Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

П р и м е р 1. Пустьизвестноединичноеинерционноераспределение масс (рис. 4.3.1):

Р е ш е н и е. Еслинамзаданосевой моментинерцииJxc =Jzc =

N

Но rин MD yi qi y1 q1 l q1.

i 0

Так как расчетная длина тела l дана, находим q1:

Для нахожденияисходногораспределениямассp0, p1 запишем уравнения обратного квадратичного преобразования и уравнение p0 + p1 = 1:

Здесь q0, q1 – известные значения, требуется найти p0, p1.

Заметим, что если вычесть второе уравнение из первого:

p02 – 2p0p1 + p12 = q0 – q1, (p0 – p1)2 = q0 – q1,

то получим p0 – p1 q0 – q1. Если совместно решить это уравне-

ние с уравнением p0 + p1 = 1, получим

71

Таким образом, для расчетной схемы примера 1 мы нашли решение обратной задачи в общем виде, для любого известного

1

распределения q0, q1, qi 1.

i0

Пр и м е р 2. Пустьданоинерционноеединичноераспределениемасс(см.п. 4.3, пример2, рис. 4.3.2ип.2.4.пример5, рис.2.4.5)

5

qi, i = 0, 1, ..., 5, qi 1.

i 0

5

Известно, что p0 = p1, p2 = p3, p4 = p5, pi 1.

i 0

Р е ш е н и е. Система обратногоквадратичного преобразова-

5

ния (3.2.4) и уравнение pi 1 примут вид:

i 0

где в первом и последнем уравнении учтено, что p0 = p1, p2 = p3, p4 = p5.

Так как p0 = p1, p2 = p3, p4 = p5, то четвертое уравнение снизу

запишется ввиде2p0p2 +2p0p5 +2p2p5 =q3 или 2p0p2 +2p2p5 =q3 –q5, таккак 2(p0p5)= q5 – извторогоуравненияснизу. Вынесем p2 за скоб-

ки p2(2p0 + 2p5) = q3 – q5, (2p0 + 2p5) = 1 – 2p2 из последнегоуравнения системы (1), тогда p2(1– 2p2) = q3 – q5 или 2p22 – p2 + q3 – q5 = 0, где q3 и q5 даны, а p2 найдем, решив квадратное уравнение, p2 = p3.

72

Чтобы найти p0 = p1, запишем первоеуравнение 2p02 + 2p52 =

или

присоединим последнее уравнение системы (1):

Из последнего уравнения найдем p0 = p1. А p5 = p4 найдется из второго уравнения снизу:

2p0p5= q5, p5 = q5/2p0.

Итак, обратная задача примера 2 решается в общем виде.

П р и м е р 3. Пусть дано единичное инерционное распределение масс тела:

73

Требуется найти исходное распределение масс тела p0, p1, p2,

2

pi 1. Известно, что это исходное распределение масс несим-

i 0

метричное.

Р е ш е н и е. Запишемсистемуобратногоквадратичногопре-

2

образования и уравнение pi 1:

i 0

Преобразуемвтороеуравнениесверху2p1(p0 +p2)=q1 ипоследнее уравнение p0 + p2 = 1 – p1.

Подставим в первое уравнение 2p1(p0 + p2) = q1 вместо p0 + p2 выражение 1 – p1, получим

2p1(1 – p1) = q1 или 2p12– 2p1 + q1 = 0.

Решивэтоквадратноеуравнение, найдемарифметический положительный корень p1.

Далее запишем первое уравнение и третье уравнение:

74

Присоединим к полученному уравнению последнее:

Такимобразом, мы нашли p0, а p2 находимизпоследнегоуравнения:

p2 =1 – p0 – p1.

2

Итак, при любых q0, q1, q2, qi 1 мы найдем исходное рас-

i 0

2

пределение масс p0, p1, p2, pi 1.

i 0

П р и м е р 4. Данораспределениеq0,q1,q2,q3, qi 1.Найти

исходное распределение p0, p1, p2, p3, pi 1.

Р е ш е н и е. Система обратногоквадратичного преобразова-

Найти решение системы, если известно p0 (или p3).

Нет смысла решать обратные задачи большой размерности, достаточно взять N 3, т. е. четырематериальные точки, не более.

75

Глава 5

РЕЗУЛЬТАТЫИССЛЕДОВАНИЯ. ВЫВОДЫ

5.1. При вычислении моментов инерции твердого тела традиционнымметодом, общепринятымвтеоретическоймеханике, удобновыделитьединичнуюмассутвердоготела pi = mi/m, i =0, 1, ..., N,

N N

pi 1, где m mi – масса тела, mi – масса i-й материальной

точки. Вэтом случаепри единичной массетела осевой момент единичной массы тела будет равен дисперсии. Здесь дисперсия случайной величины y есть понятие из теории вероятностей. Тогда осевой моментинерции единичной массы относительноосей, проходящих через центр масс С (zc и xc):

Jz1c Jx1c DY MY2 – (MY)2 2y rин2 ,

т. е. радиус инерции rин = y. Моменты инерции тела массой m:

Расчеты, проведенныев безразмерном виде, всегда имеют более широкое применение.

5.2. Разработан дискретный асимптотический методнахождения радиуса инерции твердого тела.

5.2.1. Распределение масс твердого тела:

76

Необходимо m представить в виде единичного распределения масс твердого тела:

N

где pi = mi/m, i = 0, 1, ..., N, pi 1.

i0

5.2.2.Квадратичное преобразование единичного распределения масствердого тела, причем любого, как зеркально-симметрич- ного, так и несимметричного, приводит к единичному инерционному распределению масс твердого тела (во вращательном движении):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yN –1 (N –1)l, qN –1 2(p0 pN –1 p1 pN ),

N

yN Nl, qN 2(p0 pN ), qi 1,

i 0

где l – расстояние между двумя соседними точками.

5.2.3. Радиус инерции твердого тела находится по формуле:

i 0

где МD – момент дальнодействия, введенный авторами в ДТВ

N

[17–20]; qi – yi, i = 0, 1, ..., N, qi 1 – единичное инерционное

i 0

распределение масс (во вращательном движении), оно отличается от заданного единичногораспределения масс pi – yi, i = 0, 1, ..., N,

77

N

pi 1; pi = mi/m, i = 0, 1, ..., N; yi, i = 0, 1, ..., N – расстояния, на ко-

i 0

тором взаимодействуют единичные массы твердого тела.

N

По сути, распределение qi – yi, i = 0, 1, ..., N, qi 1 показы-

i 0

вает, как во вращательном движении перераспределились массы

N

тела pi – yi, i = 0, 1, ..., N, pi 1.

i0

5.2.4.Определив осевые моменты инерции твердого тела:

N

где m mi –масса тела, получим окончательнуюформулудля оп-

i 0

ределения осевых моментов инерции тела по известному радиусу инерции твердого тела.

5.2.5. Дискретный асимптотический метод: система (5.2.3), уравнения (5.2.3) и (5.2.4) иллюстрируют, как происходит взаимодействие частей тела i = 0, 1, ..., N друг с другом, например, 0-й с N-й, на расстоянии JN = N l, по Маху, т. е. дискретный асимптотический метод имеет и физический смысл.

5.2.6.Сравнение значений осевых моментов инерции, полученных дискретным асимптотическим методом и традиционным методомдля одинаковыхтвердыхтел, показывает, чтодлязеркаль- но-симметричных распределений масс при N 5 10 отличие составляет от 0 до30 %, причем дискретный асимптотический метод дает завышенные значения моментов инерции. Для несимметричных распределений масс значения моментов инерции, полученные дискретным асимптотическим методом, могут быть и ниже значений, полученных традиционным методом.

5.2.7.Следует рекомендовать расчет моментов инерции твердых тел проводить двумя методами: традиционным и дискретным асимптотическим методом. Если результаты расходятся не более чем на 30 %, то их можно использовать на практике. Если результаты расходятся в 1,5–10 раз (т. е. на порядок), то сама конструкция твердого тела, скорее всего, не годится и нужно ее пересмотреть.

78

5.3. Обратныезадачи для зеркально-симметричных распределений масс твердого тела в практике проектирования транспортных средств возникают тогда, когда по заданному осевому моменту инерции твердого тела и его массе m требуется найти исходное распределение масс твердого тела.

5.3.1. Находим радиус инерции твердого тела по заданному осевому моменту инерции Jин и m:

rин Jин ,

m

но

5.3.2. Если исходное распределение масс тела выпуклое зер- кально-симметричное, то единичное инерционное распределение

N

qi – yi, i = 0, 1, ..., N, qi 1, имеет вид, близкий краспределению

i 0

Пуассона (рис. 5.3.1).

Рис. 5.3.1

Так как yi, i = 0, 1, ..., N, известны:

y0 = 0, y1 = l, y2 = 2l, y3 = 3l, y4 = 4l,

где l – расстояние между двумя соседними точками, а

4

rин yiqi lq1 2lq2 3lq3 4lq4

i 0

79

или

Из уравнения (5.3.2) при известных rин, l можноподобрать q1,

4

q2, q3 и q4, учитывая qi 1.

i0

5.3.3.Обратнымквадратичным преобразованием находим ис-

N

ходное распределение масс тела pi – yi, i = 0, 1, ..., N, pi 1:

При любом N (у нас N 10) система (5.3.3) легко решается снизу вверх, так как p0 = p4, p1 = p3.

Если исходное зеркально-симметричное распределение более сложное: выпукло-вогнутое, вогнутое или вогнуто-выпуклое, то и вэтом случаеможноподобратьраспределениеqi – yi, i = 0, 1, ..., N,

N

qi 1. См. примеры в [20].

i 0

5.4. Обратные задачи для несимметричных распределений масс твердого тела возникают в практике проектирования транспортных средств, когда по заданному осевому моменту инерции тела и его массе требуется найти несимметричное распределение

N

масс тела pi – yi, i = 0, 1, ..., N, pi 1.

i 0

5.4.1. По известному моменту инерции Jин и массе тела m находим радиус инерции тела:

80