Добавил:

slavapmk study@slavapmk.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Панков все лекции для ИИ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2026

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция № 4

Случайные величины. Функция и плотность распределения

вероятностей, их свойства.

Рассмотрим произвольное вероятностное пространство

( ,

A, )

Введем понятие, призванное формально определить величины, подлежащие «измерению» в случайных экспериментах.

Определение.		Случайной величиной	называется функция
= (w): →	,	заданная на пространстве	элементарных событий ,

принимающая значения в и удовлетворяющая условию, что для любого вещественного х множество w : (w) x является событием,

т.е. w : (w) x A .

Пример: Пусть случайный эксперимент состоит в двукратном подбрасывании монеты: = 00,10,01,11 .

Определим случайную величину

с помощью таблицы

( )

Здесь число ( )

00	10	01	11
0	1	1	2

означает число гербов в элементарном исходе.

Другим простейшим примером случайной индикатор наступления некоторого события А

величиной

A: ( ) =

( )

является = I (A), где

1,
		.
( ) =		.
0,

Определение. Функцией распределения случайной

называется функция F (x):	→ , равная
F (x) = P( : ( ) x )= P( x).
Теорема (о свойствах	функции распределения).

величины

Для любой

случайной величины

верно:

0 F

(x) 1

для любых

;

2.	F (x) - неубывающая функция на ;
3.	lim F (x) = 0, lim F (x) =1;
	x→−	x→+

4. F (x0 ) непрерывна слева в любой точке x0 , т. е.

lim x→x0 −0

F 0

) = F	(x	)
	0
0 : x (

или

x	− , x	) F	(x)− F
0	0

(x	)
0

Доказательство:
1. Свойство 1 следует из определения								F (x) и свойств вероятностной
меры.
2. Пункт		2	следует		из		того,	что	если	x1 x2 ,	то
: ( ) x1			: ( ) x2			и, следовательно, P ( x1 ) P ( x2 ).
3. Так как F (x)			- неубывающая и ограниченная функция, то существуют
пределы: lim F			(x) = b, и lim F (x) = а . Требуется доказать, что b =1 и а = 0 .
	x→+			x→−
Пусть	n	= −n n ,		n	,	-	возрастающая		последовательность
событий и			= . По следствию к теореме непрерывности
событий и		n	= . По следствию к теореме непрерывности
		n=1
1 = ( ) = lim P ( n ) = lim P ( n n −						n	−n ) =
	n→		n→

= lim	(	(	n	)	(	−n	))	= lim	(	(
= lim			n		−	−n		= lim		F
n→								n→
Так как 0 F (x) 1, то							0 а 1			и

Теперь, учитывая равенство b

n)− F (−n))= b − а.

0 b 1.

− а =1, получаем, что

, и

b =1.

4. Для	любого вещественного			x0	рассмотрим возрастающую
последовательность x1 x2		x3	... xn	xn+1 ... x0 такую, что lim xn		= x0 .
					n→
Пусть Bn	= : ( ) xn ,	n	, - последовательность событий.			Легко

видеть, что

B1 B2

...

....

Следовательно,

условия теоремы непрерывности.

мы опять попадаем в


			=
lim B			=	B	=	:
n→	n			n
n→			n=1
			n=1
				= lim (Bn ),

		Bn
n=1				n→

F (x0 ) = ( : ( )

( ) x0

x0 )=

lim (Bn ) =

n→

= lim ( : ( ) n→

xn )

= lim F	(x	) =
n→	n
n→

lim F
x→x	−0
0

(

)

Так как это выполняется для любой возрастающей последовательности xn , сходящейся к x0 , то существует предел слева (мы применили определение предела по Гейне).

Утверждение.

Теорема доказана.

lim F		(x) = F	(x	)+ ( = x	)
x→x	+0		0	0
0

Доказательство: Рассмотрим

событий			x0 +	1
	Сn = x0			, n
				n
С1 C2 ... Cn		... = x0		,

убывающую последовательность

Так как = x0 = Cn , то, по теореме непрерывности,

n=1

= x

= lim

−

(

n )

0 )

n→0

n→

= lim

F x

− F

lim

− F

n→

(

0 )

x→x

(

0 )

(

0 )

Утверждение доказано.

Свойства функции распределения график:

F	(x)

позволяют построить ее

В каждой точке разрыва x0 функция распределения F	(x) имеет разрыв
первого рода. Значение функцииF (x) в точке x0	разрыва равно
пределу функции F (x) при x , стремящемся к точке x0	слева.

Функция распределения F (x) имеет не более чем счетное число точек разрыва (конечное либо счетное).

Случайные величины дискретного типа Определение. Если случайная величина принимает конечное либо счетное число значений, то функцию F (x) называют функцией распределения дискретного типа, а случайную величину называют случайной величиной дискретного типа.

Рассмотрим случайную величину дискретного типа . Ее возможное значение обозначим через xk , k =1, 2,... так, что pk = P ( = xk ), k =1, 2,...,pk =1, pk 0. Распределение такой случайной величины изображают

(k )

в виде таблицы, называемой таблицей распределения:

x		x ...
	1	2
	p	p ...

	1	2

	x ...
	n
	p ...
	p ...
	n

или

x		i
	i

	p

	i

 

В верхней части таблицы перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке соответствующие вероятности этих значений.

Функция распределения случайной величины дискретного типа имеет вид:

F (x) = P ( x) = pk

k:xk x

Абсолютно непрерывные распределения Определение. Функцию F (x) называют абсолютно непрерывной,

соответствующую случайную величину

величиной абсолютно непрерывного

неотрицательная функция p (x) такая, что

называют

типа, если

случайной

существует

(		)		x
(		)	=
F	x		=		p
				−

(

z )dz

При этом функцию случайной величины .

p	(x)

называют плотностью распределения

Утверждение (о свойствах плотности p (x)). Для любой абсолютно непрерывной случайной величины верны свойства:

1) p (x) 0 для любого

2) p (x)dx =1,

−

3)	p (x)
4)	P

		dF (x
	=
	=	dx
		dx
	а,b) =

)	,

где х – точка непрерывности

b (b)− F (а) = p (x)dx =

(

)

= P( (а,b)) = P ( (а,b ) = P ( а,b ).

Следствие. Для любой абсолютно непрерывной случайной величиныи для любого a верно равенство

	=
a

Докажите это утверждение и следствие самостоятельно.

Рассмотрим случай преобразования случайной величины функцией распределения F (x) и плотностью p (x)

Утверждение.

Пусть

= ( )

;

где

(x)

строго

возрастающая

непрерывная функция

→

- произвольная случайная величина

с функцией распределения F (x). Тогда F (x) = F (

−1

(x)).

Доказательство. Очевидна следующая цепочка равенств:

F (x) = P( x) = P( ( ) x) = P(

−1

(x))= F (

−1

(x)).

Утверждение доказано.

Утверждение.

Пусть

случайная величина, плотность

распределения которой

p (x),

→

строго

возрастающая и

непрерывная функция с положительной производной

d (x)

для

любого

x .

Тогда

случайная

величина

= ( )

также

имеет

(

)

d (

−1

(x))

плотность p x

и справедливо равенство p

(x) = p

(

−1

(x))

Доказательство. Из предыдущего утверждения получаем

			−1	(x)
			−1
F (x) = F (	−1	(x))=			p (t )dt .
F (x) = F (		(x))=			p (t )dt .

			−

Сделаем замену переменной в этом интеграле:

Имеем t =	−1	(z ). Тогда

F (x) = x	p ( −1 (z ))		d ( −1 (z ))	dz .

−			dz

)

				d (	−1	(z ))
					−1
Отсюда получаем, что функция	p (z ) = p (	−1	(z ))				является
Отсюда получаем, что функция	p (z ) = p (		(z ))	dz			является
				dz

плотностью распределения случайной вероятности .

Утверждение доказано. Пример. Линейное преобразование случайной величины.

Рассмотрим случайную величину = a + b , где

и b

- некоторые

вещественные

константы,

- случайная величина с функцией

распределения F (x) и плотностью p (x).

F (x) = P ( x) = P (а + b x) = P (a x − b).

Пусть a 0 . Тогда

F (x) = P (a x − b)

x − b

= P

= F

x − b

х − b

dF (x)

p (x) =

а dF (y )

x−b

p (y )

х − b

x−b =

Пусть a 0. Тогда

(

)

= P

(

a x − b

)

= P

x − b

=1− P

x − b

=1− P

x − b

− P

х − b

− F

х − b

− P

х −

1− P

х − b

− F

х − b

)

(x)

(

= −

p (

Объединяя оба этих случая, получаем, что при

b	,
	,

y )	y=	x−b
	y=	а
		а

а 0

=− 1 p

 

х− b

 

	1		х − b
p (x) =		p		.
	a
			а
При а = 0	получаем, что = b. В этом случае случайная величина				не

имеет плотности распределения, а график её функции распределения имеет вид

(	x	)	=	0,
(		)
F				1,

x x



b b

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.20269.06 Mб0Панков все лекции для ИИ.pdf
#
11.05.20261.2 Mб0Панков Практикум по ТВиМС 21.12.pdf