Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

буется брать достаточно большое число дискретных точек ( N > 8) и находить точное решение в виде интеграла

(у нас ось Oy, поэтому x2 = y2, dx = dy).

Однако нахождение моментов инерции тела через интегралы в общем случае не всегда возможно и целесообразно. Во многих случаях требуется лишь приближенное значение моментов инерции, которое необходимо быстро получить для оценки конструкции. Так, автобус или локомотив на железной дороге можно представить в виде бруса переменной массы с осью симметрии (главной осью) Oy (рис. 2.3.1).

2.4.Вычисление моментов инерции

спомощью дисперсии

Наша книга посвящена вычислению центров масс и осевых моментов инерции для важных тел – конструкций транспортных средств:автобусов, пассажирскихсамолетов и др. Крометого, кэтому же классу расчетов относится в теоретической физике система частиц, расположенная вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси Oy, то для всех частиц x = z = 0, и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю

(рис. 2.3.1):

N

J10 J20 mi yi2,

31

Такуюсистему,согласноЛ.Д.Ландау,Е.М.Лифшицу[15,с.132], называют ротатором.

Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежитна этой оси. Сней жесовпадаетодна из главных осей инерции, а две другие перпендикулярны к ней.

Пусть такое симметричное тело разбито на N + 1 частей. Общая масса тела равна m. Тогда i-я часть тела имеет массу mi, i

N

= 0, 1, ..., N, причем массы mi в общем случае разные, m mi.

т. е. координата центра масс тела равна матожиданию MY. Момент инерции единичной массы относительно начала ко-

ординат т. О:

Моментинерции единичной массы относительноцентра масс т. С (относительно осей xc и zc; рис. 2.3.1):

N

Jx1c Jz1c Dx1c M[Y2 ]– (MY)2 pi yi2 –(MY)2. (2.4.5)

i 0

Моментыинерции всей массы тела относительно центра масс т. С (относительно осей xc и zc; рис. 2.3.1):

где MY = yc – координата центра масс тела.

32

П р и м е р 1. Даны две частицы с массами m0 и m1, m0 > m1, расположенныена оси Oyна расстоянии l друготдруга (рис. 2.4.1)

[15, с. 132]. Найти Jxc = Jzc.

x

Рис. 2.4.1

33

Моменты Jxc = Jzc совпадают с результатами [15] с точностью до обозначений.

П р и м е р 2. Даны контейнеры(или частицы)на прямой ли-

нии m0 = m5, m1 = m4, m2 = m3, m1 > m0, m2 > m1. Контейнеры имеют одинаковыеразмеры и закреплены так, чтосоставляют механи-

ческую систему, эквивалентную твердому телу (рис. 2.4.2). Найти

Jxc = Jzc.

z zс

34

(из всех возможных перестановок контейнеров).

П р и м е р 3. Контейнеры из примера 2 переставлены так,

что m0 = m5, m1 = m4, m2 = m3, m1 < m0, m2 < m1.

формуле (2.4.8)

Jzc = Jxc = 3,9167 ml2,

Jxc = Jzc = max

(из всех возможных перестановок контейнеров).

Пр и м е р 4. Пусть контейнеры имеют одинаковые размеры

имассы m0 = m1 = ... = m5 (рис. 2.4.4).

35

П р и м е р 5. Пусть контейнеры из примеров 2, 3, 4 будут расположены в виде убывающей последовательности по массам mi, i = 0, 1, ..., 5.

xс

x

Рис. 2.4.5

36

3612

Пр и м е р 6. Дано распределениемасс, близкое к распределению Пуассона:

Р е ш е н и е:

yc = MY= 0,3l + 0,1 2l = 0,5l;

37

C p2

x xс

Рис. 2.4.6

П р и м е р 7. Пустьданоединичноераспределениемасстела, близкое к закону Пуассона, при = 2 [4, с. 572]:

x xс

Рис. 2.4.7

38

Р е ш е н и е:

6

yc MY yi pi l 0,27 2l 0,27

16l2 0,09 25l2 0,03 36l2 0,02 5,88l2.

6

Для всей массы тела m mi

i 0

Jxc Jzc mJx1c mJz1c 1,96ml2;

Как видно из примеров 1–7, вычисление осевых моментов инерции твердого тела с помощью дисперсии, по сути, является безразмерным методом по отношению к массе тела m:

ное – результаты могут быть использованы при любой массе m для данного распределения масс вдоль оси тела.

39

Глава 3

ДИСКРЕТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МАСС

На научных семинарах в Институте прикладной математики имениМ.В.КелдышаРАНнераз обсуждались вопросы о дискретной формулировке законов природы.

Г. Г. Малинецкий [27]

3.1.О дискретной геометрии масс

Вданной главе рассматриваются тела, все части которых лежат на прямой, являющейся их главной осью. Если тело обладает осью симметрии любого порядка [15], то центр инерции лежит на этой прямой и эта ось является главной. Дведругиеглавныеоси перпендикулярны к этой оси. Для частиц такиесистемы называют ротаторами. Если в предыдущей главе традиционные методы использовались для расчета любых тел, то в данной главе именно для вышеописанного узкого класса тел – конструкций и ротаторов мыи будем строить более развитуютеорию, котораябудетдискретной геометрией масс. Так как понятие момента дальнодействия существует только для дискретных распределений масс, поэтому

иглавумы назвали «Одискретной геометрии масс». Для простоты вывода формул мы считаем, что дискретные точки находятся наравномрасстоянии друготдруга.Даннаяработапоявиласьлишь потому, что была установлена аналогия между дискретной теорией вероятностей (ДТВ) и теорией осевых моментов инерции тела в динамике твердого тела [20].

Пусть такое симметричное твердое тело разбито на N + 1 равных частей (рис. 2.4.1), как и в п. 2.4. Общая масса тела равна m. Тогда i-я часть тела обозначена mi, i = 0, 1, ..., N; причем mi в об-

N

щем случае – разные массы частей тела, m mi.

i 0

40