По теореме 5.3 представление вектора a в виде (5.4) единственно. Представление вектора a в виде (5.4) называется разложением вектора a

по ортонормированному базису i , j, k .

ax , ay , az – координаты вектора a в базисе i , j, k , т. е. a ax ; ay ; az .

Использование MATLAB при нахождении разложения вектора по заданному базису

>>d=[11;-3;13];

>>a=[2;-1;3];

>>b=[2;1;3];

>>c=[1;-2;-2];

>>A=[a,b,c];

>>A\d

ans =

3.0000

2.0000

1.0000

Ответ. = 3 + 2 + .

5.4. ДЛИНА ВЕКТОРА. НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Найдем длину вектора a в ДПСК.

Из прямоугольного параллелепипеда (рис. 5.16) имеем

OM 2 OM1 2 OM2 2 OM3 2 ,

т. е.

a 2 ax2 a2y az2 .

Получили

119

a 22 32 1 2 14 .

Ответ. a 14 .

Пусть α, β, γ – углы между вектором a 0 и координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно. По теореме 5.1 имеем

Использование MATLAB для вычисления длины вектора

инаправляющих косинусов вектора

ВMATLAB для вычисления длины вектора существует встроенная функция

norm(a)

120

Пример 5.10. Вычислить длину вектора = {4; 0; 3}: а) с использованием формулы (5.5);

б) с использованием встроенной функции norm.

Решение: а) Воспользуемся формулой (5.5). Введем команды:

>> a=[4 0 3];

>> dlina=sqrt(sum(a.^2)) % найдем длину вектора dlina =

5

б) Введем команды:

>> norm(a) ans =

5

Пример 5.11. Дан вектор = {4; 0; 3}. Найти: а) орт вектора ;

б) направляющие косинусы по формуле (5.7) (результат перевести в градусы);

в) угол наклона вектора к оси ОY (в градусах). Решение. Введем команды:

5.5. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Пусть даны векторы a ax , ay , az , b bx ,by ,bz в координатной форме.

Справедливы следующие свойства:

121

1)a b ax bx , ay by , ay by ,

2)λa λax , λay , λaz .

Доказательство.

1)a b ax i ay j az k bx i by j bz k

ax bx i ay by j az bz k ax bx ,ay by ,ay by .

2)λa λ ax i ay j az k λax i λay j λaz k λax ,λay ,λaz .

Равенство векторов: a b ax bx , ay by , az bz .

Координаты точки и вектора

Пусть в пространстве заданы ДПСК Охyz и М – произвольная точка. Координатами точки М называются координаты ее радиус-вектора OM . Пусть даны две точки

Найдем координаты вектора AB .

Имеем OA AB OB (рис. 5.17). Откуда получим разложение вектора AB в базисе i, j, k :

AB OB OA x2i y2 j z2 k x1i y1 j z1kx2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k .

Если известны начало A x1 , y1 , z1 и конец B x2 , y2 , z2 вектора AB , то его координаты равны: AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 .

x

Рис. 5.17. OA AB OB

122

Действия над векторами в координатной форме: использование MATLAB

Пример 5.12. Даны точки A(1,1), B(3,2), C(2,0). Требуется: а) найти координаты векторов и ;

в) Построим векторы:

>>grid on, axis equal, hold on >>quiver(1,1,3-1,2-1,1,'k','LineWidth',1) >>quiver(3,2,2-3,0-2,1,'k','LineWidth',1) >>quiver(1,1,2-1,0-1,1,'g','LineWidth',6) >>quiver(2,0,1-2,1-0,1,'m','LineWidth',3) >>text(0.9,1.1,'\bfA') >>text(3.01,1.9,'\bfB') >>text(2.12,0.06,'\bfC')

>>text(1.7,0.12,'\bfAC','Color','green','rotation',-45) >>text(1.2,1,'\bfCA','Color','magenta','rotation',-45)

Изображение векторов появится в окне «Figure 1» (рис. 5.18, а).

Пример 5.13. Дан параллелограмм ABCD, известны координаты трёх его вершин A(1,3), B(3,7), C(8,7). Требуется:

а) найти координаты четвертой вершины D(x,y); б) построить параллелограмм.

Решение. Введем команды:

123

Изображение параллелограмма появится в окне «Figure 1» (рис. 5.18, б).

Рис. 5.18. Изображение: а – векторов и , где A(1, 1), B(3, 2), C(2, 0); б – параллелограмма ABCD, где A(1, 3), B(3, 7), C(8, 7)

Пример 5.14. Даны точки A(-2; -3), B(-3; -3). Требуется: а) найти координаты вектора 5 ∙ ; б) построить вектор 5 ∙ .

Решение. а) Введем команды:

>>A=[-2,-3]; >>B=[-4,-3];

>>AB=B-A; % координаты вектора АВ >>proizv=5*AB % координаты вектора 5АВ proizv =

-10 0

б) Построим векторы и = 5 ∙ ̅̅̅̅, где точка С – конец вектора 5 ∙ . Введем команды:

>>C=proizv+A % координаты точки С - конца вектора 5АВ

C =

-12 -3

>>grid on, axis equal, hold on

124