КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Лекция № 9
Функции от случайных величин. Свойства числовых характеристик функций случайных величин
Рассмотрим некоторую случайную величину |
|
и случайную величину |
|
= |
( |
|
) , где (x): |
→ - некоторая функция. |
|
|
|
|
|
|
Требуется вычислить математическое ожидание случайной величины
|
, если известно распределение случайной величины |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение. Пусть |
xi |
,i |
|
- случайная величина дискретного |
|
|
|
|
P (xi ) |
|
|
|
|
|
типа с математическим ожиданием |
E |
, |
|
( |
x |
) |
- произвольная функция, |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
E ( ) = |
|
|
x |
: |
→ |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Ясно, что с распределением
будет дискретной случайной величиной
|
y j |
, j |
|
|
|
|
|
|
|
. |
P ( ( ) = y j ) |
|
|
Имеем
I ( )
|
|
( |
|
) |
|
|
+ |
|
( ) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
= |
|
|
|
zp |
|
|
|
z |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
( |
|
|
|
( |
|
)) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
= |
|
|
zp |
|
|
|
|
|
z |
|
d |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
( |
|
)) |
|
d ( |
−1 |
(z)) |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
zp |
|
|
z |
|
|
|
|
|
dz = |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = (x) |
|
|
−1 |
( |
z |
) |
= |
−1 |
|
( |
x |
)) |
= x |
|
d ( |
|
|
(z)) = dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем замену |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
, и пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
+ |
|
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования не изменяются. Значит, |
E |
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
p |
x |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение доказано.
Теорема (неравенство Чебышева). Пусть дано вероятностное пространство ( , A, P) = ( ) - неотрицательная случайная величина.
Доказательство. Рассмотрим две индикаторные случайные величины - и I ( ) . Очевидно, что для любого
означает тождественное равенство.
Очевидна следующая цепочка неравенств:
= 1 = (I ( ) + I ( )) = I ( )+ I ( )
I ( )
Следовательно, по
E E ( I ( )) = E (I E P ( )
I ( ) .
свойствам математического ожидания
) = P ( ) ,
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Следствие к данной теореме докажите самостоятельно.
Следствие. Для любой случайной величины произвольном вероятностном пространстве следующие неравенства
(
(
3. (классическая форма неравенства Чебышева) Для любой случайной величины, дисперсия которой определена, верно
|
P ( − E ) |
D |
|
|
|
неравенство |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. (неравенство трех |
|
сигм) Для любой случайной величины |
|
, |
|
|
дисперсия которой |
D |
положительна, а среднеквадратичное |
отклонение равно , верно неравенство |
|
|
P (
− E 
3 ) 89 0,888
