Гл. 12. Цепи переменного тока |
|
411 |
Приближение U(t) к стационарному резонансному значению, |
равному QE0, определяется временем релаксации контура τ = 1/β. |
График зависимости U(t) показан на рис. 12.3. |
|
|
|
U(t) |
U(t) |
|
|
QE0 |
|
Рис.12.3. |
|
|
E(t) |
Установление |
|
|
резонансного |
напряжения на |
|
|
конденсаторе U(t) в последова- |
0 |
t |
тельном |
колебательном |
|
|
|
контуре (задача 12.3.5) |
|
|
Ответ: U(t) = −QE (1− e−βt )cosωt . |
|
|
0 |
|
|
|
Задачи типа 12.2 |
|
Задачи с разветвлёнными цепями
Метод решения: При решении задач этого раздела в качестве независимых переменных рекомендуется выбрать токи, действующие на разных участках разветвлённой цепи. Обязательно надо выбрать и указать на схеме направления токов, выбранные за положительные. Затем, используя правила Кирхгофа (12.4, 12.5), надо составить систему уравнений для токов.
Число уравнений должно быть равно числу неизвестных. После решения этой системы уравнений рассчитывается напряжение на том участке цепи, который указан в условии задачи. Окончательный результат должен быть представлен в действительной форме.
Задача 12.3.6 (базовая задача). Конденсатор емкостью 20 мкФ и резистор, сопротивление которого равно 159 Ом, соединены параллельно (рис. 12.4 а) с генератором переменного напряжения (частота ν = 50 Гц, эффективное напряжение Uэ = 120 В).
Определить зависимость от времени силы тока в цепи I(t) и то-
412 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
|
ков через конденсатор IC (t) и резистор IR (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим, что ЭДС зависит от времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(t) |
|
I |
IR |
IС |
|
|
|
|
|
|
как E = E0 cos(ωt), где E0 = 2 Uэ ≈ 170 В – |
|
~ |
R |
|
|
|
C |
|
|
|
амплитуда источника ЭДС, ω = 2πν = 100π – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
круговая частота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Решение методом векторных диаграмм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 12.4б) |
Рис. 12.4а. Параллельная |
|
Выберем в качестве исходного направ- |
RC-цепь (задача 12.3.6) |
|
ление вектора ЭДС E0, поскольку напряжение одинаково на обоих |
|
элементах цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор IR параллелен вектору E0 и имеет длину IR = E0 |
|
R . По- |
|
этому IR (t) = (E0 R)cos(ωt) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ввиду того, что ток через конденсатор опережает на π
2 напряжение E0, приложенное к нему, вектор тока IС пер-
пендикулярен к E0 |
и повернут против ча- |
совой |
|
стрелки, |
а |
его |
длина |
I |
C |
= |
E0 |
|
= E |
ωC . Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
| ZC |
| |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC (t) = E0ωCcos(ωt + π/2) = −E0ωCsinωt .
IC
I
ϕ
IR E0
Рис. 12.4 б. Векторная диаграмма для параллельной RС цепи (задача 12.3.6)
Так как конденсатор и резистор соединены параллельно, то по первому правилу Кирхгофа полный
ток равен сумме токов через конденсатор и резистор I = IR + IC (векторная сумма).
Как видно из рис.12.4б, фаза φ полного тока I относительно E0 положительна и определяется соотношением
tg φ = IC = ωRC .
IR
Амплитуду полного тока можно записать в виде
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= |
I 2 |
+ I 2 |
= E |
+ (ωC)2 |
или, что удобнее |
|
R2 |
|
0 |
|
R |
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IR |
|
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0 |
= |
= |
1+ tg2ϕ . |
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
Гл. 12. Цепи переменного тока |
|
|
|
413 |
Зависимость |
полного |
тока |
от |
времени |
будет |
I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) .
При заданных в условии задачи значениях R, C и ν имеем tg φ ≈ 1, т.е. φ = π/4 или 450. Подставляя эти значения и величины E0 и ν в предыдущие соотношения, получаем
IR (t) = E0 cos(2πνt) ≈ 1,07cos(100πt) (А),
R
IC (t) = −E0 2πνCsin(2πνt) ≈ −1,07sin(100πt) (А),
I(t) = I0 cos(2πνt + π/4) ≈1,51cos(100πt + π/4) (А).
2) Решение методом комплексных амплитуд
Как и в методе векторных диаграмм, для комплексных амплитуд токов Î0, ÎC и ÎR можно записать следующие соотношения:
Î0 = ÎC + ÎR , где IˆR = E0 
R , IˆC = E0iωC = E0ωCeiπ
2 .
Амплитуда ЭДС взята в действительном виде, поскольку она одна, фаза ее не имеет значения и может быть положена нулевой.
Отсюда получим: |
Î0 =E |
|
1 |
|
|
+ iωC |
= E Ŷ, где Ŷ |
= Y |
eiϕ |
– |
|
|
|
|
0 |
R |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
комплексная проводимость цепи. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
tg φ = ωRC , Y0 = |
|
+ (ωC)2 |
= |
1+ tg2ϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
R |
|
|
|
Окончательный результат для полного тока в комплексной записи будет иметь следующий вид:
Î0 = E0 Y0 eiϕ .
Умножая полученные комплексные амплитуды на eiωt и беря действительную часть от этих комплексных решений, получим тот же результат, что и при использовании метода векторных диаграмм.
Ответ: IR (t) = E0 cos(2πνt) ≈ 1,07cos(100πt) (А);
R
IC (t) = −E0 2πνCsin(2πνt) ≈ −1,07sin(100πt) (А);
I(t) = I0 cos(2πνt + π /4) ≈ 1,51cos(100πt + π /4) (А).
414 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Задача12.3.7. На участке цепи, изо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
браженном на рис. 12.5а, заданы величи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны L, R, C и сила тока через участок RC |
L |
|
|
|
|
|
|
|
R |
I2 = I0 cos ωt. Найти напряжение U(t), ток U(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через катушку I1(t) и сдвиг фазы φ между |
|
|
I1 |
I2 |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
U(t) и напряжением UC на конденсаторе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Напряжение U(t) можно сразу найти, зная ток I2(t) и импеданс правой части цепи. В комплексных амплитудах:
Рис. 12.5а. |
Схема |
электрической |
LCR цепи к |
задаче 12.3.7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Iˆ |
|
|
( ωRC )2 +1 |
e−i|ϕ0|Iˆ |
|
Û = R + |
|
Iˆ |
= R2 + |
|
eiϕ0 |
2 |
= |
|
, |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ωC |
2 |
|
|
iωC |
|
|
|
(ωC ) |
|
|
|
|
|
|
|
где Iˆ2 = I0 , ϕ0 – угол фазового сдвига напряжения U(t) относительно
1
тока I2(t), определяемый из соотношения tgϕ0 = − ωRC < 0. Беря действительную часть от Û eiωt , находим напряжение U(t):
U(t) = |
(ωRC)2 |
+1 |
I |
0 |
cos(ωt − |
|
ϕ |
0 |
|
) . |
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно найти силу тока в левой части цепи
|
|
|
|
ˆ |
|
|
(ωRC) |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iˆ = |
U |
= |
|
|
e |
i(−|ϕ |−π / 2) |
Iˆ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
iωL |
|
|
ω2LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Действительная часть от Î1 eiωt |
|
дает ток I1(t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
= |
|
(ωRC)2 |
+1 |
I |
0 |
cos(ωt |
− |
|
ϕ |
0 |
|
− π / 2) . |
|
|
|
|
ω2LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти сдвиг фазы φ между U(t) и напряжением UC(t), запишем выражение для комплексной амплитуды ÛC:
ˆ |
1 |
ˆ |
|
1 |
|
−i π / 2 ˆ |
UC |
= |
iωC |
I2 |
= |
ωC |
e |
I2 . |
Разность фаз между найденной выше комплексной амплитудой
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û и ÛС составляет ϕ = − |
ϕ |
0 |
|
− |
− |
|
|
= |
|
− |
ϕ |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
Гл. 12. Цепи переменного тока |
415 |
Эту задачу можно легко решить и с использованием метода векторных диаграмм.
Векторная диаграмма, соответствующая поставленной задаче, представлена на рис. 12.5б.
В качестве исходного вектора для отсчета углов фазового сдвига, как и выше, берем вектор силы тока I2. Вектор напряжения на резисторе UR параллелен вектору I2 и имеет модуль UR = I0R. Вектор напряжения на конденсаторе UC перпенди-
кулярен к I2 (повернут на − π ) и его дли- 2
на UC = ωI0 .
C
Рис. 12.5б. Векторная диаграмма напряжений и токов (задача 12.3.7)
Векторы UR, UC образуют прямоугольный треугольник. Поэтому амплитуда напряжения U(t) равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
U0 = UR2 +UC2 = I0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ωC)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль угла сдвига фаз между U(t) и I2(t) определяется |
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
ϕ |
0 |
|
= |
UC |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UR |
|
ωRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сам угол ϕ0 отрицателен, поскольку напряжение U(t) |
запаздывает по фазе относительно тока I2(t): tgϕ0 |
= − |
1 |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωRC |
|
|
Модуль угла сдвига фаз ϕ между U(t) и напряжением на |
конденсаторе |
UC(t) |
|
|
|
|
определяется |
|
соотношением |
tg |
ϕ |
=UR UC = ωRC = ctg |
ϕ0 |
. Напряжение UC(t) |
запаздывает по |
фазе относительно E(t), поэтому ϕ < 0 и tgϕ = −ωRC . |
|
|
|
|
Амплитуда тока I1(t) равна I10 = |
UL |
|
= |
U0 |
. Ток I1(t) в катушке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωL |
ωL |
|
|
|
индуктивности отстает от напряжения на ней на π/2, поэтому вектор I1 перпендикулярен к вектору E и повернут относительно него на –π/2. Как видно из рис. 12.4, угол между векторами I1 и I2 по модулю равен |ϕ1| = (π/2 + |ϕ0|). Сдвиг фаз между токами I1(t) и I2(t) с
416 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
учетом отставания тока I1(t) отрицателен и равен ϕ1 = –(π/2 + |ϕ0|).
Окончательный ответ, с учётом знака сдвига фаз, будет иметь следующий вид:
Ответ: U(t) = |
(ωRC)2 |
+1 |
I |
0 |
cos(ωt − |
|
ϕ |
0 |
|
) , tgϕ |
0 |
= − |
1 |
; |
|
|
ωC |
|
|
|
|
ωRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
= |
|
(ωRC)2 |
+1 |
I |
0 |
cos(ωt − |
|
ϕ |
0 |
|
|
− π / 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.3.8. Определить амплитуду и фазу напряжения U(t) на конденсаторе С2 (рис. 12.6). Напряжение генератора изменяется по закону E = E0 cos ωt. При расчёте положить С1 = С2 = С3 = С.
|
Общая схема решения. Вначале опре- |
|
|
делим ток Î1, протекающий через цепь RС2. |
|
|
Затем, используя соотношение Û = |
Iˆ1 |
, |
|
|
|
|
|
|
iωC2 |
|
|
|
E(t) |
|
определим напряжение на конденсаторе С2. |
|
|
|
|
|
При расчёте будем использовать |
метод |
|
комплексных амплитуд.
|
Решение |
Рис. 12.6. Разветвленная RC- |
|
цепь к задаче 12.3.8 |
|
|
Зададим произвольным образом положительные направления токов в ветвях цепи (стрелки на рис. 12.6).
Используя правила Кирхгофа, запишем следующие соотношения:
|
Î = Î1 + Î2 , |
|
|
|
|
|
(узел С1, С2, С3); |
|
Ê = |
|
Iˆ |
+ |
|
Iˆ2 |
|
|
, |
(контур E, С1, С3); |
|
iωC |
iωC |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R + |
1 |
|
) Î1 – |
|
|
Iˆ2 |
= 0 (контур С2, R, С3). |
|
|
|
|
|
iωC3 |
|
|
|
iωC2 |
|
|
|
|
|
Исключив ток Î и учитывая, что С1-3 = С, эти уравнения можно |
|
представить в следующем виде: |
|
|
|
|
Eˆ0 = |
Iˆ1 + 2Iˆ2 |
; Î2 = (1 + iωRC) Î1; U = |
Iˆ1 |
. |
|
|
|
|
|
|
iωC |
|
|
|
|
iωC |
Решая эту систему уравнений, получим:
Гл. 12. Цепи переменного тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
417 |
Û = |
|
|
Eˆ |
= |
|
|
|
E0 |
|
|
|
e−i|ϕ| , tgϕ = − |
2 |
ωRC |
|
+ 2iωRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 + 4(ωRC)2 |
|
3 |
|
или, в действительных переменных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(t) = |
|
|
|
|
E0 |
|
cos(ωt – |φ|). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + 4(ωRC)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: U(t) = |
|
E0 |
|
|
|
cos(ωt – |φ|), tgϕ = − |
2 |
ωRC. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 + 4(ωRC)2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.3.9. Найти напряжение U(t) на конденсаторе (рис. 12.7), если параметры схемы таковы, что это напряжение сдвинуто по фазе на угол 450 относительно напряжения генератора E(t) = E0 cosωt.
Решение
При решении этой задачи можно действовать по стандартной методике, используя правила Кирхгофа (см. задачу 12.3.8). Однако будет проще свести данную цепь к последовательной RC-цепи.
|
Обозначим через Zˆ комплексное |
|
|
сопротивление параллельно соединён- |
|
|
ных элементов R и C. Тогда падение |
|
|
E(t) |
|
напряжения на этой цепи (его и нужно |
|
|
|
|
|
определить по условию задачи ) будет |
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12.7. Электрическая |
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
E0 |
|
|
Û = Zˆ Iˆ = Zˆ |
= |
|
, |
схема цепи к задаче 12.3.9 |
R + Zˆ |
1+ R Zˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
1 |
= |
1 |
+ iωC |
(т.к. R и C соединены |
параллельно). Начальное |
Zˆ |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
значение фазы сигнала генератора можно положить равным нулю,
поэтому Eˆ |
равно E0 – амплитуде сигнала генератора. Учитывая это, |
получим |
Û = |
|
E0 |
= |
|
E0 |
eiϕ , |
|
|
+ iωRC |
|
|
|
2 |
|
|
4 + (ωRC)2 |
|
где tg ϕ = – 1 ωRC. По условию задачи tg ϕ= ±1. Хотя знак фазы не 2
был указан, теперь видно, что он должен быть отрицательным. Тогда ωRC = 2, ϕ = –π/4 и
418 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
|
|
|
|
|
Û = |
E0 |
|
|
e−iπ / 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда напряжения на конденсаторе равна U0 = |Û| = |
E0 |
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Запишем полную зависимость этого напряжения от времени |
|
|
|
|
U(t) = Re(Ûeiωt ) = |
E0 |
|
cos(ωt–π/4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: U(t) = |
E0 |
|
cos(ωt–π/4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.3.10. |
В |
схеме, показанной на рис. 12.8, С1 = С2 = С, |
R1 = R2 = R. Сдвиг фаз между напряжением E генератора переменного напряжения (круговая частота равна ω) и напряжением UAB равен 90°.
1)При каких значениях R, C, ω это возможно?
2)Чему при этом будет равно от-
ношение амплитуд E и UAB? |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
C1 |
|
|
C2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зададим |
|
(произвольно) |
направ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
E(t) |
R |
|
|
|
I2 |
|
R |
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ления токов во всех участках схемы |
E(t) |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. рис. 12.8). Далее запишем урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения Кирхгофа, выбрав в качестве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
переменных токи Î, Î1 и Î2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
12.8. |
Схема |
электрической |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Î = Î1 + Î2; (для узла C1, C2, R2); |
|
|
цепи к задаче 12.3.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ R2Î2 = Eˆ (для контура E, C1, R2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iωC1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R1 + |
|
|
) Î1 – R2Î2 = 0 |
(для контура C2, R1, R2). |
|
|
|
|
|
|
|
iωC |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту систему уравнений, найдем ток Î1, а затем напряже- |
ние ÛAB = Î1R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eˆ0 = |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
Î1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ωC |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гл. 12. Цепи переменного тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÛAB = RÎ1, |
|
|
|
|
|
|
или |
Eˆ0 = {1 – |
|
1 |
|
|
|
– i |
|
3 |
|
|
} ÛAB = ÂÛAB |
|
|
|
|
|
|
ω RC)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
ωRC |
|
|
|
|
|
|
|
Разность фаз Eˆ |
и ÛAB определяется фазой комплексного мно- |
жителя Â: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
tg ϕ |
= |
ImA |
|
= − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ReA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωRC 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ωRC) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условиям задачи tg ϕ = ∞, откуда следует, что ωRC = 1. При |
этом |
условии Eˆ |
= – 3iÛAB = 3ÛAB e−iπ / 2 . Отношение амплитуд |
E/UAB = 3, а напряжение E отстает по фазе от напряжения UAB на |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Ответ: 1) ωRC = 1; 2) |
|
E |
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UAB |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12.3.11. На рис. 12.9 представлена схема цепи. Через I(t) обозначен генератор тока I(t) = I0 cos ωt, I0 – амплитуда тока.
1)Рассчитать комплексное Zˆ и
полное Z0 сопротивление цепи (между точками А и В).
2)Найти резонансную частоту ωр, т.е. то значение частоты, при котором
полное сопротивление Z0 имеет экстремальное значение и рассчитать Z0 при этой частоте.
3)Определить амплитуду напряжения на конденсаторе и амплитуду силы тока в Lr цепи при резонансе.
A
L
I(t) СC
r
B
Рис. 12.9. Схема электрической цепи к задаче 12.3.11
4) Найти сдвиг фаз между токами, протекающими через конденсатор и катушку индуктивности при резонансе.
При расчётах в пунктах 2-4 считать, что добротность колебательного контура Q = 1 L >> 1.
420 |
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
Решение
1) Так как элементы цепи соединены параллельно, удобно вначале найти комплексную проводимость цепи
|
|
|
|
|
Yˆ |
= iωC + |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
+ iωL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда комплексное сопротивление цепи равно |
|
|
|
|
|
ˆ |
= |
1 |
|
= |
|
|
r + iωL |
|
|
|
|
|
|
Z |
Yˆ |
|
|
− ω2LC) + iωrC |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
а полное сопротивление цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
=| Zˆ |= |
|
|
|
r2 + ω2L2 |
|
. |
0 |
|
|
(1− ω2LC)2 + (ωrC)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) При Q >> 1 сопротивление цепи Z0 имеет максимальное |
значение при ωр ≈ ω0 = |
|
|
1 |
|
|
, а реактивное сопротивление катушки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
на частоте ω0 много больше активного сопротивления r, поэтому r + iωL ≈ iωL. При таких упрощениях полное сопротивление при резонансе может быть представлено в следующем виде
Z0рез = L = rQ2 .
rC
3) При резонансной частоте ωр ≈ ω0 импеданс и амплитуда напряжения между точками А и В достигает максимума. Амплитуды токов, текущих через конденсатор и катушку, при этом могут быть очень велики по сравнению с I0. Но эти токи почти противофазны, и их векторная сумма равна I0. Такой резонанс называется резонансом токов [1, §50].
Комплексная амплитуда силы тока в Lr цепи равна
IˆL = I0Z . r + iωL
Отсюда, учитывая результаты пункта 2 данной задачи, получаем, что при резонансе токов эта величина становится равной
IˆL = |
I0 |
, |
|
|
iω |
p |
rC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а амплитуда тока равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
I рез |
= |
I0 |
|
= QI |
|
. |
|
|
0 |
L |
|
ω0rC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе равна
