Лекция № 7

Добавил:

slavapmk study@slavapmk.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Панков все лекции для ИИ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2026

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

−(u2 +v2 )

F (x1x2 ) =

Многомерные случайные величины. Дискетный и непрерывный случайные векторы.

Их законы распределения.

Определение. Упорядоченный набор из n случайных величин 1... n	,
заданных на одном вероятностном пространстве ( , A, ), называют n –
мерным случайным вектором или n – мерной случайной величиной.

Обозначение: = ( 1 2 ... n ),				: → n .
Обозначение: = ( 1 2 ... n ),				: → n .
Определение. Функцией распределения						случайного вектора
= ( 1... n )			называют функцию многих вещественных переменных
F (x):	n	→	такую, что для любых х = (х1...хn )		n	верно равенство
	n				n

F	(x)= F	(x ...x		) = P (	x	,	2	x	,...,	n
		1	n	1	1		2	2		n

)

Эту функцию еще называют совместной функцией распределения случайных величин 1... n .

Определение. Пусть число m , такое, Рассмотрим вектор

дан случайный вектор				= ( 1... n ), натуральное
	что	1 m n , набор		чисел 1 i1 i2	... im n.
	= ( i1	... im ). Функцию	распределения		F	(xi1	...xim )
1

					1

вектора

1		(	i		i	)
	=		1	...	m
			1		m

называют частной функцией распределения

подвектора

или частным распределением случайных величин i1 ... im

По частным распределениям, вообще говоря, нельзя восстановить совместное распределение, а наоборот – можно.

Теорема (о свойствах функции F (x)). Для любого случайного вектора

= ( 1... n ) и для любого k

верно

1, n

lim

(x1...xn ) = 0

x →−

lim

F ... (x1...xn ) = F ...

...

(x1...xk −1xk ...xn ),

x →+

k −1 k +1

lim F

(x1...xn ) =1.

x1 →

...

xn →

Доказательство. Заметим,

что F

(

) является неубывающей функцией

по любой переменной при фиксированных остальных переменных.

Это свойство функции

)

вытекает из монотонности вероятностной

меры и следующего включения событий:

k −1

j=1

j=k +1

Рассмотрим последовательность событий:

при xk xk

k −1

−m

j=1

j=k +1

при всех

. Имеем:

	2	...		m		m+1	...
1	2			m		m+1


	m
	m
m=1

По следствию к теореме непрерывности:

0 = ( ) = lim			( m ) = lim	F ... (x1,..., xk −1, −m, xk +1...xn ) =
		m→+	m→+	1 n
				1 n
= lim F ...		(x1,..., xk −1, xk , xk +1,..., xn ).
xk →−	1	n
	1	n

Следовательно, первое свойство доказано.

Для доказательства второго свойства рассмотрим последовательность событий

k −1

, m =1, 2,...

j=1

j=k +1

Имеем

2 ... m m+1 ... и

m =

m=1

j k

По теореме непрерывности:

(

x ...x

...x

= P

...

k −1 k +1

n )

m=1

k −1

k +1

j k

= lim P

m )

= lim F

x ,..., x

−1

, m, x

,..., x

m→+

(

m→

...

(

k +1

n )

= lim F ...

(x1

,..., xk −1, xk , xk +1

,..., xn ).

→+

Второе свойство доказано.

Для доказательства третьего последовательность событий Сm =

Имеем С1 C2

...Cm Cm+1 ...

свойства нужно рассмотреть

m . j=1

Cm = .

m=1

1 = P( )	= lim P(C			) =
	m→	m
	m→
= lim F	m, m,...m	)	= lim			F
(		)		x	→+	...	n
				x	→+	1	n
m→+				1
m→+				x	→+
				x	→+
				2
					...
				x	→+
				n

(x	, x	,..., x
1	2	n

)

Пример. Пусть дан случайный вектор распределения

= (	2	)
1	2

Теорема доказана.

с совместной функцией

Из второго пункта предыдущей теоремы следует, что функция распределения подвектора примет вид:

									x		−u	2		+		−v	2
								1	1		−u			+		−v
	(	1 )	= lim F		(	1 2 )	=	1		e	2		du		e	2
F		x	= lim F			x x	=	2		e	2		du		e	2
1			2	→				2
1			x	→
									−					−

		х	−u	2
	2	1	−u
dv =	2	e
			2
	2	−
		−

	du =	1
	du =	2
		2

x	−u	2
1	−u	du
e	2	du
	2
−

Получаем, что

имеет функцию распределения стандартного

нормального закона. Следовательно,

(	)
	0,1

Аналогично показывается, что

	(	)
2		0,1
2

Для случайных векторов вводятся понятия случайных векторов дискретного (если они принимает счетное или конечное число

значений из	n	) и абсолютно непрерывного типа.
	n

Пример. Рассмотрим полиномиальную схему с k исходами при n испытаниях, в которой обозначим через p j вероятность появления

исхода с номером j при одном испытании,

k p j

j=1

Пусть

= ( ..	k
1

)

- частота исхода с номером

j при n испытаниях. Тогда вектор

имеет полиномиальное распределение, если

P (	= m ,...,	k
1	1	k

= mk ) =

	n!
m !..m		!
1	k

p	m	.. p	m
	1		k

1		k

где

m	j

k mj

j=1

Определение. Функция

F	(x)

называется абсолютно непрерывной

функцией распределения случайного вектора (который также называется абсолютно непрерывным), если существует

неотрицательная функция

(x):

→

что

F (x)= F

(x1...xn ) =

...

(z1...zn )dz1..dzn .

−

Свойства плотности

(x):

1).

(x) 0 для всех x

(x)dx1..dxn

2).

=1.

...

−

, называемая плотностью, такая,

Пример. Двухмерным нормальным распределением называют распределение абсолютно непрерывного случайного вектора = ( 1, 2 ) с плотностью:

p (x1x2 ) = 2 1 211− 2

			1			(x1 − 1 )2		x −			x −			2		(x2 − 2 )2		,
exp	−							− 2	1	1		2		2	+
exp	−			2	)		2	− 2							+		2
		2 1	−				1			1			2				2
		(					1			1			2				2

где

1, 2

, −1 1, 1 0

, 2

коэффициентом корреляции.

- параметры. Параметр называют

Утверждение.

распределения

Пусть

p	(x ..x
	1	n

)

случайный вектор

тогда подвектор

1 =

( ..	m
1

имеет плотность

)	имеет плотность

(

x ...x

(

x ..x

..x

..dx

m )

m+1

n )

m+1

−

Доказательство. Из второго пункта предыдущей теоремы следует, что функция распределения подвектора примет вид:

xm +

(

x ...x

= lim

(

x ,..., x , x

,..., x

x ..x x

..x dx ..dx

1 m )

→

m m+1

n )

( 1 m m+1

n )

m+1

−

− −

−

...

xn →

	x		x
=	1		m
		..
		..
	−	−

p (x ..x		)dx ..dx
1	m	1	m

если обозначить

(

x ..x

(

x ..x

..x

..dx

m )

m+1

n )

m+1

−

Очевидно, что p		(x1..xm ) 0 .

	1
Следовательно,	по определению

вероятностей вектора .

p	(x	..x	)
	1	m
1

- плотность распределения

Утверждение доказано.

Определение.

распределения

Пусть

p	(x ..x
	1	n

)

	- произвольный

Обозначим 1 = ( 1.. m )

вектор

и 2

= ( m

	с
+1	..	n
+1		n

)

плотностью

. Тогда:

p	x x ..x			- условная плотность распределения подвектора
		1 2 m

1			2 = y2

при условии, что

принимает значение y2

, где y2

= (ym+1..yn )

По определению будем считать, что

..x

x ..x

m+1

..y

n )

(

..y

)

= y2

m+1

			Формула свертки
Утверждение (без доказательства). Пусть n , = ( 1.. n ) -				случайный
вектор с плотностью p (x1..xn ), дана непрерывная				функция
(x ) = (x1..xn ):	n	→	. Тогда ( 1.. n ) будет случайной величиной и
	n

P ( ( 1.. n ) x) =		p (x1..xn )dx1..dxn	,
P ( ( 1.. n ) x) =		p (x1..xn )dx1..dxn	,
	D
	x

где Dx = (x1..xn ) n : (x1..xn ) x

Аналогично, в дискретном случае:

P( ( 1.. n ) = y) =			P ( = x).
x	n	: (x)=y

Более подробно случай, когда n =1; т. е. случай преобразования одной случайной величины был рассмотрен ранее.

Нахождение распределения результатов n-арных операций над случайными величинами значительно усложняется с ростом n.

Рассмотрим случай, когда сложения.

, и простейшую операцию - операцию

Пусть у нас имеется случайный вектор

= ( 1, 2 )

с плотностью распределения p (x1, x2 ). Рассмотрим случайную величину

= ( 1 , 2 ) = 1 + 2

и найдем плотность p (y).

Обозначим через

	(		)	(	)
F		y		= P y

функцию распределения случайной сформулированному нами в начале утверждению

F (y) =							(x1x2 )dx1dx2 .
F (y) =						p	(x1x2 )dx1dx2 .
D = (x		,x	)	2:х +х	y
y	1	2		1 2

величины

предыдущей

Согласно

подтемы

Согласно рисунку, который приведен ниже, видно, что можно перейти от интеграла по области к двойному интегралу следующим образом:

D		=	(	x	, x	)		: х + х		y	=	(	x	, x	)		: х	, х
							2									2
	y			1	2			1	2				1	2			1	2

y +

Следовательно,

				+		y−x
(		)		+	1		1
(		)	=		1
F	y		=		dx			p
				−		−

(x x
1	2

)dx2

Если сделать замену

z −

то

(		)		+	1	y		( 1		1 )	y +	( 1		1 )	1
(		)			1			( 1		1 )		( 1		1 )	1
F	y		=		dx		p		x , z − x dz =			p	x , z − x dx dz .
				−		−					− −

Обозначим (z ) = p (x1, z − x1 )dx1 .

−

Нам известно,

	x
F (x) =		p (z )dz ,
F (x) =		p (z )dz ,
	−
			x
У нас	F (x) =
У нас	F (x) =
			−

что случайная величина имеет плотность	p (x), если
и при этом p (z ) 0.

(z )dz . Следовательно, (z ) есть искомая плотность, так

как по свойствам интеграла от непрерывной функции для любого выполняется, что (z ) 0

Формула

		(		)		+			(			)
p		(	y	)	=				(		, y − x	)
p	+		y		=		p	,		x	, y − x	dx
	+	2						,	2	1	1		1
1		2					1		2
						−

называется формулой свёртки.

Аналогично доказывается, что

p 1 + 2 (y ) = p (y − x2 , x2 )dx2 .

−

Это также формула свёртки.

Проводя похожие рассуждения в дискретном случае, получаем

(	)		(	1	2		)					(	1	1	2	2 )
P = y		= P		+		= y		=			P			= x ;		= x	=
								(x	,x	):
								1	2
								x +x		=y
								1	2
								=x		, =x
								1	1	1	2

= P( 1 = x1; 2 = y − x1 ) = P( 1 = y − x2 ; 2 = x2 ).

x1: 1 =x1 x2: 2 =x2

Эти равенства называются формулами свертки для дискретных случайных величин.

Независимость случайных величин

Определение. Пусть даны случайные величины

одном вероятностном пространстве

( , A, P).

... n

, заданные на

Они называются

независимыми (в совокупности), если для любых

m 2, n

1 i	i	... i
1	2	m

, для любых событий j A, j 1, m, выполняется следующее свойство

P( i 1, i		2 ,..., i	m )= P( i	1 )P( i 2 )...P( i m ).
1	2	m	1	2	m
Так как	1... n	заданы на одном вероятностном пространстве, то мы
можем рассмотреть их как случайный вектор					= ( 1... n )	с функцией
распределения F (x1...xn ).

Теорема (критерий независимости случайных величин – без

доказательства). Случайные	величины 1... n ,					из которых можно
составить случайный вектор	= ( 1... n ): →			n	,	независимы тогда и
				n
только тогда, когда для всех (x1...xn )		n	выполняется равенство
		n

(	1	n )		(	1 )		(	2 )
	x ...x		= F		x	F		x	...F
			1				2			n

(xn

)

Докажите		самостоятельно		необходимость	условия
F	(x1...xn ) = F	(x1 )F	(x2 )...F (xn ).

	1	2	n

Теорема. Пусть случайные величины j имеют плотности распределения p j (x) при всех j 1, n, а случайный вектор = ( 1... n )

имеет совместную плотность	p	(x )

независимые случайные величины тогда

=p (x1...xn

итолько

). Тогда

тогда, когда

...	n

p	(x1...xn ) = p	(x1 )...p	(xn ).
	1		n

Доказательство. Согласно предыдущей теореме, получаем, что

(

n )

(

n )

(

1 )

(

n )

z ...z

...

x ...x

dx ...dx

= F

...F

−

(

1 ) 1

( n )

(

1 ( 1 )

n ( n )) 1

x dx

...

x ...p

dx ...dx ,

−

т. е. верно,

что

тогда

только

тогда,

(x1...xn ) =

(xi )

i=1

(x1...xn )

= F

(x1 )F

(x2 )...F

(xn ),

если

1... n

имеют плотности

,...,

когда

p	, и
n

имеет плотность

Теорема доказана.

Последняя теорема – это критерий независимости для абсолютно непрерывных случайных величин.

Следствие (формулы

величин). Если

1, 2

случайные величины, то

p 1 + 2 (y) = p 1 (x1 ) p 2 (y −

−

свертки для независимых случайных

- независимые абсолютно непрерывные

x1 )dx1 .

Если 1

, 2

- независимые дискретные случайные величины, то

( 1 + 2	= y) = ( 1 = x1 ) ( 2	= y − x1 ).
	x
	1

Примеры. 1). Пусть независимые случайные величины 1

распределены по закону Пуассона с параметрами										1
соответственно. Найдем распределение их суммы:
( 1	2		)		( 1	) (	2	)	.

+		= k		=	= i			= k − i

и	2
и	2

i=0

Т.к. для любых i k верно, что																									( 2				= k − i) = 0,
	( 1				2			)			k			(		1			)	(		2				)
	( 1				2			)						(		1			)	(		2				)
		+				= k			=									= i					= k − i				=
											i=0
	k		i							k	−i												k	1				k !
	k		i							k	−i												k
=		1		e		−			2				e	−			= e		−( +			)									i		k −i	=
=		1		e		1	(		2		)		e		2		= e		1		2						(		)					=
	i=0						(				)												i=0				(		)
	i!							k − i				!											k !			i!		k	−i	!	1	2

то

( +		)
		k
1	2
	k !

e	−( +		)
	1	2

Это равенство верно для любых

Мы получили, что 1 + 2

( 1 + 2

k ).

2). Пусть

	,	2
1		2

- независимы, 1 Exp( 1 ), 2 Exp( 2 ). Это абсолютно

непрерывные случайные величины. Найдем плотность распределения их суммы:

p 1 + 2 (y) = p 1 (x1 ) p 2 (y − x1 )dx1 .

−

Т.к. для любых то

x	0
1

	(	1 )	= 0
p		x	= 0
1

и для любых

x	y
1

верно, что

p 2

(y − x1 )

					y									y											y
1	(		)			1	(		)	(		)				− x		−	(y−x	)			−	y		x	( − )
1	2			=		1				2	y − x	dx =			e	− x	e	−	(y−x	)		= e	−	y		x	( − )
p		y		=				x			y − x	dx =			e	1 1	e	2	1		dx	= e	2			e 1	2 1	dx
+								1			1		1		1		2				1	1 2						1
					0									0											0

Если 2				1, то
						−	y	e		y( − )			−1
p		y		= e		−	y	e			2	1	−1			=
											2	1
	(		)			2
						2
+				1	2							−						1	2
1	2											−
1	2
											2		1
Если		2		= 1	= , то
1	2							y
1	2					−	y							2			− y	.
p +	( y )			= 1 2e		2			dy			= y			e			.
						2
								0

e	− y	− e	−		y
e	1	− e		2
	1			2
		−
	2		1

Примеры показывают нам, что при свертке двух однотипных распределений можно получить как распределение того же типа (как в примере 1), так и распределение другого типа (как в примере 2).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.20269.06 Mб0Панков все лекции для ИИ.pdf
#
11.05.20261.2 Mб0Панков Практикум по ТВиМС 21.12.pdf