Добавил:

slavapmk study@slavapmk.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Панков все лекции для ИИ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2026

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 6

Дискретные распределения: вырожденное, биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона. Непрерывные распределения: равномерное, показательное. Нормальное (гауссовское)

распределение

Примеры основных случайных величин дискретного типа:

1) Вырожденное распределение.

Пусть всегда равно a : P ( = a) =1, тогда функция распределения этой случайной величины равна

0,	x a	.
F (x) =	x a	.
1,	x a

2) Распределение Бернулли.

Пусть принимает значение 1− p, тогда, если x1 x2 , то

с вероятностью

F (x) =

	0,
		p, x
		p, x
		1
		1,
		1,

x1 x2

3) Биноминальное распределение.

Пусть - число успехов в схеме Бернулли с вероятностью успеха p при n испытаниях. Тогда случайная величина . . может принимать значения

k из множества 0,1,2,...n = 0,n , и P( = k ) = Cn		p	(1 − p)	n−k	.
	k	k
n, p -параметры биномиального распределения.

Если имеет биноминальное распределение с параметрами n и p , то это обозначается как i(n, p) или, реже, (n, p).

4) Геометрическое распределение.

Пусть - число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли вероятностью успеха p .

P ( = n) = qn−1 p , n

5) Говорят, что



имеет распределение Пуассона с параметром

если	принимает значения 0,1,2,…, т. е.
k 0 .
Обозначение:		P0 ( )- или	( ).

, и

P ( = k ) = k e− для всех k !

В четвертом и пятом примерах случайная величина счетное количество значений, а в первых трех – конечное.

принимает

.Примеры основных случайных величин абсолютно непрерывного типа.

1) Равномерное на отрезке а,b распределение, где . ..

У данного распределения плотность имеет вид:

				1
(	x	)	=	,
(		)		b − а
p				b − а
				0,
				0,

x x





а, а,

b b



а функция распределения –

х а

х − a

)

(

z dz =

а x b .

(

)

−

b − а

х b

а и b - параметры распределения.
Обозначение:	U a,b или, реже,

R a,

2)	Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром
0.
			e		−х		,	х 0
	p (x) =		e				,	х 0	,
	p (x) =			0,				х 0	,
				0,				х 0
	F (x) =				0,			х 0		.
	F (x) =			− e−x ,				х	0	.
			1	− e−x ,				х	0

Обозначение:								Exp( ) .				0.
3)	Нормальное распределение с параметрами и										2	0.
											2
			1			e−	(x− )2
p (x) =			1				2 2 ,

		2 2
		2 2

F	(x) =	1

		2

	x		(z− )
				2
	e	−	2	2
	e


2
	−

Обозначение:

( ,

)

Если

	2	=1,
	2

то

(0,1)

называется стандартным нормальным

распределением с плотностью

	1	e−	x2
(x) = p (x) =			2	.

	2

Соответствующая функция распределения обозначается как

	1	x	e−	y2
(x) = F (x) =					dy.
				2

	2
	2
		−

В интегральной теореме Муавра-Лапласа:

				(	m )		b	(	)
				(	m )	=		(	)
lim			p			=			x dx
n→	m−np						а
а	m−np	b
а	npq	b
	npq

(b)

−

(a)

Нормальное распределение еще известно как гауссовское. Вместе с портретом великого немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855) плотность этого распределения была изображена в конце XX века на 10 западногерманских марках.

4) Распределение Коши с параметром
p (x) =				1							,
p (x) =					x	2	+			2	,
						2				2
																					x
				x	1									x	1	1			z			1
(	x	)	=		1			2				2	dz =		1	1		d	z	=		1
(		)						2				2					2
F							z		+						z
				−			z		+					−	z			+1			−
																		+1

	1	dz =
2	+1	dz =
	+1

1	+	1
2

	arctg	x
	arctg

Если		=1,				то это стандартное распределение
p (x) =				1					.
p (x) =			(	x2				)	.
			(					)
					+1
5)	2	(читается как хи-квадрат) распределение с
	2
где n			- параметр.
								0,							x 0
							n	−1		−		x
							2					2				,

p (x) =					x				e					,	x 0
p (x) =													n
						n

											2		2
											2


						2
				+
где (x)			=		z x−1e−z dz .
				0										n	или		n .
Обозначение:														n	или		n .
														2			2

Коши с плотностью

степенями свободы,

6) распределение Стьюдента с n степенями свободы, где n -

параметр.

		n +

			2
p	(x) =		2
p	(x) =
		n
		n

			2
			2

Обозначение:

 


1			1
1			1
n
n			x	2
	1	+	x
	1	+	2


stn .

 

n+1 2

;

Если n =1, то из распределения Стьюдента получится стандартное распределение Коши.

Примеры (вычисления математического ожидания и дисперсии случайных величин).

1). Пусть

( )

. Тогда, используя разложение экспоненты

e			s
			s
	=

	s=0	s!
	s=0

ряд Тейлора, получаем

			k			k −1
E = k P ( = k ) = k				e− = e−			=
		k !			(k −1)!
k =0	k =0			k =1

−

= e

−

s=0

k −1

= k

−

k ! e

= e

(s +1) s!

(

k −1 !

k =0

k =1

)

s=0

s−1

= e

−

! +

s! = e

−

s −1 ! + e

(

s −1

(

s=1

)

s=0

s=1

)

(

) =

= e

−

+ e

= e

−

+ e

t=0

D = E (

)−(E )

+ −

2). Пусть

имеет геометрическое распределение, тогда

E = kq

k −1

= p kq

k −1

= p Q

(q)

k =1

Степенной ряд Q (x) = k xk −1 получается почленным

k =1

дифференцированием из степенного ряда

		1
	P (x) = xk =	1
	P (x) = xk =	1 − x .
	k =0	1 − x .

Следовательно, при всех

	dP (x)	d	((	)	−1	)			1
Q (x) =		d	1 − x
Q (x) =		=					=	(		)
	dx		dx					1	− x	2
								1	− x

таких, что

, имеем:

В итоге получаем

E = p Q (q) = p	1		= p	1		=	1
	(1 − q)	2		p	2		p

Аналогично находим

;

D = E ( 2 )− (E )2 ,

− k )q

p =

−1

p = (k

k −1

p + kq

k −1

k =1

k =2

k =1

= qp (k −1)kqk

−2 + pQ (q) = qpR (q) + pQ (q).

k =2

dQ (x)

(

)

(

−

)

Очевидно,

что

1 kxk −2

(

− x

)

, следовательно,

k =2

= qpR (q) + pQ (q) = qp

1 + q

(

)

1 − q

1 + q

D =

−

5). Пусть имеется случайная величина, равномерно распределенная на

отрезке:		U a,b . Тогда
	1		, x a,b


p (x) = b − a				.
	0,		x a,b

E =

(

)

dx =

−

b − a

− a

+ b

b − a

− a

+ ab + b

dx =

b − a

+ ab + b

a + b

D = E (

)−

(E )

−

= a2 − 2ab + b2

= (b − a)2

12 .

6). Пусть дана нормально распределенная случайная величина

N ( , 2 ). Тогда

+	+	1			−	( x−)2
E =	xp (x)dx = x		2	e	−	2 2	dx =
E =	xp (x)dx = x		2	e		2 2	dx =

−	−	2

	1	+	−	( x−)2	x
	1		−	2 2	x
=		xe			d	.


	2	−

Сделаем замену

x −

= t

. В этом случае

		+			t
	1				2
E =	1		( t + )e	−	2
E =			( t + )e

	2
		−

		+		t	2	+	1
dt =		te	−	2		dt +	1
dt =		te				dt +

	2	−				−	2
		−				−

		t	2
	−	t
e	−	2		dt
e				dt

Используя то, что первый интеграл - от нечетной функции в

симметричных пределах, а под знаком второго		стоит плотность
стандартного нормального закона, получаем, что	E	= 0 + 1 =	.

Используя опять замену

= t

, находим

(x− )

−

E (

) =

dx =

−

+ 2 t + 2 )e−

( 2t2

2 dt =

−

=		+
	2

		−
=		2	+

1		−	t	2			2
1	e	−			dt +		2

			2
			2
2									2
	2			+					t
									2
					t	2	e	−	2	dt
					t		e			dt

2				−
				−

−

dt +

−

dt =

−

Используя формулу интегрирования по частям, находим

−

−t e

(−t)dt

−td e

−

t2 +

= −te−

+ e−

e−

dt =

2 dt = 0 + 2

−

Тогда


E (		) =		+	2
E (	2	) =	2	+
	2		2
					2

= 2

+ 2

D = E ( 2 )− (E )2 = 2 + 2 − ( )2 = 2 .

Из примера 6 следует,		что запись		N ( , 2 )		можно прочитать как
«случайная	величина		распределена по			нормальному знаку с
«случайная	величина		распределена по			нормальному знаку с

						2
математическим ожиданием (средним)					и дисперсией ».
математическим ожиданием (средним)					и дисперсией ».
7). Пусть	Exp( ) . Тогда, используя формулу интегрирования по частям,
получаем

	+

E =		xp		(x)dx
	−

= (−xe			− x		)
= (−xe					)
						0

x e	− x	dx

e	− x	dx =

+
= −x(
0
	e	− x
0 +

− e	− x
− e

= 0
0

	+
dx) = −xde					− x
dx) = −xde
		0
−	0 −	1	=	1
−	0 −		=

;

+			+							+
E 2 =	x2 e− x dx = −x2de− x =				(−x2e− x )				0	+ 2xe− x dx =
0			0						0	0
+		2	+	2	1		2
= 2 xe− x dx =			x e− x dx =			=		,
= 2 xe− x dx =			x e− x dx =			=	2	,
0			0

						2			1	2	1
D = E (	2	)	− (E )	2	=	2			1		1
D = E (		)	− (E )		=		2	−		=		2	.
													.
8). Пусть
8). Пусть			i			. Мы можем представить эту случайную величину как
			B (n, p)

сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин

= 1 + 2 +... + n , где i - индикатор того, что в i-м испытании произошел успех.

Тогда мы получаем, используя уже доказанный ранее результат:

E =

D =

E 1

D 1

+ E	2	+... + E
	2

+ D 2 +... + D n

n	= np	.
	= np

= np (1− p) = npq .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.20269.06 Mб0Панков все лекции для ИИ.pdf
#
11.05.20261.2 Mб0Панков Практикум по ТВиМС 21.12.pdf