КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Лекция № 10
Сходимость по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли, Пуассона и Маркова.
Виды сходимости Определение. Говорят, что последовательность случайных величин
n , n N сходится по вероятности к случайной величине |
|
при |
n → , |
|
если для любого |
0 |
верно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim P n − = 0 .
n→
Данное соотношение может быть заменено на эквивалентное
lim P n − = 1.
n→
Для этого вида сходимости применяют обозначение
P → .
n n→
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин
n , n N сходится почти наверное или с вероятностью 1 к случайной
величине при |
n → , если вероятность события, включающего все |
элементарные события такие, что lim n ( ) = ( ) , равна 1:
n→
|
|
n ( |
|
) n→ |
( |
|
) |
|
, |
|
|
P : |
|
|
→ |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
или, |
что |
|
эквивалентно, вероятность события, |
включающего все |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
( ) ( ) |
, равна 0. |
элементарные события такие, что n→ n |
|
Для этого вида сходимости применяют обозначение
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин
n |
|
сходится в среднем порядка r , где r 0 |
, к случайной величине |
|
, n N |
|
|
при n → , если lim E n − r = 0 .
n→
Для этого вида сходимости применяют обозначение
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин
|
, n N |
с функциями распределения |
F |
x |
) сходится по |
n |
|
n ( |
|
распределению к случайной величине
, если для всех точек непрерывности F (x) выполняется
lim Fn (x) = F (x) .
n→
Для этого вида сходимости применяют обозначение
Теорема Пуассона, доказанная нами ранее, может быть переформулирована в терминах сходимости биномиального распределения при некоторых условиях по распределению к закону Пуассона. Подумайте, как аналогичным образом можно проинтерпретировать интегральную теорему Муавра-Лапласа.
Теорема (без доказательства). Пусть дана последовательность
случайных величин |
n , n N |
и случайная величина . Тогда |
|
|
→ |
|
|
→ |
|
1. |
если |
п.н. |
|
, то |
P |
|
; |
n n→ |
|
n n→ |
|
2. |
если |
→ |
, |
то; |
|
→ |
|
r |
|
P |
|
|
n n→ |
|
n n→ |
|
|
3. если |
|
→ |
, то |
|
|
. |
n |
P |
n |
n→ |
n→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
D |
|
Убедимся на конкретном примере, что в обратную сторону в общем случае утверждение будет неверным.
Пример. Пусть в качестве пространства элементарных событий
выступает |
|
|
|
полуинтервал = [0;1) . |
Рассмотрим вероятностное |
пространство в широком смысле |
( , A, P) |
, которое мы определили в теме, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связанной с геометрическими вероятностями. |
Для любого n |
построим разбиение полуинтервала : |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
n −1 |
|
|
|
0;1) = 0; |
|
|
|
|
; |
|
|
... |
|
|
;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
n |
|
|
|
рассмотрим случайные величины
Рассмотрим последовательность случайных величин |
11 |
, |
21 |
, |
22 |
, |
31 |
, |
32 |
, |
33 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
Данная последовательность по вероятности будет сходиться к нулю,
lim P |
|
− |
|
= lim P |
|
|
|
= lim P |
|
k −1 |
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
= lim = 0 |
n→ |
nk |
|
|
n→ |
nk |
|
|
n→ |
|
|
n |
|
|
|
n→ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Покажите самостоятельно, что, кроме того,
Закон больших чисел Определение. Говорят, что последовательность случайных величин
|
|
, n N |
|
подчиняется закону больших чисел, если последовательность |
|
|
|
n |
|
|
сходится по вероятности к нулю:
или, если обозначить Sn = 1 +... + n , то
Sn − E Sn P →0 .
n n→
Сформулируем и докажем закон больших чисел в форме Чебышева.
Теорема (Чебышева). Пусть
независимых случайных величин и существует C такая, что
для любого |
n |
(т.е. |
дисперсии равномерно ограниченны). |
последовательность |
n |
|
подчиняется закону больших чисел. |
|
|
|
|
, n N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чебышева P ( − E ) |
D |
Доказательство. |
|
|
По |
|
неравенству |
|
. |
|
|
2 |
Следовательно, из независимости случайных величин следует, что |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 P |
|
|
( k |
− E k ) − 0 = P |
|
k − |
|
E k |
|
|
|
|
|
|
|
n k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n k =1 |
|
|
n k =1 |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
k |
|
D k |
|
D k |
|
|
nC |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k =1 |
|
= |
k =1 |
|
= |
k =1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
2 2 |
|
2 2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме о двух милиционерах (о мажорируемой последовательности из курса высшей математики) получаем, что
применим закон больших чисел (по
теореме Чебышева), следовательно, т.к.
|
n |
− p →0 |
. Итак, мы доказали |
|
|
n→ |
|
P |
|
n |
|
|
|
1 |
n |
|
1 |
n |
|
k |
− |
E k |
|
n |
n |
|
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
Следствие (закон больших чисел в форме Бернулли). Для биномиальной схемы во введенных выше обозначениях верно, что
Сформулируем еще две полезные для решения некоторых задач теоремы
|
|
|
|
|
, n N |
|
|
Теорема (Хинчина - без доказательства). Пусть |
|
|
- |
|
n |
|
|
последовательность |
попарно |
независимых |
одинаково |
распределенных случайных величин с конечным математическим
ожиданием (т.е. |
E |
n |
= a |
). Тогда |
|
|
подчиняется закону больших чисел.
Докажите самостоятельно следующее утверждение:
|
|
|
|
|
|
, n N |
- последовательность случайных |
Теорема (Маркова). Пусть n |
|
величин, для которых выполняется свойство |
1 |
n |
|
= 0 . |
|
|
lim |
|
|
D k |
|
|
|
2 |
|
|
n→ n |
|
k =1 |
|
|
|
|
Тогда последовательность чисел.
подчиняется закону больших
