Глава 2. МАССИВЫ

2.1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Матрицей размером m n называется прямоугольная таблица из m·n чи-

элементов строки – ее длиной. Матрица размером m 1 называется столбцом (вектор-столбцом), число элементов столбца – его высотой.

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю (обозначение: Оm n или О).

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( m n ), называется

квадратной матрицей порядка n.

Элементы aii , i 1, n , квадратной матрицы An n , называемые диагональ-

ными, образуют главную диагональ матрицы.

Пример 2.2. – квадратная матрица порядка 3.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной (обозначение: E или En , где n – ее порядок).

31

1 0

Пример 2.4. E – единичная матрица порядка 2.

0 1

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треуголь-

ной), если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.

Пример 2.5.

Обозначение: B A .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются

линейными.

Матрицу ( 1) A называют противоположной матрице A и обозначают –A. Таким образом, A ( 1) A .

Разностью матриц A и B одинакового размера называют сумму A ( B)

32

Пусть A1, A2 , , Am – матрицы одинакового размера, 1, 2 , , m – числа. Матрица 1 A1 2 A2 m Am называется линейной комбинацией матриц

Произведением матрицы размером 1 n на матрицу размером n 1 является матрица размером 1 1 (матрица порядка 1). Данная операция является основополагающей для умножения матриц.

33

AB BA.

Матрицы A и B , для которых AB BA, называются перестановочными. Перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера. Если A – квадратная матрица, а E – единичная матрица того же порядка,

то AE EA A .

Для натурального числа k положим Ak A A A.

k раз

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преоб-

разования:

умножение строки (столбца) на ненулевое число;

перестановка двух строк (столбцов);

прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца).

Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований (обозначение:

A ~ B ).

Ведущим элементом строки будем называть первый слева ненулевой элемент строки.

Матрица, у которой ведущий элемент каждой строки расположен правее ведущего элемента предыдущей строки, называется ступенчатой.

Пример 2.11. – ступенчатая матрица.

Можно доказать, что любая матрица с помощью элементарных преобразований над строками может быть преобразована в ступенчатую.

34

щью элементарных преобразований над строками.

Решение. Ко второй (II) строке заданной матрицы прибавим первую (I) строку, умноженную на (–2):

В полученной матрице к третьей (III) строке прибавим первую (I) строку, умноженную на (-1) , и получим ступенчатую матрицу, эквивалентную заданной:

Использование MATLAB при работе с матрицами

Массив – основная форма, используемая MATLAB для работы с данными.

Простейший одномерный массив – это строка (вектор-строка) или столбец (вектор-столбец). Двумерный массив – это матрица. Число является матрицей размером 1×1.

В MATLAB различают четыре группы операций над массивами (числами, векторами, матрицами):

а) операции с числами (см. табл. 1.1); б) операции над векторами, матрицами по правилам линейной алгебры

(табл. 2.2, 2.5);

в) операции деления матриц (слева направо и справа налево) (табл. 2.6); г) поэлементные операции над векторами, матрицами (перед символом

оператора необходимо поставить точку (.)) (табл. 2.3, 2.7).

Поэлементные операции, в частности, удобны при программировании для

избежания чрезмерного использования операторов цикла.

35