При поступательномдвижении теломожнорассматриватькак материальную точку с центром масс в т. С, yc = MY.

Уравнениедвижениятакоготела (материальной точки С)имеет вид:

где Y – главный вектор внешних сил по оси Oy.

При переходе через т. К для вращательного движения тела уравнение движения тела имеет вид (рис. 3.5.1):

где Mzc – главный крутящий внешний момент.

На рис. 3.5.2 показана схема начала аварии скоростногопоезда в Испании (около г. Сантьяго, 25.07.2013 г.). Вместо скорости 80 км/ч, допустимой на криволинейном участке железной дороги, поезд имел скорость 190 км/ч. Локомотив поезда и следующий вагон сошли с железной дороги (см. схему на рис. 3.5.2). Сначала сошла с рельсов задняя часть локомотива. Локомотив развернуло в результате момента инерции Jzc, а задняя часть локомотива при-

48

x xñ

zñ O1

Mxñ

Mzñ

C

y

xñ

Ðèñ. 3.5.1

вагон

локомотив

49

поднялась из-за момента инерции Jxc, следующий вагон пошел за задней частью локомотива.

Дискретный асимптотический закон определения радиуса инерции твердоготела кромеалгебраической формы(3.2.2), (3.2.3) можно представить и в дифференциальной форме. Так, переход поступательного движения тела в т. К (фазовый переход) к вращательному движению тела можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (рис. 3.5.1):

Решением этой системы при t > tк является система алгебраическихквадратичныхуравнений,названнаянами квадратичным преобразованием:

50