Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

где q0, q1, ..., qN –перераспределенныеинерционные(вовращатель-

N

ном движении) части единичной массы pi 1.

i 0

Осевые моменты инерции тела:

Jzc Jxc mrин2 m MD2,

где m – масса тела.

Если твердое тело движется от вращательного участка пути к поступательному (т. К), то такой фазовый переход можно описать системой ОДУ:

При qi, i = 0, 1, ..., N qi = const решениесистемы (3.5.6) примет вид системы обратного квадратичного преобразования:

тема (3.5.7) нелинейная квадратичная. В некоторых частных случаях при зеркально-симметричном распределении масс тела сис-

51

тема легко решается снизу вверх. В общем случае систему решить нелегко.

Каквидноизформул(3.5.4)и (3.5.7), масса тела (автобуса или самолета), оставаясьпостоянной, перераспределяетсяпри переходе от поступательного движения к вращательному, или наоборот.

А. Пайс пишет: «В своей заметке Эйнштейн заявляет: “Это наводит на мысль о том, что инерция материальной точки полностью обусловлена воздействием всех остальных масс посредством некоторого рода воздействия с ними”. <…> Это полностью совпадает с точкой зрения, выдвинутой Э. Махом в его исследованияхпоэтомувопросу.Сэтогомомента такиевысказыванияоМахе повторяются неоднократно. В статье Эйнштейна и Гроссмана читаем: “[Наша теория] согласуется со смелой мыслью Маха о том, что причиной инерции является взаимодействиерассматриваемой материальной точки со всеми остальными [массами]”» [26].

Авторы книги [20] придали смелой мысли Маха вполне конкретный вид дискретного асимптотического закона определения радиуса инерции твердого тела, покоторому находится осевой момент инерции тела. И этот закон действует в механике Ньютона.

Алгоритмы традиционногометода Гюйгенса–Эйлера просты, проще нашего дискретного асимптотического метода, но традиционным методом трудно решать обратные задачи, которые возникаютпри проектировании конструкций транспортныхсредств. Икроме того, в традиционном методе при определении моментов инерции нет взаимодействия частей тела mi, i = 0, 1, ..., N, по Маху.

Какой из этих методов ближе к истине, к экспериментальным данным?На этотвопросмогут лишьотчасти ответить экспериментальныеисследования.Вовсякомслучаерезультатыэтихдвухметодовнесильноотличаютсяи авторы советовали быиспользовать оба метода одновременно. Важное преимущество дискретного асимптотического метода нахождения моментов инерции состоит в том, что квадратичноепреобразование распределения pi, i = 0, 1, ..., N,

N

pi 1 в распределение qi, i = 0, 1, ..., N, qi 1 и обратное

i 0

квадратичное преобразование позволяют легко решать обратные задачи.

52

Заметим, что данное определение радиуса инерции rин = МD

и черезнего–осевыхмоментов инерции:Jzc = Jxc = r2 m= MD2 m, где m – масса тела, можно былобы принять за определениеосевого момента инерции, вместо определения Гюйгенса–Эйлера. Это был бы иной принцип механики, и он незначительно отличалсябы от принципа Гюйгенса–Эйлера – определения осевых моментов инерции твердого тела.

Дискретный асимптотический метод, как правило, дает завышенныезначениямоментов инерции (от 0до 30%) посравнению с традиционным.

Л. Больцман писал:«Махостроумнопояснял, чтони одна теория не является совершенно правильной, но также едва ли является и совершенно ошибочной, скорее всего, всякая теория должна постоянноусовершенствоваться, как организм потеории Дарвина. Благодаря ожесточенной борьбе, которая против нее ведется, постоянно отпадает все нецелесообразное, а целесообразное остает-

ся» [1, с. 104].

53

Глава 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТВЕРДЫХ ТЕЛ ДИСКРЕТНЫМ АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Трудно не признать, что наши элементарныеметодыявляютсяболее простыми и более прямыми, чем методы анализа.

Р. Курант, Г. Роббинс

4.1.Вычисление радиусов инерции

имоментов инерции

зеркально-симметричных распределений масс

Какправило,длязеркально-симметричныхраспределений масс

N

твердых тел центр масс yc MY yi pi можнои без вычислений

твердоготела; N – количествоучастков, на котороеделится расчетная длина тела; l – расстояние между дискретными материальными точками. В данном параграфемы решим первыечетырепримера п. 2.4, но уже дискретным асимптотическим методом.

П р и м е р 1 [15]. Даны двечастицы (рис. 4.1.1), нос равными массами m0 = m1:

p0 = m0/(m0 + m1) = 0,5,

p1 = m1/(m0 + m1) = 0,5,

yc = MY = 0,5l.

54

x

Рис. 4.1.1

Р е ш е н и е. Произведем квадратичное преобразование:

y0 0, q0 p02 p12 0,25 0,25 0,5, y1 l, q1 2p0 p1 2 0,5 0,5 0,5,

1

qi 0,5 0,5 1.

i 0

1

rин MD yiqi yi 0,5 l 0,5, rин 0,5l.

i 0

Результат совпадает с данными Ландау, Лифшица [15] и результатом примера 1 (п. 2.4). Заметим, что вместо частиц можно предполагатьдва контейнера смассами m0 =m1 или двечасти твердого тела (две материальные точки).

55

П р и м е р 2. Выпуклое зеркально-симметричное распределение масс. Контейнеры имеют массы m0 = m5, m1 = m4, m2 = m3,

3

p2 12 p3.

Р е ш е н и е. Вычислим квадратичное преобразование:

По традиционному методу (рис. 2.4.2) Jxc = Jzc = 1,9167 ml2.

56

Дискретныйасимптотический методдаетзавышенноена 26,3% значение по сравнению с традиционным методом.

П р и м е р 3. Вогнутое зеркально-симметричное распределение масс. Контейнеры имеют массы m0 = m5, m1 = m4, m2 = m3, m1 < m0, m2 < m1 и имеют одинаковые размеры:

Р е ш е н и е. Вычислим квадратичное преобразование

(рис. 4.1.3):

57

58

Jxc Jzc r2 m 4,9382ml2,

где m – масса тела.

Традиционный метод дает Jxc= Jzc = 3,9167 ml2 (рис. 2.4.3).

4,9382 –1 0,2608, или 26,08%. 3,9167

Дискретный асимптотический метод дает завышенное на 26,08 % значение момента инерции по сравнению с традиционным методом.

П р и м е р 4. Равномерное распределение масс. Контейнеры имеют одинаковые массы m0 = m1 = m2 = m3 = m4 = m5 и одина-

ковые размеры р0 = р1 = р2 = р3 = р4 = р5, pi = mi/m, i = 0, 1, ..., 5,

5

mmi.

i0

Р е ш е н и е. Квадратичное преобразование (рис. 4.1.4):

59

5

qi 1.

i 0

z zс