Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5173 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

с инета для метод

.pdf
Скачиваний:
1939
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
5.91 Mб
Скачать
☆

Гл. 12. Цепи переменного тока

401

жений на конденсаторе UC (t) и резисторе UR (t).

Решение

Положим, что ЭДС зависит от времени как E = E0 cos(2πνt), где

E0 = 2 Uэ ≈ 170 В – амплитуда источника ЭДС.

При решении этой задачи можно воспользоваться как методом векторных диаграмм, так и методом комплексных амплитуд.

1) Решение методом векторных диаграмм (рис. 12.1)

Выберем в качестве исходного направления направление вектора тока I, поскольку ток одинаков во всей цепи.

I

UR

Вектор UR параллелен вектору тока I и имеет

 

длину UR = I R.

φВектор напряжения на конденсаторе UС пер-

 

 

пендикулярен к I (сдвинут по

фазе на

 

 

угол − π ), его длина UС =

I

.

 

 

 

 

 

UC

E0

2

ωC

 

Все элементы цепи соединены последователь-

 

 

но, поэтому E0 = UR + UC (векторная сумма).

Рис. 12.1. Векторная диа-

Поскольку исходной

для нас

является

грамма для

последова-

зависимость ЭДС от времени, то фазы ос-

тельной RС-цепи (задача

12.3.1)

 

тальных напряжений будем отсчитывать от-

 

 

носительно вектора E0. Тогда фаза φ напря-

жения UR

и тока I положительна и определяется соотношением

tg φ =

UC

=

1

, а фаза напряжения UC будет равна φ –

π

.

UR

ωRC

 

 

 

2

 

Учитывая, что UR = E0 cos φ , UC = E0 sin φ и используя известные из тригонометрии соотношения

cos φ =

 

1

 

 

 

,

sin φ =

 

tgϕ

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ tg2ϕ

 

1+ tg2ϕ

можем записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UR(t)= E0

 

 

1

 

 

 

cos(2πνt + φ) , I(t) =

UR (t)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ tg2ϕ

 

 

 

 

 

 

R

UC(t) = E0

 

 

tgϕ

cos(2πνt + φ –

π

).

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

+ tg2ϕ

 

 

 

 

 

 

402

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При данных в условии задачи значениях R, C и ν имеем tg φ ≈ 1, т.е. φ = π/4 или 450. Подставляя эти значения и заданные величины E0 и ν в предыдущие соотношения, получаем

UR(t) = 120 cos(100πt + π/4) (В), UC(t) = 120 cos(100πt – π/4) (В),

I(t) = UR(t)/R ≈ 0.75 cos(100πt + π/4) (А).

2) Решение методом комплексных амплитуд Как и в методе векторных диаграмм, для комплексных

амплитуд Eˆ0 , ÛC, ÛR можно записать следующее соотношение:

Eˆ0 =ÛC +ÛR , где ÛR = Î R , ÛC =

 

 

Iˆ

=

 

 

Iˆ

−iπ / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

.

 

 

i

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iϕ

Отсюда получим:

Eˆ

ˆ

 

 

=

ˆ

Î

, где

 

ˆ

= Z0 e –

 

0

= I R +

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

 

 

iωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексное сопротивление (импеданс) цепи. Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

< 0 .

 

Z0 = R2 +

 

 

= R 1+ tg2ϕ , tg φ = −

 

(ωC)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωRC

 

 

В отличие от предыдущего рассмотрения, в этих формулах ϕ представляет собой сдвиг фазы ЭДС относительно фазы тока, и поэтому ϕ < 0. Окончательный результат в комплексной записи будет иметь следующий вид:

Î =

E0

e−iϕ =

E0

e+i|ϕ| , ÛR = ÎR, ÛC =

E0

ei(−ϕ−π / 2) =

E0

ei(|ϕ|−π / 2) .

Z0

 

 

 

 

 

Z0

ωCZ0

ωCZ0

Взяв реальную часть от полученных комплексных переменных, получим тот же результат, что и при использовании метода векторных диаграмм.

Ответ: UR(t) = 120 cos(100πt + π/4) (В),

UC(t) = 120 cos(100πt – π/4) (В),

I(t) = UR(t)/R ≈ 0.75 cos(100πt + π/4) (А).

Задача 12.3.2 (базовая задача). Резистор R, конденсатор С и

индуктивность L соединены в последовательную цепь (рис. 12.2а) и подключены к генератору переменного напряжения

Гл. 12. Цепи переменного тока

403

E(t) = E0 cos(ωt).

1)Определить амплитудные значения тока в цепи I0 и напряже-

ний на конденсаторе и индуктив-

 

 

 

ности (UC и UL) и сдвиг фазы тока

 

 

L

ϕI относительно фазы ЭДС.

 

 

~

E(t)

 

2) При каких частотах ω эти ампли-

C

 

 

туды будут

иметь максимальные

 

 

R

значения? Чему равны эти макси-

 

 

 

 

 

мальные значения? При расчётах

 

 

 

положить, что добротность Q >> 1.

Рис. 12.2а. Последовательная

3) Исследовать

случаи ω → 0 и

RLC-цепь (задача 12.3.2)

 

 

 

ω → ∞.

Решение

а) Решение методом комплексных амплитуд

1. Ток в цепи

Комплексное сопротивление цепи имеет вид

 

 

1

 

iϕ

 

Zˆ = R + i

ωL −

 

 

= Z0e

 

,

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

ωL −

1

 

tgϕ =

ωC

.

 

R

 

 

 

 

Здесь φ – сдвиг фаз между напряжением генератора и током в цепи,

 

 

2

 

 

1 2

Z0 =

R

 

+

ωL −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

– модуль полного сопротивления цепи (импеданса). Комплексная амплитуда Î тока в цепи равна

Iˆ =

E0

=

E0

e−iϕ =

E0

eiϕI ,

 

 

 

 

 

 

Zˆ

 

Z0

 

 

Z0

где сдвиг фаз ϕI тока относительно напряжения генератора

определяется соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− ωL

tgϕ

 

 

= tg(−ϕ) =

ωC

I

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда сразу получаем, что амплитуда тока в цепи равна

404

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

I

 

=

E0

=

 

 

 

 

E0

 

.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

2

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

R

 

+

ωL −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

Максимальное значение амплитуды тока, а значит, и напряжения на сопротивлении R, достигается на резонансной

частоте

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

= ω =

 

1

и равно I

 

=

E0

.

pI

 

 

p0

 

 

0

 

LC

 

 

R

При ω → 0 амплитуда тока также стремится к нулю, а сдвиг фаз ϕI → +π/2 (ток опережает напряжение). Если ω → ∞, то ток I → 0, а сдвиг фаз ϕI → – π/2 (ток отстает от напряжения).

2. Напряжение на конденсаторе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

напряжения на конденсаторе равна:

Комплексная амплитуда UC

ˆ

 

Iˆ

 

1 E0

E0

 

i(−φ−π/2)

 

E0 i (φI −π/2)

 

UC =

iωC

=

iωC

 

Zˆ

=

ωCZ0

e

 

 

 

 

=

ωCZ0

e

 

.

Фаза напряжения на конденсаторе ϕС = ϕI −π 2 отстаёт от фазы

тока на 90º.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

удобства

 

дальнейшего анализа

преобразуем

величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(iωC Zˆ ), подставив в нее Zˆ = R + i

ωL −

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

iωCZˆ = (1− ω2LC) + iωrC =

1

[(ω2

− ω2 ) + i2βω].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

ω0 =1

LC , β = R 2L . Теперь зависимость амплитуды

напряжения на конденсаторе от частоты ω может быть представлена в следующем виде

 

 

 

UC =

 

 

 

 

 

ω2E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω2

− ω2 )2 + 4β2ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Максимальное значение UС достигается при резонансной час-

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

тоте ω2

= ω2 − 2β2

= ω2

1

−

 

 

, где Q – добротность контура.

 

 

2

pC

 

0

0

 

 

2Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При ω = ωрС

резонансная амплитуда напряжения на конденсаторе

Гл. 12. Цепи переменного тока

 

 

405

равна

 

 

 

 

UрС =

 

ω2E

 

 

 

0

0

 

.

 

 

 

 

4β2 (ω2

− β2 )

 

 

0

 

 

 

Если Q >> 1, то UрС ≈ QE0.

В области низких частот напряжение на конденсаторе равно напряжению генератора UС = E0 , и совпадает с ним по фазе (ϕС = 0). В области высоких частот (ω → ∞) UС → 0, а сдвиг фаз ϕС → (–π).

3. Напряжение на катушке индуктивности

Комплексная амплитуда

 

ˆ

напряжения на индуктивности

UL

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωL

 

i(φI +

π

ˆ

 

ˆ

 

 

 

)

 

 

 

2

UL

= iωLI

= E0 Z

0

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фаза напряжения на катушке ϕL = ϕI + π2 опережает фазу тока на 90º.

Проводя расчёты, подобные расчётам в пункте 2 настоящей задачи, и опуская промежуточные выкладки, получим:

 

 

 

 

 

ω2E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UL =

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω2

− ω2 )2

+ 4β2ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальное значение UL достигается при резонансной

частоте

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωpL =

 

ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2 − 2β2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UpL = UL (ωpL ) =

 

 

E0ω0

 

 

 

=

 

 

QE0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2β 1−

β2

 

1

−

 

 

 

 

 

 

4Q

2

 

 

 

 

 

 

 

ω0

 

 

 

 

 

 

 

Если Q >> 1, то UрL ≈ QE0.

В области высоких частот (ω >> ω0) индуктивное сопротивление велико по сравнению с сопротивлением конденсатора и активным сопротивлением, поэтому напряжение на индуктивности фактически равно напряжению генератора, т.е. UL = E0 , и совпадает с ним по фа-

406

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

зе. В области низких частот напряжение на катушке индуктивности близко к нулю.

При малом затухании все три резонансные частоты ϕрI, ϕрC и ϕрL практически совпадают. Поскольку амплитуды напряжений на всех элементах при этом максимальны, это называется резонансом напряжений [1, §50]

б) Решение методом векторных диаграмм

Векторная диаграмма для последовательной RLC цепи пред-

ставлена на рис. 12.2б (см. также задачу

 

12.3.6).

Здесь:

UR = rI0,

UL = ωLI0,

UL

UC = I0/(ωC), где I0 – амплитуда тока в це-

 

пи.

 

 

 

 

Векторы E0, UR, (UL+ UC) составляют

E0

прямоугольный

треугольник.

Поэтому

можно записать:

 

 

 

 

 

φ

UL+UC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E02 = UR2 + (UL – UC)2, tg φ = (UL – UC)/UR .

I

UR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая взаимосвязь между ампли-

 

 

 

тудой тока в цепи и амплитудами напря-

 

 

 

жений на резисторе, конденсаторе и ин-

UC

 

 

дуктивности (12.6)-(12.8), получим:

Рис.

12.2б.

Векторная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0 =

 

 

 

E0

 

 

 

, UL = ωLI0,

диаграмма

для

 

 

 

 

 

 

последовательной

RLC-цепи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1 2

 

 

 

 

 

R

 

+ ωL −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

UC = I0 .

ωC

Сдвиг фазы напряжения генератора E(t) относительно тока в цепи равен

 

ωL −

1

 

tgϕ =

ωC

.

 

R

 

 

 

 

В примере, показанном на рис.12.2 ϕ > 0, а сдвиг фазы тока относительно напряжения генератора φI = –ϕ отрицателен, т.е. ток I(t) запаздывает по фазе относительно напряжения генератора E(t).

Дальнейший расчёт, в соответствии с вопросами 2 и 3 условия за-

Гл. 12. Цепи переменного тока

407

дачи, можно провести так же, как это сделано выше.

Ответ: 1) I0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

E0

 

 

 

 

 

 

, UC =

 

 

 

 

 

 

 

 

ω02E0

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω02 − ω2 )2 + 4β2ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

+ ωL −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− ωL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

=

 

 

 

 

 

 

ω

E0

 

 

 

 

 

 

, tgϕ

 

=

 

ωC

 

;

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ω02

− ω2 )2

+ 4β2ω2

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) I

 

=

E0

; UрС ≈ UрL ≈ QE0, ω

 

 

 

≈ ω =

 

1

;

 

 

 

 

p0

рез

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

LC

 

 

 

 

3) При ω → 0: I → 0, ϕI → +π/2;UС ≈ E0, UR ≈ UL ≈ 0.

 

 

ω → ωрез: I p0 =

E0

 

, ϕI → 0, UR ≈ E0, UрС ≈ UрL ≈ QE0;

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω → ∞: I → 0,

 

ϕI → – π/2; UL ≈ E0 , UR ≈ UС ≈ 0.

 

 

Задача 12.3.3 (базовая задача). Конденсатор и резистор соединены последовательно и включены в цепь переменного тока с напряжением Eэ = 50 В и частотой ν = 50 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор для того, чтобы через резистор протекал ток I = 0,1 А и напряжение на резисторе было равно UR = 30 В? Напряжения и токи понимаются как эффективные.

Решение

При решении этой задачи можно использовать два способа. Первый способ основан на непосредственном использовании результатов задачи 12.3.1. Полученные там соотношения для

амплитуд тока и напряжения можно поделить

 

на

 

2 и сразу

записать их для эффективных значений:

 

 

 

 

 

 

 

 

UR = Eэ

 

 

1

 

, tgφ = −

 

1

, где R =

UR

 

, ω = 2πν.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ tg2ϕ

 

 

ωRC

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

E

 

2

 

 

Отсюда следует C =

 

 

, где tg φ =

 

0

 

 

−1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωUR tgϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UR

 

 

Окончательно получаем

408

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1I

С= . 2πν Eэ2 −UR2

Подстановка численных значений дает С = 7,96 мкФ.

Во втором способе решения используется тот факт, что на векторной диаграмме векторы амплитуд E0, U0R и U0C образуют прямоугольный треугольник (E0 – гипотенуза, U0R и U0C – катеты, см. задачу 12.3.1). Тогда

U0С = E2

− U 2

,

0

0R

 

или для эффективных значений

 

 

 

 

 

 

UC = Eэ2 − UR2 .

Напряжение на конденсаторе

UC

и ток в цепи I связаны

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

.

соотношением

UC =

 

, откуда

следует: UC = Eэ2 − UR2 =

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

Отсюда получаем тот же ответ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С =

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2

−U 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

э

R

 

 

 

 

 

 

Ответ:

С =

 

1

 

 

 

I

 

 

 

 

= 7,96 мкФ.

 

 

 

 

 

 

2πν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2 −U

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

э

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12.3.4. В

 

цепь

 

 

переменного

тока

включены

последовательно генератор

 

с

эффективным

напряжением

Eэ = 220 В, конденсатор

 

емкости

С, катушка

индуктивности

L и

резистор R. Найти напряжение UR на резисторе, если известно, что напряжение на конденсаторе UC = 2UR и напряжение на катушке индуктивности UL = 3UR (напряжения рассматриваются как эффективные).

Решение

В последовательной цепи напряжение на индуктивности UL опережает по фазе ток в цепи (и напряжение на резисторе UR) на угол +900 (рис. 12.2б). Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока (сдвиг фаз равен – 900). Таким образом, UL и UC находятся в противофазе. Соотношения между эффективными величинами на-

Гл. 12. Цепи переменного тока

409

пряжений те же, что и для амплитудных величин, поэтому напряжение на участке LC

(UL + UC) = 3UR – 2UR = UR

и опережает ток по фазе на 900. Отсюда получаем:

Eэ2 = (UL + UC)2 + UR2 = 2UR2, UR = Eэ . 2

Ответ: UR = Eэ . 2

Задача 12.3.5. В последовательном RLC контуре (см. задачу 12.3.2) генератор напряжения формирует сигнал следующего вида:

 

 

 

E(t) = 0

 

 

 

 

при t < 0,

 

 

 

E(t) = E0sinωt

 

при t > 0.

 

 

 

 

 

=

 

1

, β =

R

.

Здесь ω = ω2

−β2

, где ω

0

 

 

 

0

 

 

 

 

LC

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

Определить, как изменяется со временем напряжение U(t) на конденсаторе С. Вначале (t < 0), ток в цепи и напряжение на конденсаторе были равны нулю.

При расчёте положить, что добротность Q =

1

 

 

 

L

>> 1 .

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное

уравнение, описывающее

 

вынужденные

колебания в данной цепи, имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

d 2U

+ RC

dU

+U = E(t) ,

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, для t > 0,

d 2U

+ 2β

dU

+ ω2U = ω2E

 

sinωt ,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

dt2

 

dt

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где U – напряжение на конденсаторе, β =

R

, ω =

 

 

1

 

(см.: глава

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

0

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11, задача 11.3.10). Решение этого уравнения можно представить в виде

U(ω, t) = U1(t) + U2(ω, t),

410

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

где U1(t) – решение однородного уравнения (т.е. с нулевой правой частью), а U2(ω, t) – частное решение неоднородного уравнения.

Решение однородного уравнения дает затухающие собственные колебания (см. задачу 11.3.10):

U1(t) = e−βt (asinωct + bcosωct) , где ωc = ω02 −β2 – частота собственных колебаний.

Частное решение данного неоднородного уравнения – это установившиеся вынужденные колебания, комплексная амплитуда которых на конденсаторе ÛC равна (см. задачу 12.3.2)

ˆ

 

E0

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

1

 

UC

=

iω CZˆ

 

, где

Z

= r

+ i ωL

−

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

Поскольку добротность контура

велика,

ωc

≈ ω0 . Учитывая,

что по условию ω = ω ≈ ω , получаем Zˆ = r , откуда следует

 

 

c

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

=

E0

=

E0

 

 

−iπ /2

 

 

 

 

 

UC

 

 

e

 

.

 

 

 

 

iωCR

ωCR

 

 

 

Ввиду того, что по условию E(t) = E0 sinωt = Im(E0 eiωt ), то для согласования начальных фаз решение также удобно взять в виде мнимой части от комплексного напряжения на конденсаторе:

U2(ω, t) = Im(ÛC eiωt

) =

E0

sin(ωt − π /2) = −

E0

cosωt .

 

 

 

 

ωCR

 

ωCR

Таким образом, общее решение имеет вид

 

 

 

U(ω, t) = e−βt

(asinωt + bcosωt) −

E0

cosωt .

ωCR

 

 

 

 

 

 

 

Константы a и b найдем из начальных условий, учитывая, что при t = 0 напряжение и сила тока в цепи были равны нулю

 

 

U(0) = 0: b −

E0

 

= 0 ,

ωCR

 

 

 

 

 

 

U′ (0) = 0:

 

a = 0.

Подставляя a и b, получаем:

 

 

 

U(t) = −

E0

(1− e−βt )cosωt = −QE

 

(1 − e−βt )cosωt .

 

0

 

ωCR

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности