КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 11

Характеристические функции. Центральная предельная теорема.

Ее следствия.

Теперь рассмотрим случайную величину с комплексными значениями

i ,

где , - вещественные случайные величины, заданные на одном вероятностном пространстве ( ,A, P) , i - мнимая единица i2 1 ,: , при этом E , E . По определению будем считать, что

E E i E .

Пусть - вещественнаяслучайнаявеличина. Тогдаиспользуяформулу

Эйлера eix cos x i sin x , мы можем образовать комплекснозначную случайную величину:

(t) cost i sint eit .

Определение. Характеристической функцией случайной величины

называется комплекснозначная функция, t : для любого t равная

t eitx p (x)dx .

Теорема (о свойствах характеристической функции – без доказательства). Пусть - произвольная случайная величина с характеристической функцией t . Тогда

1. 0 1;

2.| t | 1 для любого вещественного t ;

3.если a b при произвольных a,b , то

t eitb at ;

4. характеристическая функция равномерно непрерывна на , т. е.

6. если случайные величины и независимы, то

t t t

С помощью принципа математической индукции свойство 6 обобщается на любое конечное количество случайных величин.

Теперь для конкретных дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин рассмотрим примеры вычисления их характеристических функций.

Примеры.

мы получаем:

t eit 1 P 1 eit 0 P 0 peit q .

2) Пусть Bi (n, p) . Мы можем представить эту случайную величину в виде суммы независимых и одинаково распределенных случайных

4) Пусть имеет геометрическое распределение, тогда

5) Пусть дана нормально распределенная случайная величина со средним и дисперсией 2 . Рассмотрим вместо случайной величины

N( , 2 ) величину 1 2 .

Из свойств плотности при линейных преобразованиях случайных величин следует, что 1 N (0,1) , и

Так как 1 , то

Теорема (формула обращения - без доказательства). Для любой

Как следствие из формулы обращения мы получаем теорему единственности. Теорема единственности состоит в том, что соответствие между функциями распределения случайных

величин и их характеристическими функциями является взаимно однозначным. Содержательная часть теоремы, т.е. смысл теоремы единственности, состоит в том, что по характеристической функции мы можем однозначно определить функцию распределения F x ,

и наоборот.

Теорема (непрерывности – без доказательства). Пусть дана

функцией, которой по теореме единственности будет соответствовать

Теперь рассмотрим конкретные Примеры применения теоремы единственности.

1). Пусть даны две независимые случайные величины 1 и 2 такие, что1 1 , 2 2 . Тогда

Из свойств характеристической функции следует, что

1 2 t 1 t 2 t e 1 eit 1 e 2 eit 1 e 1 2 eit 1 ,

где e 1 2 eit 1 - характеристическая функция случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром 1 2 .

характеристических функций можно доказать факт, который мы доказали ранее, используя формулу свертки.

Из свойств характеристической функции аналогично предыдущему примеру получаем, что

Отсюда, по теореме единственности следует, что сумма случайных величин, распределенных по нормальному закону, распределена нормально со средним, равным сумме средних, и дисперсией, равной

сумме дисперсий. Это верно для любой суммы конечного числа таких величин.

Характеристическая функция случайного вектора Определение. Пусть ( 1,..., n ) - произвольный случайный вектор. Тогда

характеристической функцией случайного вектора называется

где t, - скалярное произведение векторов t и , а t - произведение

Теорема (о свойствах характеристической функции случайного вектора - без доказательства). Пусть ( 1,..., n ) - произвольный

случайный вектор с характеристической функцией (t) . Тогда выполняются следующие свойства:

1)0,...,0 1;

2)(t) 1 для любого t (t1,...,tn ) n ;

3)функция (t) равномерно непрерывна в n , т.е. 0 такой, что

выполняется неравенство t1 t2 ;

4)сохраняетсятеорема единственности,т.е.функцияраспределения F (x) однозначно определяется своей характеристической функцией;

5)(формула обращения) если (t1,...,tn ) - характеристическая функция

6) если (t1,...,tn ) - характеристическая функция случайного вектора ,

то характеристическая функция суммы случайных величин, составляющих его равна

1 ... n t 1 ,..., n t,...,t t,...,t .

Следствие. Если существует плотность p x1,..., xn случайного вектора , ахарактеристическаяфункция t1,...,tn интегрируема,тобудетверным следующее равенство:

Покажите самостоятельно, что если

1, 2 N 1, 2, 12, 22, ,

характеристических функций. Для этого рассмотрим для случайной величины Sn характеристическую функцию Sn (t) и покажем, что она

сходится к характеристической функции стандартного нормального закона

Представим случайную величину Sn в виде суммы

Мы получаем последовательность независимых и одинаково

По свойствам характеристических функций получаем, что

'(0) i E 1 0 ,

'' 0 i2 E 1 0 2 i2 D 1 2 ,

y 1 2 y2 o y2 ,

2

Рассмотрим теперь логарифм Sn t :

Сформулируем полезную теорему:

Теорема (Ляпунова – без доказательства). Пусть n ,n N - последовательность независимых случайных величин, у которых определены математическое ожидание и ненулевая дисперсия (т.е.

Центральная случайных предельная теорема для независимых и одинаково распределенных величин и интегральная теорема МуавраЛапласа являются следствиями теоремы Ляпунова.