КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 14

Интервальное (доверительное) оценивание. Доверительные интервалы параметров для выборок, полученных из нормальных, биномиальных и пуассоновских распределений. Распределения, связанные с нормальным: Стьюдента, хи-квадрат и Фишера

На предыдущей лекции мы рассматривали точечные оценки для параметров статистической модели. Любая точечная оценка представляет собой функцию выборки, т. е. является случайной величиной, и при каждой реализации выборки эта функция определяет единственное число, которое мы принимаем за приближенное значение оцениваемой характеристики. При этом нужно принимать во внимание, что в каждом конкретном случае значение оценки может отличаться от значения параметра. Следовательно, полезно знать и возможную погрешность, возникающую при использовании предлагаемой оценки. К примеру, можно указать такой интервал, или область, внутри которого с высокой вероятностью находится точное значение оцениваемого параметра. В этом случае говорят об интервальном, или доверительном, оценивании.

Теперь сформулируем основное определение.

вероятностью или коэффициентом надежности.

Случайный интервал 1, 2 называют доверительным интервалом для неизвестного параметра с коэффициентом надежности .

Опишем способ, с помощью которого в ряде случаев можно построить доверительный интервал.

Определение. Пусть статистическая модель F абсолютно непрерывна, и существует случайная величина G x1,..., xn , , зависящая от , такая, что:

1)распределение G x1,..., xn , не зависит от ;

2)для любой фиксированной реализации выборки x1,..., xn функция G x1,..., xn , непрерывна и строго монотонна по .

Тогда такую случайную величину G называют центральной статистикой параметра .

Обратим внимание, чтов силуопределенияцентральнаястатистикане является статистикой в точном определении этого понятия.

Итак,пустьдлямодели F построенацентральнаястатистика G x1,..., xn , , и fG t – плотность распределения этой центральной статистики.

Попервомуусловию изопределения, fG t независитот , поэтомудля любого значения 0;1 можно выбрать величины t1 t2 (какими угодно способами) так, чтобы:

Однозначность определения обоих этих чисел обеспечивается вторым условием, наложенным по определению на функцию G x1,..., xn , . Тогда

неравенство

t1 G x1,..., xn , t2

-доверительным интервалом для неизвестного параметра .

В каждой конкретной задаче при построении центральной статистики для оцениваемого параметра обычно приходится учитывать специфику рассматриваемой модели.

Это мы разберем на примере оценки параметров нормального распределения. Но сначала сформулируем полезную теорему.

Теорема (Фишера – без доказательства). Если x1,..., xn - выборка из

Примеры.

1). Рассмотрим случай выборки из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией:

N 2 .

По теореме Фишера x N , 2 ,

n

следовательно, функция

n G x1,..., xn , x

являетсяцентральнойстатистикой,имеющейстандартноенормальное распределение N 0;1 .

Рассмотрим график плотности нормального распределения:

Пустьплощадьзакрашенной области на графике равна ,тогдасумма

площадей S1 S2 равна 1 . Удобно считать, что S1 S2 1 .

2

Получаем, что t1 - квантиль стандартного нормального распределения

Эти квантили для конкретных значений находятся по таблицам математической статистики, обычно находящимся в конце пособий по математической статистике или в отдельных сборниках.

Заметим, что на практике представляет интерес поиск доверительных интервалов, наименьших по длине 2 1 . В данном случае мы нашли именно наименьший.

2) Рассмотрим случай выборки из нормального распределения с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией:

N a, .

Рассмотрим статистику

Рассмотрим график плотности хи-квадрат распределения:

Пусть площадь закрашенной области на графике равна , тогда сумма площадей S1 S2 равна 1 . Удобно выбрать, как и в предыдущем примере, что

S1 S2 / 2.

Получаем, что t1 - квантиль хи-квадрат распределения с n степенями свободы уровня / 2, что обозначается как t1 2n; /2 , а t2 - уровня 1 / 2,

т. е. t2 2n;1 /2 .

Но в данном случае он не является наименьшим по длине.

3) Теперь рассмотрим случай выборки из общей нормальной модели, т.е. из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией: N 1, 2 .

Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии 2 , будем действовать аналогично примеру 2, но используя другую центральную статистику.

Согласно теореме Фишера,

nS 2 2n 1.

2

Проводя аналогичные предыдущему примеру рассуждения, получаем:

Тогда 1,2 ; 2,2 - -доверительный интервал для параметра 2 .

Для того чтобы построить доверительный интервал для математического ожидания 1 , сформулируем сперва утверждение.

Утверждение (соотношение Стьюдента – без доказательства). Пусть случайные величины и независимы и имеют следующие распределения:

N 0,1 , 2k .

Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с k

/ k

степенями свободы, что обозначается как

stk .

/ k

Какив предыдущих пунктах полезновыбратьв качестве t1 и t2 квантили

Тогда 1,1; 2,1 - искомый -доверительный интервал для параметра 1 .

Использование центральной статистики не является единственным способом построения доверительных интервалов. Рассмотрим в качестве примера еще один из способов.

Пример (построение доверительного интервала для дискретной модели с помощью неравенства Чебышева).

Рассмотрим случай выборки x1,..., xn из распределения Бернулли с неизвестной вероятностью успеха 0,1 : Bi 1, .

Пусть 0,1 - заданная доверительная вероятность. Построим - доверительный интервал для неизвестного параметра .

Согласно классической форме неравенства Чебышева для любого 0 выполняется P x E x D x / 2 .

Подставим в эту формулу найденные выше значения:

P x 1 / 2n,

1 P x 1 1 / 2n,

P x 1 1 / 2n,

P x x 1 1 / 2n.

Следовательно, случайный интервал 1, 2 накрывает неизвестный

параметр с вероятностью не меньшей, чем , и мы можем его рассматривать в качестве искомого -доверительного интервала.