КАФЕДРА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Лекция № 1
Алгебра событий. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
Классическая вероятностная схема.
Любое наше взаимодействие с окружающей средой и другими людьми можно рассматривать как эксперимент с теми или иными исходами. Следует различать детерминированный эксперимент - результат которого можно заранее и обдуманно предсказать, и случайный эксперимент - тот, результат которого заранее, вообще говоря, предсказать нельзя.
Пример. Результат бросания монеты, игральной кости.
Определение. Множество всех возможных исходов (омега малое) случайного эксперимента называется пространством элементарных событий и обозначается (омега большое); возможные исходы
эксперимента - |
, лежащие в пространстве элементарных событий, |
, называют |
элементарными событиями или элементарными |
исходами. |
|
Водном и том же эксперименте пространство элементарных событий
мы можем выбрать по-разному, в зависимости от решаемой задачи.
Пространство элементарных событий определено в общем случае неоднозначно.
Пример. При броске игрального кубика пространство элементарных событий можно выбрать и как = 1, 2,3, 4,5,6 , и как = even,odd , где even
- выпадение четной грани кубика, а odd - нечетной. |
|
|
Определение. Пространство элементарных событий |
|
называется |
дискретным, если оно не более, чем счетно (конечно или счетно). Примеры. 1. Эксперимент заключается в бросании монеты до
появления первой решки. ={Р,ГР,ГГР,ГГГР… }, где |
- случай, когда |
решка вообще не появится, - пример дискретного пространства элементарных событий.
2. Эксперимент заключается в том, что в единичном круге на
декартовой |
плоскости |
наугад |
выбирается |
точка. |
Тогда |
||||||
|
|
|
) |
: x2 |
+ y2 |
|
- пример не |
дискретного |
пространства |
||
= |
( |
x, y |
1 |
||||||||
|
|
||||||||||
элементарных событий.
Определение. Класс A (а готическое) алгеброй (сигма-алгеброй) или выполняются следующие условия:
подмножеств
-алгеброй
называется -
событий, если
1. |
A . |
|
|
|
2. |
A A A = \ A A. |
|
|
|
3. |
для любых Ai A , |
i ,(бесконечного набора множеств из |
A), |
|
|
|
|
|
|
выполнено условие |
Ai A . |
|
||
|
|
i=1 |
|
|
Примеры. 1. A1 = , |
- -алгебра (требуется доказать самостоятельно.) |
|||
2. |
Если A A |
- непустое событие, A A, то можно рассмотреть класс |
||
A2 |
= , A, A, |
Докажите самостоятельно, что это -алгебра. |
|
|
Утверждение. Если |
A |
- |
-алгебра, то если |
A B A , A \ B A. |
|
|
|
Докажите это утверждение самостоятельно.
A
A
,
B A
то
A
B
A
,
Пример. Пусть - пространство элементарных событий. Тогда P( ) (пэ
готическое) множество всех подмножеств множества - |
-алгебра. |
|||
Определение. Пусть нам дан элемент -алгебры A A , |
A . Тогда А |
|||
называется случайным событием. |
|
|||
Пример. Рассмотрим бросание игрального кубика. Пусть |
|
|||
= 1, 2,3, 4,5,6 , A = P( ). |
|
|
|
|
Тогда A = 1,3,5 A |
- случайное |
событие, состоящее в |
выпадении |
|
нечетной грани, |
B = 5,6 A |
- |
случайное событие, |
состоящее в |
выпадении грани, большей четырех.
Определение. Пусть A A - случайное событие. Говорят, что событие A
наступило или произошло в результате эксперимента, если эксперимент завершился элементарным событием , принадлежащим А, т.е. A.
Пример. Пусть в условиях предыдущего примера мы получим = 3 |
, |
следовательно, событие A = 1,3,5 произошло, B = 5, 6 - не произошло.
Определение.
событием, так эксперимента.
как |
элемент -алгебры называется достоверным |
|
как |
|
происходит при каждом осуществлении |
Определение. A называется невозможным событием, так как может наступить ни при каком исходе эксперимента.
Пусть A A, B A - случайные события.
не
Определение. Говорят, что А влечет за собой В, если
A
B
:
Определение. Событие С называют объединением А и В, если С наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А или событие В:
C = A B = A + B = : ( A) ( B) .
Определение. Событие С называют пересечением А и В, если событие С наступает тогда и только тогда, когда наступает событие А и событие В:
|
|
( |
) |
( |
|
C = A B = A B = AB = |
: |
A |
|
|
|
Определение. Событие С называют наступает тогда и только тогда, когда не наступает:
B) .
разностью А и В, если событие С наступает событие А, а событие В
C =
A \ B =
A − B
|
( |
|
= : |
|
|
A) (
B
)
.
Обратим внимание, что при действиях над случайными событиями в теории вероятностей зачастую вместо обозначений операций над множествами используются алгебраические обозначения.
Определение. Событие A = \ A называют противоположным событию А или событием «не А». Оно наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает:
A = \ A = :
Определение.
A .
События А и В называют несовместными, если
AB
=
.
Определение. События A1,..., An
если для любых i, j 1, n таких, что
называют попарно несовместными,
i j , выполняется Ai |
Aj |
= . |
Определение. Пусть дано пространство элементарных событий |
|
|||
нем задана |
-алгебра событий |
A. Рассмотрим функцию |
P : A → |
|
свойствами: |
|
|
|
|
,на
со
1.
2.
P ( ) =1 P (A) 0
(свойство или аксиома нормированности);
для любого события |
A A |
(свойство или аксиома |
неотрицательности); 3. Для любых попарно несовместных событий
|
|
|
= , |
выполняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
A |
j |
P |
|
|
A |
|
= P (A ) |
||
i |
|
|
|
|
|
i |
i |
|||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
аддитивности).
A |
, |
1 |
|
A2 ,..., An ,..., т.е.
(аксиома
таких, что
счетной
Данная функция называется счетно-аддитивной вероятностной
или вероятностной функцией, определенной на сигма-алгебре
мерой
A.
Для любого события
случайного события A.
A A
значение
P (A)
называется вероятностью
Теперь мы можем рассмотреть объект
( , A,
P
)
.
Назовем его
вероятностным пространством (вероятностной тройкой).
( , A, P)
- вероятностная модель случайного эксперимента.
Пример. Пусть происходит бросание монеты.
= 1,0 , A = P( ) = , 0 , 1 , . |
|
|||||
Зададим P ( 1 ) = |
1 |
; P ( 0 ) = |
1 |
, P ( ) = 0 |
, P ( ) =1. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
Несложно убедиться, что это – вероятностная функция. Она соответствует бросанию симметричной монеты.
Но вероятностную меру можно задать и другим способом, например,
P ( 1 ) = 13 , P ( 0 ) = 23 ;
P ( )
=
0
,
P ( )
=
1
. Эта функция соответствует одному
из вариантов несимметричной монеты.
Выбор модели – вопрос не теории вероятностей, а математической статистики, т.е. практики.
Как задается вероятностная мера в случае дискретного пространства элементарных событий?
Рассмотрим =
Пусть P (wi ) = pi
Для любого
P (A) = P (wi ) =
w1, w2 ,..., wn ,... , A = P |
|
|
|
, при этом pi =1 |
|
|
i=1 |
A A |
такого, |
pi . При этом
( ). |
|
и pi |
0 |
что
для любого натурального i .
A = |
|
i1 |
ik |
|
определим |
|
w ,..., w ,... |
||||
i:wi A |
i:wi A |
( |
|
) |
|
|
( |
i ) |
|
|
|
|
= |
= |
i |
||||||
P |
|
|
|
P |
w |
p |
|||
|
|
|
|
i:w |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
=
1
.
Т.к.
P (A
pi )
0
0
.
, то для любого
A A выполняется свойство
Поэтому, чтобы задать вероятностную меру в случае дискретного пространства элементарных событий, достаточно задать вероятности элементарных событий.
Пример. Бросаем кубик. = 1, 2,...,6 , A = P(
Это – модель подбрасывания симметричного
), |
P ( i ) = |
1 |
для всех i 1, |
|
6 |
||||
|
|
|
(правильного) кубика.
6
.
A – событие, состоящее в выпадении нечётной грани.
P (A) = P ( 1 )+ P ( 3 )+ P ( 5 ) = 12 .
A
=
1,
3,
5
.
Другая модель: |
p (i) = |
i |
; |
i 1, 6. Это – модель подбрасывания, |
|
21 |
|||||
|
|
|
|
||
соответствующая одному из вариантов несимметричного кубика |
|||||
Теперь рассмотрим частный случай дискретного пространства
элементарных событий. Пусть оно конечно, т.е. ; пусть A = P( ), |
|||
= n. Положим P (wi ) = |
1 |
для всех i 1, n. Легко видеть, что свойства 1 и 2 |
|
n |
|||
|
|
||
из определения вероятностной функции выполняются. Такая вероятностная функция соответствует эксперименту с равновозможными исходами.
Пусть у нас имеется случайное событие Тогда
P (A) = P (wik )= m |
= A . |
|||
m |
|
|
|
|
k =1 |
n |
|
|
|
A
A
,
A = wi1 , wi2 ,..., wim , т.е. 
A
=
m
.
Такой способ задания вероятностной функции называется
классическим определением вероятности.
Определение.
событие А
Элементарное событие |
w, входящее |
в случайное |
|
(w A) |
называется |
элементарным |
событием, |
благоприятствующим А.
По классическому определению вероятности, вероятность случайного события А есть дробь, в числителе которой стоит количество элементарных событий, благоприятствующих событию А, а в знаменателе – количество всех элементарных событий.
Решая комбинаторно-вероятностные задачи, следует пользоваться именно этой вероятностной моделью. При решении таких задач нужно использовать следующую последовательность действий:
1. описание пространства элементарных событий |
|
(обычно задача |
сводится к определению типа выборки из генеральной совокупности);
к примеру = ( 1,..., k ), i 1, n, i j ;
2. нахождение мощности
в нашем примере = Ak n
;
3. описание события |
S , вероятность которого требуется найти (либо |
математическое описание, либо словесное, в случае, когда математическая запись будет слишком громоздка), при этом, так как
S , то повторять те свойства, которые уже описаны в первом пункте |
|||||
не требуется; |
|
|
|||
к примеру, |
S = 1 =1, k = n , |
|
|
||
S ={среди выбранных ботинок отсутствуют парные}; |
|||||
4. |
нахождение мощности S ; |
|
|
||
5. |
нахождение вероятности события S : P (S ) = |
S |
. |
||
|
|||||
|
|
|
|
||
Теорема (простейшие свойства вероятностей). Пусть ( , A, P) - |
|||||
произвольное вероятностное пространство. Тогда для любых выполняются свойства:
1. P(A)=1− P(A),
A, B A
2. |
P ( ) = 0, |
||
3. |
Если A B, то P (B \ A) = P (B |
||
4. |
Если A B, то P (A) P (B), |
||
5. |
P (A |
B) = P (A)+ P (B)− P (AB |
|
P (A |
B |
C ) = P (A)+ P (B)+ P (C ) |
|
−P (AC )− P (BC )+ P (ABC ), |
|||
)− P
), − P (
(A),
AB)− P (AC )− P (BC )+ P (ABC )
Если AB = ;то P (A B) = P (A)+ P (B).
Доказательство.
1. |
A |
A = , A |
A = |
Докажем
, P ( ) =
последовательно, по пунктам.
1.
По свойству нормированности 1 = P( ) = P (A A) = P (A)+ P (A) P (A)
2. = , = ,
=1−
P (
A)
.
1 = P ( ) = P ( ) = P ( )+ P ( ) =1+ P ( )
P ( ) =1−1 = 0. |
|||
3.B = A |
(B \ A), A |
(B \ A) = |
|
P(B) = P(A |
(B \ A)) = P (A)+ |
||
P (B \ A) = P (B)− P (A). |
|||
4. P (A) = P (B)− P (B \ A), |
|||
P (B \ A) 0 P (A) P (B). |
|||
, P (B \ A)
5. |
A |
B можно представить в виде объединения попарно несовместных |
событий:
A |
B = (A \ AB) |
где A \ AB A,
(B \ AB)
B \ AB B ,
(AB),
AB A, AB B. Тогда
P (A |
B) = P (A − AB)+ P (B − AB)+ P (AB) = |
= P (A)− P (AB)+ P (B)− P (AB)+ P (AB) =
= P (A)+
Формула
P (B)−
P (
AB
)
.
P (A B C ) = P (A)+ P (B)+ P (C )− P (AB)− −P (AC )− P (BC )+ P (ABC ) доказывается аналогично.
Теорема доказана
Обобщением формул из свойства 5 является теорема о сложении вероятностей, которую мы рассмотрим на следующей лекции.
Теперь докажем следующую важную теорему, которая понадобится нам в дальнейшем.
Теорема (непрерывности).
1. Пусть
lim P (A ) = |
|
n→ |
n |
|
|
P
A |
A |
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
n |
|
n=1 |
|
|
|
,
.
A |
A |
i |
i+1 |
i
,т.е.
A A |
... A |
|
1 |
2 |
n |
...
.
Тогда
2. Пусть |
|
Bi |
A, |
Bi |
Bi+1 |
i |
, т.е. |
B1 B2 |
... Bn |
.... |
||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim P (Bn ) = P |
|
|
Bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для доказательства первого пункта заметим,
Тогда
что
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|||
|
An = A1 |
|
|
(An+1 \ An ) |
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
A1 |
(An+1 \ An ) = , |
|
|
|||
(An+1 \ An ) |
(Am+1 \ Am ) = , |
|||||
для всех n, m |
таких, что n m . |
|||||
Отсюда по аксиоме счетной аддитивности
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 ) |
|
|
|
|
|
( n+1 |
n ) |
|
|
|
( |
1 ) |
|
|
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
n |
|
= P |
+ |
|
|
|
= P |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
A |
|
|
A |
|
|
P |
|
A |
|
\ A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
( |
n+1 |
|
n ) |
|
|
( |
1 ) |
|
|
N |
|
|
( |
n+1 ) |
|
( |
n )) |
|
|||||||
+ lim |
|
|
|
= P |
+ lim |
( |
|
− P |
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
P |
|
A |
|
\ A |
|
|
|
A |
|
|
|
P |
A |
|
|
A |
|
|||||||||||
|
N |
→ |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N → |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim P (AN +1 ) = lim P (An ). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim |
|
P (A1 )+ (P (An+1 )− P (An )) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
N → |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N → |
|
|
|
|
n→ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Второй пункт теоремы следует из первого, если заметить, что
|
n |
: n |
|
|
B |
|
- возрастающая последовательность множеств (докажите это самостоятельно).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
B |
|
|
|
n |
||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Bn |
||
|
n=1 |
|
|
|
=
=
|
|
|
( |
n ) |
|
( |
|
|
( |
|
n |
|
lim P |
|
B |
= lim 1 |
− P |
|
B |
||||||
n→ |
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Bn |
=1− P |
|
Bn . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||
))
=1− lim P (B |
|
n→ |
n |
|
|
)
,
Отсюда получаем:
|
|
|
|
lim P (Bn ) = P |
|
Bn . |
|
n→ |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
Следствия.
1. |
Пусть Ai |
A , Ai |
|
|
, |
для всех i |
, |
|
= . Тогда lim P(An ) |
|||
|
Ai+1 |
An |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Пусть B A , B B |
|
, для всех i |
, |
|
|
= . Тогда lim P |
|
|
|||
|
B |
( |
B |
|||||||||
|
|
i |
i |
i+1 |
|
|
n=1 |
n |
n→ |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства следствий достаточно заметить, что P (
, и применить теорему непрерывности.
=1.
) = 0.
) =1,
P ( ) = 0
Отметим, что последовательности
A |
|
n |
|
и |
|
B |
|
n |
|
из формулировки
теоремы вместе называются монотонными, а по отдельности
монотонно-возрастающей и монотонно-убывающей соответственно.