Добавил:

slavapmk study@slavapmk.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Панков все лекции для ИИ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2026

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 2

Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность.

Формулы сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.

Независимость событий.

Еще в самом начале развития теории вероятности была замечена недостаточность классического определения вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслится бесконечное число исходов.

Общая задача, которая привела к расширению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим образом:

Пусть имеется, к примеру, на плоскости некоторая область Ω и в ней содержится другая область A. В область Ω наудачу бросается точка, и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область . При этом выражение «точка бросается наудачу в область Ω» употребляется в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области Ω, а вероятность попасть в какую либо часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.) и не

зависит от ее расположения и формы. Теперь сформируем более строго.

Пусть n - множество,				измеримое по Жордану, т.е. J (		n ), mesn ( ) -
мера Жордана множества . При этом 0 mesn ( ) .
Нас будут интересовать чаще всего случаи, когда n =1, 2,3.
Определение. Класс			F	(эф готическое) подмножеств		называется
алгеброй, если выполняются следующие условия:
1.	F	.

2.	A F A F .
3. A F, B F A B F .
Пусть F множество всех подмножеств					для которых определена мера
Жордана F = P( ) J (			n	). В данном	случае F является алгеброй

(докажите это), и F J ( n ). Подмножества A F мы будем так же называть событиями.

Функция P ( ) =	mesn ( )	, отображающая F	в	, по определению будет

	mesn ( )
называться геометрической вероятностью				события . Несложно

показать, что данная функция будет обладать следующими свойствами:

1.	( ) 0 для всех F ;
2.	( ) =1;
3.	(свойство аддитивности)	(	B) = ( )+ (B)	для любых

непересекающихся A, B F .

Функция, обладающая этими тремя свойствами, называется конечно-

аддитивной вероятностной мерой, а тройка				( , F, P), состоящая из
пространства элементарных		событий	, алгебры F		и конечно-
аддитивной вероятностной меры P , называется вероятностным
пространством в широком смысле.
Самостоятельно	докажите,	что	любая	счетно-аддитивная

вероятностная функция будет конечно-аддитивной.

В зависимости от контекста под словом вероятность может пониматься как конечно-, так и счетно-аддитивная вероятностная меры. Мы рассмотрим конкретные примеры вычисления геометрической вероятности.

Примеры. 1. Два друга договорились о встрече с 12 часов до 13 часов дня. Пришедший первым на место встречи ждет другого в течение 20 минут. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Для решения данной задачи обозначим через х – момент прихода первого друга, а через у – момент прихода второго. Станем изображать х и у как декартовые координаты на плоскости, а в качестве единицы масштаба выберем час. Возможные исходы изобразим точками квадрата со сторонами 1. Тогда = 0,1 0,1 .

Для того, что бы встреча состоялась необходимо и достаточно что бы

				1	.		Из	того,			что
	x − y			1
	x − y			3
				3
	x − y			1		следует			система
				1
				3
				3						1
неравенств								y − x		1	, т.е.
неравенств								y − x		3	, т.е.
										3
	y	1	+ x при y x ,						и	x	− y	1	,
	y	3	+ x при y x ,						и	x	− y	3	,
		3										3
т.е. y x −						1	при y x .
т.е. y x −						3	при y x .
						3
Пусть				A F заключается в

том, что встреча состоялась. На рисунке ниже это событие изображено темным цветом.

( ) =	mes2		( )		=	S2	( )			= SKLMNOP =1− 2S LMT	=1− 2	1	2	2	=1−	4	=	5
( ) =	mes		( )		=	S	( )			= SKLMNOP =1− 2S LMT	=1− 2	2	3	3	=1−	9	=	9
	mes		( )			S	( )					2	3	3		9		9
		2
=1− 2	1	2		2	=1−			4	=	5

	2	3		3				9		9
	2	3		3				9		9

2. Задача Бюффона.

Пусть плоскость разлинована параллельными прямыми, отстоящими на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длиной 2l (l 0 ). Нужно найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую.

Обозначим через x	расстояние от центра иглы до	ближайшей
параллели и через	угол, составляющий иглой с этой	параллелью.

Величины x и полностью определяют положение иглы (см. рисунок ниже).

В этом случае

= (x, ): 0 x

Получаем, что координаты на

a,0 = 0; a 0; .

x и - декартовы плоскости.

Из геометрических соображений очевидно, что для того, чтобы игла пересекла прямую нужно, чтобы выполнялось условие x l sin .

Пусть А – событие, препятствие: A = x l

заключающееся в том, что игла пересекла

sin .

наступить

повторим

( ) =	mesn ( )				S ( )		S ( )	,
				=		=
	mesn ( )			=	S ( )	=	a

S ( ) =		l sin d = l (cos 0 − cos ) = 2l ,
S ( ) =		l sin d = l (cos 0 − cos ) = 2l ,
	0
( ) =	2l		.
( ) =	a		.
	a
В	результате						проведения
некоторого эксперимента может
или не наступить некоторое		события А.				Эксперимент

n раз. Через mобозначим число наступления

(m n).

Величина =	m	называется частотой события	или относительной
	n

частотой наступления события .

В примере 2 у нас есть вероятность события и ( ) ( ) = mn (в силу некоторых вероятностных соображений, которые мы рассмотрим

позднее в законе больших чисел). С помощью этого приближенного

равенства мы можем оценить число «пи» экспериментально. Т. к.			2	m
			a	n
			a	n
, то	2 n	.
, то	am	.
	am

В 1850 году математик Вольф 5000 раз бросал иглу и получил 3,1596.

Лаззерини в 1901 году 3408 раз бросал иглу. Его оценка -

3,14159

Гриджеман в 1960 году бросил иглу 2 раза и получил

3,143

Относительная частота наряду с вероятностью является одним из ключевых понятий теории вероятностей, но если классическое либо геометрическое определение вероятности не требуют проведения испытаний, то относительная частота рассчитывается исключительно ПОСЛЕ опытов на основе фактически полученных данных. В том случае, если серии испытаний проводятся в неизменных условиях, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, то есть колеблется около определённого значения.

Пусть некий профессиональный стрелок произвёл 100 выстрелов по мишени и попал 83 раза. Тогда относительная частота поражения цели составит:

Предположим, что тот же самый стрелок в точно такой же «форме» и в приблизительно таких же условиях снова провёл серию из 100 выстрелов. Вероятно ли, что он снова попадёт 83 раза? Не очень. Но количество попаданий вряд ли будет сильно отличаться от предыдущего результата. Пусть, например, стрелок попал 79 раз. Тогда относительная частота поражения цели составит:

В третьей серии из 100 выстрелов, проведённой при похожих обстоятельствах, данный стрелок попал 81 раз,

и т.д.

Иногда могут случаться блестящие серии более 90 попаданий, иногда «провалы», но среднее количество попаданий будет варьироваться около 80. И когда количество фактически проведённых испытаний станет достаточно большим, то речь зайдёт о статистической вероятности. Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний, то за статистическую вероятность события принимают относительную частоту данного события либо близкое число.

Оценку из утверждения «Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке равна 0,05» невозможно получить с помощью классического определения вероятности – она следует только из практики! Если на станке произведены десятки тысяч деталей и на каждую, скажем, тысячу выпущенных деталей, приходится в среднем 50 бракованных, то в качестве статистической вероятности брака принимается значения p = 0,05.

Теорема (о сложении вероятностей или Формула включения

исключения). Для любых A1

, A2

,..., An A

выполняется

(

n )

(

i )

(

)

−

...

A A

i=1

1 i

i n

				(	i	i	i
+			P		A A A
					1	2	3
1 i	i	i	n
1	2	3

)		(	)	n−1		(	1	n
	−... +		−1		P		A ...A

)


Доказательство.
Докажем методом математической индукции. Для n =1		– очевидно, для
n = 2	- доказано в пункте 5 теоремы о простейших свойствах

вероятности. Таким образом, база индукции доказана. Докажем шаг индукции.

Пусть верно для

k +1			k
P	Ai	= P		Ai
i=1		i=1

n k , докажем для n = k +1:
	k		+ P (Ak +1 )−
Ak +1	= P	Ai	+ P (Ak +1 )−
	i=1

(

)

(

)

−P

k +1

−

+... +

A A

i=1

1 i i

k −1

(

)

k )

(

k +1 )

(

k +1 )

−1

A ...A

+ P

− P

A A

i=1

k +1

(

)

(

i )

(

)

k −1

(

k )

−

A A

+... +

−1

A ...A

−

i=1

1 i

(

−P

A A

A A A

−... +

(

−1

(

A ...A A

k +1

k +1 )

)

k +1 )

i=1

1 i

k +1

(

)

(

)

(

)

−

A A

A A A

i=1

1 i

k +1

1 i

k +1

−... +

(

−1

(k +1)−1 P

(

A ...A

)

k +1

Теорема доказана.

Пример (задача о совпадениях). В урне имеется n шаров с номерами на них. Из урны без возвращения по одному достали все шары. Какова

вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер на извлекаемом шаре совпадет с номером извлечения.

( , A,

)

-вероятностное пространство.

= = ( 1,..., n ), i	1, n, i	j ,
-перестановка чисел от 1 до
= n!, A = P( ).

Согласно классическому способу задания вероятностей

P ( i ) = n1!

для любого

i 1, n!.

Пусть A – событие, состоящее в том, что хотя бы при одном извлечение

номер извлечения совпадет с номером на шаре. Чему равно P (A)	?
Рассмотрим набор событий Ak , состоящих в том, что при	k -м
извлечении будет извлечен шар с номером k .

	n
A =		A
			k
	k =1
P (A) = P
+
1 i	i	i	n
1	2	3

P (A) = P

k =1

(

i )

−

k =1

i=1

1 i

(

)

(

)

(

n−1

A A A

−... +

−1

	(	i	i
P		A A
		1	2
A ...A )
1			n

Для вычисления P (A1 ) рассмотрим перестановку,

зафиксирован элемент «1», а на оставшихся	n −1
оставшиеся числа в любом порядке.

где на первом месте местах могут стоять

P(A1 ) = (n −1)! = 1 = P(Ai ) n! n

Для вычисления

P (A A )
1	2

рассмотрим перестановку, где на первом и

втором месте зафиксированы элементы «1» и «2» соответственно, а на

оставшихся порядке.

n − 2

местах могут стоять оставшиеся числа в любом

P (A1 A2 )			=	(n − 2)!				=						1	= P (Ai1 Ai2

					n!					n	(		n −1
		(				)					(			)
		(		i	i	)		n						1			n!
		P A A					= C		2							=
									2
1 i	i n			1	2					n		(		n −1			2! n −
1 i	i n											(		)			(
1	2

Далее аналогично:

)

для всех i1 i2

				1	=	1	.
)	!	n	(	)		2!

				n −1

P	(		1	2	3 )		=	(n − 3)!				= P		(		i	i	i	)
	(		1	2	3 )									(		i	i	i	)
		A A A							n!						A A A
									n!							1	2	3
																1	2	3
						(	i	i	i	)			n		1		1		1
					P		A A A				= C		3					=
					P		A A A				= C			C		3	3!	=
							1	2	3					C			3!	3!
							1	2	3
1 i		i	i	n											n
	1	2	3												n

Аналогично доказывается,

	(	)		1		1		1
=	3! n −3		!		=				,
=	n!			3!	=	C	3	3!	,
							3
							n
							n

что для любого k 1, n

	P(Ai1	...Aik )=	1	.

1 i ... i n			k !
1 k

Следовательно: P (A) =1−	1	+	1	−	1	+... + (−1)	n−1	1	.
	2!		3!		4!			n!

Рассмотрим разложение по формуле Тейлора функции экспонента:

exp x = e

=1+ x +

+... +

+ o (x

e−1 =1−1+

−

−... +

(

)

n 1

( )

−1

+ o 1

Следовательно, P (A) =1− e

−1

+ o(1)

=1− 0,63

P (A)+

;

(1)

P (A)

→1− n→

e	−1

Рассмотрим случайный игральных костей. Пусть

эксперимент,
=	(		)
=		i, j		: i, j 1,

состоящий	в бросании двух
...,6 , = 36.

Рассмотрим события A, заключающееся в том, что на первом кубике выпала четная грань, и B, заключающееся в том, что сумма i + j номеров выпавших граней равна 8.

P (w) = P ((i, j )) =
P (A) =	A	=	18	=
			36

P (B) =	B	=	5	=
			36

Пусть P (A | B)

1		для любых i, j 1,6	,
36		для любых i, j 1,6	,
36
1	,
2	,
2
1	.
6	.
6

- условная вероятность события A, при условии, что

произошло B = (2,6),(3,5

событие B.

),(4, 4),(5,3),(6,

Если рассмотреть в явном виде событие 2) , то легко можно прийти к выводу, что

P (A | B) = 53 .

Определение.

пространство,

Пусть	( , A, P)- произвольное вероятностное
A, B A, P (B) 0. Тогда условной вероятностью A при

условии

P (A | B) =

того, что событие B наступило, называется дробь:

	P (AB)	.
	P (B)	.
	P (B)

Условная вероятность обозначается и так:

P (A /

)

Ранее упоминалось, что формула включения-исключения называется еще и теоремой о сложении вероятностей. Рассмотрим два равенства.

Если P ( ) 0

и P ( | ) =

P ( ) = P ( )P (A | B).

Если P ( ) 0 и P (B | A) =

P ( )

P ( ) , то

P ( )

P (A) , то

P ( ) = P ( )P (B | A).

Эти две итоговые формулы часто называют вероятностей при условии, что P ( ) 0 и P ( )

теоремами умножения

Теорема (об умножении вероятностей). Пусть дано произвольное

вероятностное пространство

(

)

таких, что

, A, P

и набор событий ...

P ( 1... n ) 0

. Тогда

| 1 2 .. n−1 ).

= P ( 1 ) P ( 2

| 1 ) P ( 3 |

1 2 ) ... P ( n

i=1

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если ( ) = ( ) ( ), т.е. вероятность пересечения событий равна

произведению вероятностей событий.

По теореме о произведении вероятностей

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ),

если

( ) 0 и ( ) 0 .

Если

события

–

независимы,

то

( ) ( ) = ( ) ( ) и

( ) = ( ), т.е. безусловная вероятность совпадает с условной.

Аналогично показывается, что ( ) = ( ).

Определение.

Случайные

события

1 … n A

называют

попарно

независимыми, если i,

j 1, n , i j , верно равенство ( i j

)= ( i ) ( j )

Определение. Случайные события

… n A называют независимыми

совокупности,

если

( i

)= ( i ) ( i )

для

всех

i1 i2 ,

i3 )

i1 )

)

i3 )

для

всех

i ,

т.д.,

(

( 1 2 .. n ) = ( 1 ) ( 2 ).. ( n ).

Из независимости в совокупности следует попарная независимость, но обратное утверждение не верно.

Пример (пример Бернштейна). Рассмотрим в качестве эксперимента бросание на плоскость симметричного и однородного тетраэдра (треугольной пирамиды с четырьмя гранями).

Все грани раскрашены: первая грань - в красный, вторая - в зеленый, третья - в желтый цвет, а на четвертой есть все три цвета. Рассмотрим события к заключающееся в том, что выпала грань, содержащая

красный цвет,

	з

- содержащая зеленый цвет,

	ж

- содержащая желтый

цвет.

Пусть = к , з , ж , кжз . Тогда

к = к , кжз , ж = ж , кжз , з = з , кжз .

Пусть для всех вероятность будет равна ( ) = 14 . Тогда

( к ) = ( ж ) = ( з ) =										1		,
( к ) = ( ж ) = ( з ) =										2		,
										2
(			)				=	1	=		(				)	=	(			)	=
(			)								(				)		(			)
	к	ж		=	кжз									ж					з
	к	ж			кжз			4					з	ж				к	з
								4
= ( к ) ( ж ) = ( з ) ( ж ) = ( к ) ( з ).
Мы получили,						что			к , ж , з							- независимы попарно, но не являются

независимыми в совокупности, так как

(				)			=	1	(		)	(		)	(
(				)					(		)	(		)	(
		ж	з		=	кжз				к			ж			з
	к	ж	з			кжз		4		к			ж			з
								4

Утверждение. Если события А и В – события А и В .

) =	1	.
	8

независимы, то независимы и

Доказательство.

( )= (

( \ )) = ( \ ) = ( )− ( ) =

= ( )− ( ) = ( )− ( ) ( ) = ( )(1− ( ))= ( ) ( ).

Утверждение доказано.

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.20269.06 Mб0Панков все лекции для ИИ.pdf
#
11.05.20261.2 Mб0Панков Практикум по ТВиМС 21.12.pdf