Добавил:

slavapmk study@slavapmk.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Панков все лекции для ИИ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2026

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 8

Числовые характеристики случайных векторов. Ковариация и коэффициент корреляции.

Двумерное нормальное распределение

На прошлой лекции было введено понятие независимости случайных величин.

Теорема (о математическом ожидании произведения независимых случайных величин с доказательством для дискретного пространства элементарных событий).

Если - независимы и существуют

Доказательство.

и E

, то

E ( ) =

Пусть даны дискретные случайные величины

с таблицами

распределения

соответственно.

, j

(

)

(

)

тоже дискретная случайная величина и

, k

P( = z

)

E = zk P ( = zk

P ( = xi

)

, = y j )

(

)

(

) i

(k )

i, j :x

Тогда
	. Имеем
	. Имеем

(

i )

(

j )

(

i )

(

j )

= x

P = y

= x

P = y

(k )

(i, j ):x

(k )

(i, j ):x

	i		j		(
=	x	y		P
	(i, j )

i )		(		j )		i	(
= x	P		y = y		=	x P
						(i )

i )	i	(
= x	y P =
	( j )

y	j	)=
	j

E E .

Теорема доказана.

С помощью принципа математической индукции можно доказать, что эта теорема верны для любого натурального количества случайных величин.

Теорема (о свойствах дисперсии суммы независимых случайных

величин). Если

дисперсиями	D	,
	1

	,
1
D	2

	2

, то

(

- независимые случайные величины с

	+	) = D	+ D	2 .
1	2	1		2 .

Доказательство. При доказательстве используем свойства математического ожидания независимых случайных величин:

D ( 1 + 2 )2 = E ( 1 + 2 ) − E ( 1 + 2 )2 =

=E (( 1 − E 1 ) + ( 2 − E 2 ))2 = E ( 1 − E 1 )2 +

+E ( 2 − E 2 )2 − 2 E ( 1 − E 1 )( 2 − E 2 ) =

=D 1 + D 2 − 2 E ( 1 2 − 1 E 2 − 2 E 1 + E 1 E 2 ) =

= =

D + D		2	− 2(E	2	− E
1			1				1
D + D	2		− 2(2 E E			2	− 2
1			1

E	2	− E		2	E +
	2			2	1
E		E	) = D +
1		2			1

E
1
D	2

E	) =
2

Теорема доказана.

Примеры (вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины).

Пусть

сумму

	i	. Мы можем представить эту случайную величину как
	B (n, p)

независимых и одинаково распределенных случайных величин

=	+	2
1		2

+... +	n

, где i - индикатор того, что в i-м испытании произошел

успех.

Тогда мы получаем:

E D

= E + E			2	+... + E			n	=
	1
= D	+ D	2	+... + D		n	= np
1

(
1	−

npq

Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин

Определение. Ковариацией двух случайных величин называется величина

(

)

(

)(

)

cov

= E

− E − E

= E − E E

Докажите самостоятельно, что для любых случайных величин

верно равенство:

D( + ) = D + D − 2cov ( , ).

Покажите,

что если случайные величины

независимы, то

cov(	,	2	)
1		2

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин



и

( , ) =

с конечной дисперсией называется величина

(		)		(		)(	)		E − E E
cov	,		=	E	− E	− E		=		.
D D			=		D D			=	D D

Полезно знать, что операция вычитания математического ожидания из случайной величины называется её центрированием, а процесс деления на корень из дисперсии – нормированием. Это связано с тем, что после того, как над любой случайной величиной проделать обе эти операции, то получим величину со средним 0 и дисперсией 1. Проверьте это самостоятельно.

Теорема (о свойствах коэффициента корреляции). Для

произвольных случайных величин верно:

с ненулевой дисперсией

1.если и

2.для любых

независимы, то ( , ) = 0 ; вещественных a и b верно равенство

	( + a, +b) = ( , );
3.	( , ) 1	.

Доказательство. Первое свойство, очевидно, получается из свойств математического ожидания.

Для доказательства второго свойства достаточно произвести следующие преобразования:

(

)

(

))(

cov

+ a, + b

= E

+ a − E

+ a

+ b

(

)(

)

(

)

= E

− E

= cov

Согласно свойствам дисперсии

− E ( +

D( + a)

)) =

D	,	D + b	)	= D	. Следовательно,
		(

( + a, + b) =	cov ( + a, + b)
	D + a	D + b

=cov ( , )

D D

( , )

Для доказательства третьего свойства используем неравенство КошиБуняковского:

				E − E					− E			2	(			(	− E			)(
( ( , ))		2		=	(				)(		)	2			E		− E				− E
( ( , ))		2		=	(				)(		)
								D D										D D
								D D										D D

	(					)	2	(	)	2		D D
	E		− E				2	E − E		2	=							= 1	.
					D D						=	D D						= 1


Следовательно, ( ( , ))														2			1 и				(	,
																						,

)

))2

Теорема доказана. Следствие (без доказательства). Модуль коэффициента корреляции

двух случайных величин		и		равен 1 тогда и только

существуют вещественные числа a 0

и c такие, что P ( = a


При этом константа		a	и ( , ) имеют одинаковый знак, т.е.
При этом константа			и ( , ) имеют одинаковый знак, т.е.
( , ) =1, а если a 0	, то		( , ) = −1 .

тогда, когда

+ c) =1	.

если a 0 , то

Определение. Если	( , ) = 0	, то

называются некоррелированными.

случайные величины и

Все независимые случайные величины согласно первому пункту предыдущей теоремы некоррелированы, но не все некоррелированные величины независимы. Это доказывает следующий пример.

	−1	0	1
Пример. Пусть дана следующая случайная величина.		1 / 3		.
	1 / 3	1 / 3	1 / 3

Очевидно, что

D 0

(покажите это самостоятельно).

Пусть	=	2	. Тогда					0	1	. Покажите, что
								0	1

							1 / 3		2 / 3
Так как = 3				= , то E = 0 , следовательно,
( , ) =	E − E E				= 0	.
	D D					.

Мы получили, что величины		и

они не являются независимыми.

некоррелированны. Докажите, что

Определение. Случайный

нормальное распределение,

						1		−	(
								1
p	(x	,..., x	) =			n	e	2
	1	n		(	2 )	n	det
				(	2 )		det


	вектор					= ( 1,..., n ) имеет n–мерное
если его плотность имеет вид
		T	−1
		)				)
x	−			(x	−

где

x = ... - вектор-столбец,

(a		)
		T

- транспонированный вектор

a

det - определитель	матрицы				, =	cov ( i , j ) n n - ковариационная
матрица вектора	1	n		, составленная из попарных ковариаций
	= (	,...,	)

				(	)
случайных величин		,...,	n ,		T			)	- вектор математических
случайных величин	1		n ,			1	n		- вектор математических
						= (E	,..., E

ожиданий случайных величин 1 , …, n .

Для этого распределения используется обозначение

= (	,...,	n
1		n

Матрицу

)

N ( , ).

еще обозначают как

cov (		,

)

Определение. Пусть

Z	m n

	ij	m n

- матрица размеров

m n

с элементами –

случайными	величинами				ij	с	конечными	математическими
случайными	величинами					с	конечными	математическими

ожиданиями	E ij + .	Тогда				по	определению	математическим
ожиданием	матрицы	Z	m n	называется матрица,				составленная из
		Z

математических ожиданий её элементов:

E Z = E ij m n .

Докажите самостоятельно, что

1). если

D =

A Z B + C

, где A, B, C –подходящие по размеру числовые

матрицы, то

E D =

A (E Z ) B

+ C

;

2). верно равенство

= cov( , ) = E ( − E ) ( − E )T .

Теперь рассмотрим случай, когда нормальное распределение.

т.е. рассмотрим двумерное

Пусть

=12

(	,	2	)
1		2
= D
		1

E = (
= D	2

1	2	, где
	, )

, тогда

E 1

= E	2

cov (	,	2
1		2

= 1

1 2

) = (			,	2	)
		1		2
	2
1	2	, где
	2	, где
	2
2

D	D	2
1		2

( 1, 2 )

=1 2

(		,	2	)
	1		2

Легко вычислить, что

det =			−			=
	2	2	2	2	2	2	2
1		2	1	2		1	2

(
1	−

)

Следовательно, используя алгебраические методы, можно найти, что

	−1	=						1
	−1
					2		2		1 − 2			)
				1		2		(				)
						1				−
		1					2			−
							2
=
=							1				1		2
1 −							1				1		2
1 −			2								1
			2
					−

									2			2
							1		2			2

	2	−
	2	1			2	=
	2	1			2
−				2
				2
1	2		1



.

Тогда

	1			T							1				(x		− )
																			2
−		(x	−	)	−1	(x	−	)= −								1		1		−
−		(x	−	)		(x	−	)= −		(				)						−
	2									(	−		2	)				2
	2									2 1	−		2					2
																	1
							−2		(x	− )(x				−		)	+	(x	−		)	2
							−2		1	1			2		2		+	2		2
									1	1			2		2			2		2
																				2
																				2
											1	2								2

Следовательно, плотность двумерного нормального распределения имеет вид:

p	(x	, x
	1	2

при 1

) = 2

0 ,		2

	1
	2
1	2

1 − 2

,
,

			1			(x		− )
exp −									2	−
exp −			(		)		1		1	−
							1		1
									1
			2 1 −	2					2

		(x1 − 1 )(x2			− 2 )			(x2 − 2 )2			,
−2			1 2				+		22		,

1	.
	.

Если

, то плотность не определена.

Для двумерного нормального

следующее обозначение:	= (	,	2
	1

распределения иногда используют

)	N (	,	,		2	,		2	, )
					2			2
	1	2		1			2

Утверждение (без доказательства).

случайные величины	1	1	,	2	)	и	2	~ N
				1
		~ N (

(

Если

2	,	2	2	)	,

даны две нормальные то они независимы тогда

итолько тогда, когда их коэффициент корреляции равен нулю, т.е.

( 1, 2 ) = 0 .

Докажите самостоятельно следующее

Утверждение. Если дан случайный вектор

компоненты его нормальны:		~ N (	,		2	)	,			~
компоненты его нормальны:	1	1		1			,		2

= ( 1, 2

N (	,	2
		2
2	2

) N ( 1, 2 , 12 , 22 , ) , то

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.20269.06 Mб0Панков все лекции для ИИ.pdf
#
11.05.20261.2 Mб0Панков Практикум по ТВиМС 21.12.pdf