Добавил:

slavapmk study@slavapmk.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Панков все лекции для ИИ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2026

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 3

Формулы полной вероятности и Байеса. Схема испытаний Бернулли.

Формула Бернулли. Полиномиальная схема. Приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Теперь рассмотрим теорему полной вероятности.

Определение. Пусть

( , A, P)

пространство, 1... k

- случайные

- произвольное вероятностное события. Если выполнены условия:

1.	P ( i ) 0 для любых i			,
			1, k
2.	i	j = для любых i j ,
3.	k
		i =
	i=1

то набор 1... k называют полной группой событий пространства элементарных событий .

или разбиением

Теорема (формула полной вероятности). Если

...	k
1

- полная группа

событий, то для любого события

P ( ) = P ( i )P (A | i ).

i=1

верно равенство

Доказательство. Рассмотрим цепочку равенств

P( ) = P(
P( ) = P(	) = P

	k
	k
		i	= P
i=1

k
	i
	i
i=1

 

Если i
		k
		k
P			i
			i
	i=1

 

j = , то

n = P ( i

i=1

	i

n
) =
i=1

	i

P (	)
i

= P (A

следовательно

i ).

Теорема доказана.

Определение полной группы событий и формулу полной вероятности можно легко обобщить для случая, когда событий 1... n ...счетное число.

Пример. Пусть на экзамене выдается N – билетов, из них n - плохих, и при этом 0 n N .

Пусть событие 1 заключается в том, что первый студент, зашедший в аудиторию, вытащил плохой билет, а событие 2 в том, что второй

вытащил плохой билет. Нас интересует вопрос, чему равны вероятности P ( 1 ) и P ( 2 )?

Очевидно, что	P ( 1 ) =	n	. Для того, чтобы найти	P ( 2 )
		N

формулой полной вероятности. Покажите, что события составляют полную группу событий.

воспользуемся

1 = 1

и 2

= 1

P (	) = P ( )P			(	2	\|	)+ P (				2	)P (
2	1				2	1					2
P ( 1 ) = P ( 1 ) =				n	,
P ( 1 ) = P ( 1 ) =				N	,
				N
P ( 2 ) = P (			)=1− P ( 1 ) =							N − n			,
		1								N − n
		1								N
										N
P ( 2 \| 1 ) = P ( 2 \| 1 ) =								P (	1 2 )					=

								P ( 1 )
								P ( 1 )

| 2 ),

	(	)	: n		= n −1 ,
n		n −1
	(	)
N		N −1		N		N −1

(

2 )

(

2 )

(

1 )

= P

(

1 )

Таким образом,

n −1

N − n

P (

) =

N −1

и,

следовательно,

P ( 1 ) = P ( 2

(N − n)n
	(	)
N		N −1

− n + Nn −
	(	)
N		N −1
).

	:	N −
	:	N
		N

	n	2
	n	=
		=

n	=	n
	=	N −1
		N −1

	(		)
n		N −1
	(		)
N			N −1

	=	n
	=	N
		N

Пусть теперь дана полная группа событий 1.. k
этом P ( ) 0		. Чему			равна вероятность		P ( m \| )
m =1, k ?
Очевидна следующая цепочка равенств
P ( m \| ) =	P ( m )		=	P	( m )P ( \| m )	.

	P (	)			P ( )

Равенство

и событие

, и при

для произвольного

P (		\| ) =	P	(	m	)P ( \|	m	)
P (		\| ) =

	m		k
			P ( i )P ( \| i )
			i=1

называется формулой Байеса.

Пример. Пусть имеются три урны, в первой из которых 1 белый и 9 черных шаров, во второй – 5 белых и 5 черных, а в третьей – 3 белых и 7 черных. Наудачу выбираем урну, а затем достаем из урны шар – при этом он оказался черным. Какова вероятность того, что этот шар взят из

1,2,3 урны?

Рассмотрим набор из трех событий

	i

, заключающихся в том, что шар

выбран из i-й урны, i 1,3

. Очевидно, что i

= , ( i ) =

Следовательно, они образуют полную группу событий.

1 3

3
	i
	i
i=1

Пусть событие А заключается в том, что был извлечен черный шар. Найдем ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ).

( ) = (		)	( \|	)+ (				) ( \|		)+ (			) (
1			1		2				2		3
Очевидно, что
( \| 1 ) =	9		, ( \| 2 ) =			5	, ( \| 3 ) =					7
( \| 1 ) =			, ( \| 2 ) =		10		, ( \| 3 ) =				10
10					10						10
и, следовательно, ( ) =								7	.
и, следовательно, ( ) =								10	.
								10

Покажите самостоятельно, что

	3

)

( 1 \| ) =	3	, ( 2	\| ) =	5	, ( 3	\| ) =	1
	7			21			3

Вероятности			( 1 ) = ( 2 ) = ( 3

вероятностями (вероятностями проведения эксперимента),

.
) =	1	называются
) =	3	называются
	3

событий из полной

априорными

группы до

( 1	\| ) =	3	,	( 2	\| ) =	5	,	( 3	\|
		7				21

вероятностями (вероятностями проведения эксперимента).

) =	1	называются апостериорными
	3

событий из полной группы после

Схема испытаний Бернулли

Пусть у нас имеется случайный эксперимент ( , A, ).

= 1 , 2 , A = P( ).

( 1 ) = p ,0 p 1, ( 2 ) =1− p = q.

Обозначим 1 через 1 и назовем успехом, а

неудачей (неудачей).

	2

через 0 и назовем

Более сложный случайный эксперимент заключается в повторении этого случайного эксперимента.

Рассмотрим

n = 2

(повторяем 2 раза): ( 2 , A2 , 2 )

		2										)	(					)	(				) (				,				2
								(				)	(					)	(				) (			)					2
=										0,0		,			0,1 , 1,0								, 1,1					A	= P		( ),
					(0,0) = (0) (0)																		= q		2	0
																									2
	2
			2			(				)	=		(	0		)			(		)	= qp				0				2		2
			2			(				)			(			)			(		)									2		2
							0,1													1								q			+ pq + qp + p		=1
					(				)		=		(		)				(	0	)	= pq 0						q			+ pq + qp + p		=1
		2				1,0					=		1							0		= pq 0
		2				(				)			(		)				(	)
						(				)	=		(		)				(	)		= p		2		0
							1,1				=		1				1					= p		2		0
				2
( 2 , A2 , 2 )-вероятностная																															(математическая)			модель	сложного

случайного эксперимента, состоящего в двух простых повторениях исходного эксперимента.

Повторим эксперимент n-раз:

n = ( 1... n ): i 0,1 ,			где	i	- результат
эксперимента.
= ... = n , A	n	= P( ),
n	n		n

-го

повторения исходного

n− раз

Рассмотрим элементарное событие

				n
число единиц в : m = k .
				k =1
				n		q		.
Тогда пусть n ( ) = ( k ) = p					m	q	n−m	.
					m		n−m
				k =1
1)	n ( ) 0			для всех n
2)	n ( 1... n ) =1
	(	...	)
	1	n

Докажем последнее равенство:

(	...	n
1		n

)

Обозначим через

n (

n )

n (

n−m

n )

( 1

n )

.. n ): i =m

m=0

( 1

m=0

Мы получили вероятностное пространство

= ( p + q)			n	=
= ( p + q)				=
(	, A	, P			)
n	n			n

-математическую

(вероятностную) модель случайного эксперимента, состоящего в n - кратном повторении исходного эксперимента.

Эту модель и называют схемой независимых испытаний Бернулли или биноминальной схемой.

Рассмотрим задачу: пусть проведено n испытаний по схеме Бернулли. Буквой обозначим число успехов в n испытаний. Какова вероятность

того, что = m?											, где m 0, n .
P ( = m) =		p		q	n−m	= Cn	p		q	n−m	, где m 0, n .
			m		n−m	m		m		n−m
(	.. ):	=m
1	n i
Равенство P ( = m) = Cnm pmqn−m								называется формулой Бернулли.

Примеры: 1. Пусть 100 раз бросают правильный тетраэдр,

P (i) =	1	, где i 1, 4.
	n

{1,

2,3,

Пусть успех – выпадение грани «3», тогда неудача – выпадение граней

«1», «2», «4». p = P (3) = 14 ,

	(	)	( )		(		)		(
q = P	1, 2, 4		= P 1	+ P		2		+ P

Имеем схему Бернулли. раз?

4) =1− p =	3	.
	4

Какова вероятность того, что «3» выпадет 15

						1	15	3	85				85
P	(	= m =15	)	= C	15					= C	15	3
													200
				100		4		4		100		2

2. По каналу связи передают 500 знаков. вероятность искажения одного знака равно 0,01. Какова вероятность того, что в телеграмме 7 искаженных знаков?

						1	7		99	493		99	493

P	(	= 7	)	= C	7			x		= C	7
												1000
				500		100			100	500
												10

Какова вероятность того, что число успехов заключено в фиксированных пределах? По формуле Бернулли

m2 m2

P(m1 m2 ) = P( = k ) = Cnk pk qn−k .

k =m1

Теперь обозначим

(m) = Cn

= P

( = m).

Пусть n – фиксировано.

n−m

Рассмотрим отношение вероятностей

(

)

(

)

n − m

m+1

n−m−1

m+1

) (

m +1

m +1 ! n − m

−1 !

(m)

m +1

n−m

(

)

m! n

− m

Нужно найти, когда предыдущая вероятность больше последующей,

			(	)		n − m	p
т.е. когда	C	n		m +1	=			1.
т.е. когда					=			1.

	C			(m)		m +1	q
			n

Легко провести преобразования:

(n − np −

np −

	)		(	)
m		p −		m +1 q 0
mp − mq − q 0,

m( p + q)− q 0 , m − q 0.

Если np − q m, то следующая вероятность больше предыдущей.

Если np − q						не целое число, тогда наиболее вероятным числом успехов
является число										m = np − q +1.									Если np − q			- целое, то максимума	Cn (m)
достигает при m = np − q и при m = np − q +1
Пример: Пусть мы 100 раз бросаем несимметричный тетраэдр.
= 1, 2,3, 4						,
P 1 =		1	,	P	(	2	)	=	2	, P	3	)	=	3	, P	(	4	)	=	4	.

( )	10							10		(			10						10

Пусть выпадение грани «3» - успех. Какое количество раз она выпадет с наибольшей вероятностью?

p =		3	, q =	7	, np − q =100	2	−	7	= 30 − 0,7 = 29,3 .
	10			10		10		10

Cn (m) максимально при m = np − q +1 = 30.

Полиномиальная схема

Имеется случайный эксперимент

( ,

A, )

= =

1 P(

,	,..	r
2		r
),

(	) = p
k	k

=1, r

r pk

k =1

Пусть эксперимент независимо вероятностное пространство ( n , A

повторяется n – раз. Получаем , n ), где

n = .. = n = ( i1 .. in ) ,

A	n

P( n

)

(	i	i	)		n	(	i
(	i	i	)			(	i
		..		=
	1	n					k
					k =1

)

(	i	i	)		n	(	i
(	i	i	)			(	i
		..		=
	1	n					k
					k =1

)

2) i1 .. in =1.

( 1 .. n )

Докажем последнее равенство. Для этого рассмотрим множество из
векторов ( ..		) таких, что событие	повторяется в них m	раз;	2	− m	и
i1	in	1	1		2	2

так далее.

Таких цепочек (их число мы считали в полиномиальной теореме)

n! . m1 !m2 !..mr !




( i1 .. in )=
( i1 .. in )=
( 1 .. n )	m1 ,m2 ,..,mr 0				1 повторяется m1			раз
		r			повторяется m раз
					2		...
			mi =n		2		2
			mi =n
		i=1
				r повторяется mr				раз
=			n!			p1m1	p2m2 .. prmr


mi 0		m1 !m2 !..mr !

m1 +..+mr =n

( 1.. n ) =

=1.

Последнее равенство следует из полиномиальной теоремы.

Мы получили новое вероятностное пространство

( n , An , n )

математическую (вероятностную) модель n – кратного повторения случайного эксперимента с r исходами в каждом при неизменных условиях. Эта модель называется полиномиальной схемой. При r = 2 мы получаем биномиальную схему.

Пусть 1 - число исходов 1 в случайном исходе полиномиальной схемы

- число исходов

…

- число исходов

	2

	r

вслучайном исходе полиномиальной схемы

= ( 1.. r ) - полиномиальный вектор.

Очевидно, что k = n.

k =1

Какова вероятность того,

(	= k	;	2	= k	;...;	r	= k	r	) =
1	1		2	2		r		r	k
									k
									1

что

n!
!k	2	!..k	r

(		= k
	1			1
	p	k	p	k
		1			2

!	1		2

;	2	= k			2	;...;	r
	2				2		r
		k		.
..pr			r	.
			r

k	r

)

, если

r ki

i=1

Данное равенство носит название полиномиальной формулы, частный ее случай – формула Бернулли:

( 1 = k1, 2 = k2	= n − k1 ) =		n!	pk1 (1− p)n−k1 = Cnk1 pk1 qn−k1 .
		k1	!(n − k1 )!

Пример: 24 раза бросаем игральную кость. Какова вероятность того, что каждая сторона выпадет по 4 раза?

=24


1, 2,..6
=	24	,
	24

r=6,

p	=		=	1

		i
i				6
				6

для всех

1,6

	24!		1	4	1	4		1	4			24!		1	24
( 1 = 4; 2 = 4;...; 6 = 4) =							..			=					.
											(	)	6
	4!4!..4!		6		6			6						6
												4!
Теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона
Рассмотрим биноминальную				схему				с		вероятностью успеха						p , где
0 p 1. Пусть m - событие, заключающееся в том, что при n испытаниях
успех появился ровно m раз.
Если n и m небольшие,		то вычислить P ( m )												по формуле Бернулли

довольно просто. Но при больших n вычисление будет крайне трудоемким. Поэтому в таких случаях следует для оценки P ( m )

использовать приближенные формулы, к которым и относят формулы, следующие из предельных теорем Муавра-Лапласа и Пуассона.

Сформулируем без доказательства полезную формулу.

Утверждение (формула Стерлинга - без доказательства). Для любого

натурального n верно, что


	n		n
	n
n!	2 n	.
	e


n! =	2 n

n e 12n

где

0 n

или

Теперь сформулируем первую предельную теорему.

Теорема (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Дана

биноминальная схема с вероятностью успеха			р такой,	что 0
Пусть	m = m(n)	- целое число, зависящее	от n,	такое,

последовательность x (n) = m(n)− np ограниченна (т. е. существует npq

p 1.

что

c 0:

x (n) c для всех n ). Рассмотрим событие что произошло ровно m исходов.

Тогда при n стремящемся к бесконечности

	m

, заключающееся в том,

P (		) = C	m	p	m	q	n−m	1	1
P (		) = C		p		q

	m		n					npq	2
								npq	2

		x	(n)
		2
e	−		2
e

Доказательство. По формуле Стирлинга

2 n

n−m

P (

) =

n−m

− m

n − m

n−m

(

)

2 m

n − m

np m

n−m

q .

2 n

n − m

1−

Из определения последовательности

(

)

n − m	=	nq − x (n)	npq		1
	=			= q +
n		n
n		n			n

, так как

m = np +

x (n)

npq

m	=	np + x (n)	npq		1
	=			= p +
n		n
n		n			n

, так как

n − m = n − np − x (n)

npq = nq − x (n)

npq

Используя формулу Тейлора

ln 1+ x

)

= x +

+ O

(

)

(

получаем

m nq

n−m

n − m

= exp

−m ln

− (n − m)ln

n − m

−(np + x(n)

x(n)

−

(nq − x(n)

nqp ) ln

−

x(n)

= exp

npq )ln 1+

(n)

x (n)

1 x

= exp −(np + x(n)

npq )

−

3/2

−

x (n)

1 x

(n)

−(nq − x(n)

nqp ) −

−

3/2

(n)q − x2

(n−1/2 )−

− p n x (n)

(n)q +

= exp

(n) p − x2

(n) p + (n−1/2 )

−q n x (n)

x2 (n)( p + q) + (n−1/2 )−

= exp

−

n x (n) p

− q

		1		2
exp	−		x		(n) .
exp	−	2	x		(n) .
		2

Отсюда получаем, что при

→

и x (n) c:

									x	(n)
									2
P (		)		1			e	−		2
P (		)					e

	m			m	n − m
			2 n	m	n − m
			2 n			n
				n		n

1 npq

1 2

		x	(n)
		2
e	−		2
e

Теорема доказана.

Получается,

	a	m(n)− np
		npq

что оценка вероятности P ( m ) верна при	x (n) c, т. е. при
b , где a и b – некоторые константы.

Отсюда из локальной теоремы (вероятность в точке) мы можем получить интегральную теорему (вероятность промежутка). Для этого рассмотрим

m +1 = np +

x (n)

npq

x (n) =

m +1− np npq

x (n) = x (n)− x (n) =

1 npq

тогда

				x	(n)
				2
P( m ) =	1	e	−		2	x (n)(1+ (n	−1/2	))
P( m ) =		e				x (n)(1+ (n		))


	2

Сумма вероятностей

(n)

P ( m ) =

−

x (n)(1

+ (n

−1/2

))

m:a

m−np

m:a

m−np

npq

с точностью до множителя

(	+	(	n−1/2	))
1	+		n−1/2

является интегральной суммой

b	1		−	x2
для интеграла		e		2 dx .


	2
а

В силу определения определенного интеграла получаем

				b
lim				P ( m ) =
n→		m−np		а
	m:a	m−np	b
	m:a	npq	b
		npq

1 2

		x	2
	−	x
e	−	2
e

где

A m

; a = − np ; npq

b =

В − np npq

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Теорема (интегральная теорема Муавра – Лапласа). В условиях

предыдущей теоремы для любых натуральных верно

	B			1		b			x	2
	B					b		−	x		dx ,
lim P ( m ) =							e	−	2
lim P ( m ) =							e		2
n→	m=A			2		а
	m=A			2

где a =		− np	,b =		− np						.
где a =		npq	,b =			npq					.
		npq				npq

и таких, что

Еще раз подчеркнем, что интегральная и локальная теоремы МуавраЛапласа предназначаются для приближенного вычисления биноминальных вероятностей, либо их сумм.

Пример. Правильная кость подбрасывается 12000 раз. Какова вероятность того, что выпадение числа «6» будет лежать в пределах от

1800 до 2100?

Искомая вероятность равна

2100		k	1	k	5	12000−k


	C
	12000		6		6
k =1800

Понятно, что вычисление этой суммы крайне трудоёмко. Если мы воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа, то найдем, что интересующая нас вероятность приближенно вычисляется следующим образом:

12000

p = 16 ,

1800

2100

;

a =

b =

1800 − 2000			−2		6 −4,898,
	1	5
12000
	6	6

2100 − 2000			=	6	2, 449,
	1	5
12000
	6	6

2100		k	1	k	5	12000−k	1


	C
	12000		6		10		2
k =1800

2,449			x	2
2,449		−	x
	e	−	2
	e

−4,898

Рассмотрим функцию

	(x) =	1
	(x) =	2
		2

x		y	2
x	−	y
e	−	2
e

−

, тогда

2100		k	1	k	5	12000−k


	C
	12000		6		10
k =1800

(2, 449)− (−4,998)

0,992

Численные значения

(x)

берутся из таблицы значений этой функции

(функции распределения стандартного нормального закона, с которой мы познакомимся позднее более подробно).

Процесс приближенного вычисления одной функции с помощью другой можно назвать аппроксимацией. Аппроксимация суммы биноминальных вероятностей с помощью функции (x), то есть

теоремы Муавра-Лапласа, при значениях р, близких к нулю или единице, может быть «плохой» (то есть дающей большую погрешность) даже при больших значениях n. При этих, «малых» значениях р «хорошую» аппроксимацию для нашей суммы дает так называемая теорема Пуассона.

Рассмотрим биноминальную Будем менять n так, чтобы n →

считать функцией параметра n.

схему испытаний при, а вероятность успеха

n испытаниях. p = p (n) будем

Теорема (Пуассона). Пусть

биномиальной схеме

стремящемся к бесконечности

p = p (n) → 0

;

при этом

n p (n)

n→

Тогда для любого фиксированного m = 0,1, 2,...

n−m

(n)(1− p (n))

−

lim P ( m ) = lim Cn

n→

Доказательство. Очевидно, что

(

)

= Cm pm

(

)(

(

))

n−m

1− p

n(n −1)..(n − m +1)

p (n))

(

− p

(

))

(

))

1− p

1−

(

)

m −1

−

... 1

−

(np (n))

(1− p (n))

при	n
→ ,	где
n→

Устремим n

lim		1	−	1					1	−
lim		1	−						1	−

n→				n
n→
lim	(np (n))						m			=
lim	(np (n))									=
n→
	(				(			))
lim 1− p						n				n
lim 1− p						n
n→
lim				1
lim	(1		− p (n))m
n→	(1		− p (n))m

к бесконечности:

...

−

m −1

(lim

(np (n)))

n→

= lim

(

))

1− p

n→

=1.

=1,

	m	,
	m

1
1
p(n)

n p(n) =

Из полученных равенств следует,

e	−	,

что

		(		)	(	(		))
lim Cm pm			n		1− p		n	n−m
n→	n
n→

1
	m
m!

e	−

Теорема доказана.

Теорему Пуассона используют для приближенного вычисления биноминальных вероятностей, когда значения р малы, а число испытаний n велико. Обычно, если p n 10, то для аппроксимации биноминальных вероятностей используют теорему Пуассона, а если p n 10, то теоремы Муавра – Лапласа.

Обратим внимание, что в предыдущем рассмотренном примере

	p n =12000	1
	p n =12000	6
		6

2000

Пример. Пусть на Московский рынок завезли партию цыплят из 10000 тушек. Известно, что их завезли из области, где 0,05 процентов поголовья больны птичьим гриппом. Найти вероятность того, что в поставке было не более одной опасной для здоровья тушки.

Имеем

n =10000 =104 , p = 0,10005 = 5 10−4 , np = = 5 10.

Следовательно, нужно использовать теорему Пуассона.

	(	)		(
P		1	= P

= 0)+ P (

	0		1
)	5	e−5 +	5	e−5
=1	0!	e−5 +	1!	e−5
	0!		1!

= 6e	−5

0,04

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.20269.06 Mб0Панков все лекции для ИИ.pdf
#
11.05.20261.2 Mб0Панков Практикум по ТВиМС 21.12.pdf