Дискретная геометрия масс в теоретической механике и ее приложениях

Традиционный метод (рис. 2.4.4) дает Jxc= Jzc = 2,9167 ml2.

3,7807 –1 0,2962, или 29,62%. 2,9167

Дискретный асимптотический метод дает завышенное на 29,62 % значение момента инерции по сравнению с традиционным моментом.

4.2. Решение обратных задач для зеркально-симметричных распределений масс

Здесь обратная задача легко решается.

П р и м е р 2. ДаноJин =Jxc1 =Jzc1 =2,42ml2,m–массатела,5l– расчетнаядлина тела, l– длина i-гоучастка тела –расстояниемеж-

ду двумя соседними материальными точками.

Р е ш е н и е:

Jин rин2 ml2, J1c 2,42l2, rин 2,42l2 1,5556l,

так как y0 = 0, y1 = l, y2 = 2l, y3 = 3l, y4 = 4l, y5 = 5l,

61

rин MD 1,5556l lq1 2lq2 3lq3 4lq4 5lq5,

сократив на l, получим

Зная, что исходное распределение масс выпуклое зеркальносимметричноеи для него в результатеквадратичногопреобразова-

N

ния pi – yi, i = 0, 1, ..., 5, pi 1, получаеминерционноераспреде-

i 0

ление масс, похожее на пуассоновское, по формуле (4.2.1) подбираем

Решая нижнюю часть системы (3.2.4) снизу вверх:

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

найдем, используя симметрию, p0 = p5, p1 = p4, p2 = p3. Исходное

N

распределение pi – yi, i = 0, 1, ..., 5, pi 1:

Из второго уравнения снизу получаем:

62

Далее из третьего уравнения снизу получаем:

(рис. 4.1.2).

Как видно из примера 2, решение обратных задач трудное, но в рамках данного дискретного асимптотического метода вполне выполнимое.

Не следует тело делить на большое число частей, достаточно N = 5 8, что на этапе проектирования вполне приемлемо.

П р и м е р 3. Пусть известен момент инерции тела

Jин rин2 m 4,9382ml2.

J1с = 4,9382 ml2/m = 4,9382l2.

rин = MD = 2,2222l = q1 l + q2 2l + q3 3l + q4 4l + q5 5l,

Р е ш е н и е. Зная, чтоисходноераспределениемасс тела вогнутое зеркально-симметричное (инерционное распределение масс для него дано на рис. 4.1.3), можем по (4.2.2) подобрать

63

Решая нижнюю часть системы (3.2.4), получаем:

так как p0 = p5, p1 = p4, p2 = p5. Здесь толькопервое уравнениеснизу квадратное, а остальные линейные:

4.3. Вычисление центров масс, радиусов инерции и моментов инерции несимметричных распределений масс

Длянесимметричныхраспределениймасствердоготелавсегда необходимо вычислять координату центра масс yc = MY.

П р и м е р 1 [15, 33]. Пусть m0 = 2m1, m = m0 + m1;

64

z

zс

p0

p1

C

l

x xс z

zс

q0

q1

C

l

x xс

Рис. 4.3.1

Р е ш е н и е. Производим квадратичное преобразование:

2

Jzc Jxc rин2 m 4l m 0,1975ml2.9

65

Традиционный метод [15, с. 132] (рис. 2.4.1) дает

–0,1975 0,2222 0,11 или = 11 %. 0,2222

Так как оба метода дают достаточно близкие результаты, то при m0 = 2m1 расчетная схема применима. Однако здесь дискретный асимптотический метод дал меньшее значение по сравнению с традиционным.

Если m0 = 9m1, m = m0 + m1, p0 = 0,9, p1 = 0,1, pi = 1,

N

yc MY yi pi 0,1l,

i 0

то в результате квадратичного преобразования получим:

y0 0, q0 p02 p12 0,92 0,12 0,82, y1 l, q1 2p0 p1 2 0,9 0,1 0,18,

Таким образом, в этом случае результаты моментов инерции тела отличаются на порядок.

Возникает сомнение в возможности использования данной расчетной схемы. И если у нас нет экспериментальных данных, то лучше изменить конструкцию, взять m0 = 2m1.

66

П р и м е р 2. Распределение масс тела:

22l 11l;

12 6

yc MY 1,8333l.

Рис. 4.3.2

67

Р е ш е н и е. Производим квадратичное преобразование:

Jин.традиц. 2,4722ml2,

3,0625 – 2,4722 0,2388 или 23,88%. 2,4722

Расчетная схема применима, отличие в значениях момента инерции допустимо.

68

П р и м е р 3. Пусть распределениемасс тела близкок закону Пуассона:

x xс

Рис. 4.3.3

Р е ш е н и е:

2

pi = mi/m, i = 0, 1, 2, mi.

i 0

2

yc MY yi p l 0,3 2l 0,1 0,5l.

i 0

69

В результате квадратичного преобразования получаем: y0 = 0, q0 = 0,62 + 0,32 + 0,12 = 0,46,

y1 = l, q1 = 2(0,6 0,3 + 0,3 0,1) = 0,42, y2 = 2l, q2 = 2p0p2 = 2 0,6 0,1 = 0,12,

Традиционный метод (п. 2.4, пример 6, рис. 2.4.6) дает Jин = = 0,45 ml2.

Отличие результатов:

0,45 – 0,4366 0,0298 0,03, или 3%. 0,45

Расчетнаясхемавполнеприменима.Можноожидать,чтодлянесимметричныхраспределениймасстела дискретныйасимптотический метод наиболее подходит. А традиционный метод строго применим лишь для зеркально-симметричных распределений масс.

4.4. Решение обратных задач для несимметричных распределений масс

Решение обратных задач для несимметричных распределений масс твердых тел требует больших интеллектуальных усилий посравнению срешениемзадачдля зеркально-симметричных распределений масс. Здесь для решения системы обратного квадратичного преобразования (3.2.4) следует присоединить к ней урав-

N

нение pi 1.

i 0

70