Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

Глава 2

ГЕОМЕТРИЯ МАСС

Трудно поверить, какую огромную экономию мысли – как выражается Мах – может осуществить одно хорошо подобранное слово. Математика – это искусство давать одно и то же название различным вещам.

А. Пуанкаре [1, с. 18]

2.1. Механическая система. Масса тела. Центр масс

Данная глава является вспомогательной. Ее цель – освежить у читателя те знания по теоретической механике, которые понадобятся для понимания глав 3 и 4 и которые необходимы для расчета конструкций. Кроме того, в ней мы даем метод вычисления моментов инерции с помощью дисперсии.

Механической системой называют совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны. Частным случаем механической системы является твердое тело – совокупность материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными [30].

Силы, действующие на механическую систему, можно разделить на внешниеи внутренние. Внешними силами называют силы взаимодействия точек системы с объектами, не входящими в систему (Fвш). Внутренними силами называют силы взаимодействия междуточками данной системы (Fвт). Как внешние, так и внутренние силы могут быть и активными, и реакциями связей. Внутренние силы обладают следующими свойствами: главный вектор и главный момент всех внутренних сил недеформируемой системы равны нулю, т. е. при приведении сил в точку

21

N

Fi R0вт 0,

i 0

(2.1.1)

N

Miвт M0вт 0. i 0

Так как внутренние силы Fвт входят в систему попарно, две любые точки системы действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами [30].

По закону инерции материальная точка стремится сохранить свое состояние покоя или прямолинейного, равномерного движения. Благодаря свойствуинерции тела без действия сил продолжают движение («по инерции»), а под действием сил изменяют свое движение[7]. Яблокопритягивается Землей и с такой жесилой, но обратной по направлению, яблоко притягивает к себе Землю. Однако эти равные по величине силы вызывают в яблоке и в Земле далеко не одинаковые ускорения, потому что инерция Земли, ее свойство сохранять неизменной свою скорость в миллиарды миллиардов раз превосходит инерцию яблока.

В формуле Ньютона

величина m не только коэффициент пропорциональности, она является мерой инерции материальной точки и выражает ее массу. Понятие «масса» в теоретическую механику введено Ньютоном

(1686).

Масса материального тела равна сумме масс всех его частиц:

При поступательномдвижении тела (т. е. когда ускорениявсех частиц одинаковы) масса тела является мерой инерции тела. Приняв Землю за инерционную систему отсчета, можно определить массы тел по их весу, пользуясь формулой

где G – вес тела; g – ускорение свободного падения.

22

При рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет геометрическая точка, называемая центром масс.

Центроммасс(центроминерции)системыназываютгеометрическую точку, положение которой определяется радиусом-вектором

Спроектировав (2.1.5) на координатные оси, получим формулы для координат центра масс:

где xi, yi, zi – координаты i-й материальной точки.

Числители в формулах(2.1.5), (2.1.6)называют статическими моментами относительно координатных плоскостей.

Формулы (2.1.6) можно представить в следующем виде:

N

xс pi xi MX,

i 0

N

yс pi yi MY,

i 0

N

zс pi zi MZ,

i 0

N

где pi = mi/m; i = 0, 1, ..., N; pi 1.

i 0

xc = MX, yc = MY, zc = MZ,

причем MX, MY, MZ – математические ожидания (в теории вероятностей).

23

Установлено, чтов механикедалеконевсегда можнопринимать твердое тело (или механическую систему) за материальную точку. Приходится учитывать, что различные движения материальных точек имеют различные ускорения. Мера инерции всего тела зависит не только от масс его частиц, но и от их расположения в теле.

2.2. Моменты инерции и радиусы инерции тела

Таким «хорошоподобранным словом»(см. эпиграф) в нашем случае является понятие «момент инерции», введенное Гюйгенсом в 1673 г., а термин «момент инерции» предложил в 1749 г. Эйлер, и он же применил момент инерции к вращательному движениютела. Выделитьгеометриюмассвсамостоятельный разделмеханикипредложилАтонделиГупийерв1857г.,атермин«инерция» в механику ввел Даламбер.

Моментоминерции механической системыотносительноцентра или оси называют величину, равную суммепроизведений массы каждой точки системы на квадрат ее расстояния соответственно доцентра или оси. В соответствии с определением полярный J0 и осевой J0L моменты инерции находятся по формулам [30]:

где ri – расстояние от каждой точки до центра (полюса) – центра масс; hi – расстояние от каждой точки до оси 0L (рис. 2.2.1).

Квадраты расстояний от i-й точки до координатных осей xyz и начала – точки О1 (рис. 2.2.2) можно представить через координаты точек xi yi zi по формулам

hix2 yi2 zi2,

hiy2 xi2 zi2,

hiz2 xi2 yi2,

ri2 xi2 yi2 ziz.

1 Далее на рисунках точка О соответствует нулю.

24

i 0

Из (2.2.2) следует, что 2J0 = Jx + Jy + Jz, т. е. сумма моментов инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей не зависитотвидаэтихосей. Осевыеи полярныемоментыинерциивсегда положительны [24, с. 275].

При вычислении моментов инерции большую помощь оказывает теорема Штейнера–Гюйгенса: момент инерции относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями [30, с. 73].

25

Например,

где d – расстояние между параллельными осями, или

В некоторых расчетах удобен радиус инерции тела. Радиусом инерции относительно оси называют

rин J /m,

где J – момент инерции относительно указанной оси; m – масса системы (тела).

Из приведенного определения следует

т. е. радиусинерции есть расстояниеот оси, на котором нужно расположить точку с массой, равной массе системы, для того, чтобы момент инерции этой точки относительно оси был равен моменту инерции системы относительно указанной оси.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из различных материалов, отличаются друг от друга. Радиус инерции rин не зависит от массы материала. В справочниках по моментам инерции приводят таблицы радиусов инерции различных тел [24, 31].

Кроме осевых и полярного моментов инерции, используются центробежные моменты инерции системы относительно координатных осей, определяемые формулами:

N

Jxy mi xi yi,

i 0

N

Jyz mi yi zi. i 0

26

Очевидны равенства Jxy = Jyx, Jxz = Jzx, Jyz = Jzy, выражающие симметричность центробежных моментов относительно своих индексов.

Вотличие от полярногои осевых моментов инерции, которые всегда положительны (и для этих моментов мы строим новую теорию, см. гл. 3), центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Ось, для которой оба центробежных момента инерций, содержащихвиндексезначокоси, равнынулю, называетсяглавнойосью инерции.

Три оси координат, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называют главными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей называют глав-

ными моментами инерции (Jxгл, Jyгл,Jzгл). Главные оси инерции открыты Сегнером (1755) и независимоот негоЭйлером (1758). Заме-

тим, чтонаша теория осевых моментов инерции тела (гл. 3) оставляет нетронутой традиционную теорию центробежных моментов.

Осевой момент инерции тела (механической системы) является мерой инерции тела при его вращательном движении относительно этой оси, а центробежные моменты инерции тела характеризуют асимметрию тела.

Моменты инерции твердого тела (2.2.1) можно вычислять и для сплошного тела, в этом случае знак суммы заменяется на знак интеграла (см. п. 2.3 и [3, 7, 15, 16, 22, 24, 30, 33]).

2.3.Механическая интерпретация математического ожидания и дисперсии

Вкнигах потеории вероятностей (ТВ)[4, 14]обращается внимание на механическую интерпретацию математического ожидания (матожидания) и дисперсии.

Если предположить, чтокаждаяматериальная точка с абсцис-

сой yi = i, i = 0, 1, ..., N, имеет массу, равную pi, i = 0, 1, ..., N, а вся

27

N

единичная масса pi 1 распределена между этими точками, то

i 0

матожидание MY представляет собой абсциссу центра масс системы материальных точек (тела).

Дисперсия DY представляет собой момент инерции распределения масс Jин1 = Jхс1 = Jzс1 относительно осей хс и zc, проходящих через центр масс yc (матожидание MY; рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1

Согласноописанной механической интерпретации матожидания MYи дисперсии DY, вопросыТВ, центра масстела yc и моментов инерции Jин в теоретической механике (в динамике твердого тела), различающиеся посуществу, приводят к уравнениям, совершенноодинаковым по виду. Аналитическая форма уравнений оказывается одинаковой для двух и более вопросов (еще в сопротивлении материалови физикечастиц), хотябуквы, выходящиевуравнения, изображают совершенноразные величины. Такая аналогия позволяет использовать результаты в ТВ [4, 14, 17–20] и приме-

нять их в теоретической механике[3, 6–11, 15, 16, 24, 25, 30, 31,33].

28

Используя аналогию между дискретной ТВ и теоретической механикой, подробноописанную авторами в [20] и выше, формулу (2.1.5) для координаты центра масс

rс 1 N mi r m i 0

можно записать в виде

N

где pi = mi/m, i = 0, 1, ..., N; pi 1.

i 0

Спроектировав (2.3.1) на координатные оси, получим вместо формул (2.1.6) следующие формулы для координат центра масс:

где МХ, МY, MZ – матожидания случайных величин (с. в.) х, y, z.

В частном случае однородного тела в виде бруса с осью симметрии, совпадающей с осью Oy (рис. 2.3.1):

N

yc pi yi MY,

i 0

Центр масс тела совпадает с матожиданием MY.

29

Формулыдляопределениямоментов инерции (2.2.2)приxi =0, zi = 0, i = 0, 1, ..., N, будут иметь вид:

N

Jx0 mi yi2,

i 0

N

Jz0 mi yi2,

i 0

так как xi = 0, zi = 0.

Для единичной массы

N

pi 1, pi = mi /m,

i 0

где m – масса тела; mi – масса i-й части тела; i = 0, 1, ..., N.

Jx0 pi yi2 Dx0,

где Dx0 – дисперсия с. в. x относительно т. О.

Дисперсия относительно центра масс т. С

i 0

Моменты инерции тела относительно осей xc и zc, проходящих через центр масс т. С:

Таким образом, осевые моменты инерции Jxc и Jzc можно найти через дисперсию Dxc (термин из ТВ).

Примеры определения моментов инерции для однородного бруса даны вкниге М. М. Гернет[7, с. 249]. При этом длянахождения точных значений моментов инерции для сплошногобруса тре-

30