Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1322 вуза, 5389 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Омский Государственный Технический Университет
Предмет:
Математика
Файл:
Anisimova_G_D__Evseeva_S_I__Myshlyavtseva_M_D__UP_Ispolzovanie_MATLAB_pri_izuchenii_matematiki.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
10.06.2025
Размер:
10.07 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 6.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Пусть на плоскости заданы ДПСК и некоторая линия L.

Уравнение F(x, y) 0 называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.

Из определения вытекает, что сама линия L есть множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y) 0 (в заданной системе координат).

Координаты x и y называются текущими координатами точек линии. Примерами уравнений линии являются x y 0 , x2 y2 0 , x2 y2 4 ;

вырожденной линии x2 y2 0 (точка (0, 0)).

x2 y2 1 0 не является уравением линии (нет геометрического образа).

6.1. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору

Теорема 6.1. (основная теорема о прямой на плоскости). На плоскости в ДПСК каждая прямая задается уравнением первой степени, и наоборот, каждое уравнение первой степени задает прямую на плоскости в ДПСК.

Доказательство. Докажем, что на плоскости в ДПСК каждая прямая задается уравнением первой степени.

Пусть на плоскости задана ДПСК, имеется прямая L, проходящая че-

рез точку M0 (x0 , y0 ) , N A, B – ненулевой

вектор,

перпендикулярный L

(рис. 6.1).

 

 

 

Возьмем любую точку M (x, y) L . Поскольку

M0M N , по условию

перпендикулярности имеем M0M N 0, т. е.

 

 

 

A x x0 B y y0

0 .

 

(6.1)

Уравнение (6.1) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору.

Уравнение (6.1) является уравнением первой степени, так как ( ; ) ≠ (0; 0).

Доказали, что на плоскости в ДПСК каждая прямая задается уравнением первой степени.

144

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {; }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0(0, 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , )

 

 

 

 

O

 

 

 

 

x

 

 

 

Рис. 6.1. Прямая L, проходящая через точку M 0 (x0 , y0 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{; }

 

 

 

 

перпендикулярна вектору =

 

 

 

Упражнение. Докажите, что каждое уравнение первой степени задает пря-

мую на плоскости в ДПСК.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.1.

Записать уравнение прямой,

проходящей

через точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 0 (7, 1) и перпендикулярной вектору = {4; 3}.

 

 

 

 

Решение. По формуле (6.1) имеем 4(x 7) 3( y 1) 0 .

 

 

 

 

Общее уравнение прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальным

 

 

Вектор = { ; }, перпендикулярный прямой, называется

вектором этой прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если Ax0 By0 C , то уравнение (6.1) примет вид

 

 

 

 

Ax By C 0.

 

(6.2)

 

 

Уравнение (6.2) называется общим уравнением прямой.

 

 

 

Общее уравнение прямой (6.2) называется полным, если все А, B, C не рав-

ны нулю. Если хотя бы один из коэффициентов A, B,C равен нулю, то уравне-

ние называется неполным.

 

 

 

 

 

 

 

 

Виды неполных уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Ax By 0

уравнение прямой, проходящей через начала координат (0,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Ax C 0

уравнение прямой, параллельной оси Оу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

By C 0

уравнение прямой, параллельной оси Ох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Ax 0

уравнение оси Оу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

By 0

уравнение оси Ох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение прямой в «отрезках»

 

 

 

Если А, B, C не равны нулю, то из общего уравнения (6.2) получим

 

 

 

 

x

 

y

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

145

Положив a CA , b CB , имеем уравнение прямой в «отрезках»:

x

 

y

1.

(6.3)

a

b

 

 

 

Геометрический смысл a, b (рис. 6.2): a, b равны величинам отрезков, отсекаемых прямой соответственно на осях Ох и Оу (отсчитываются от начала координат).

y b

O

a

x

b

 

 

 

а

 

y

 

 

 

b

b

 

O

x

 

 

 

 

b

y

b

O x

б

y

O x

b

в г Рис. 6.2. Величины отрезков, отсекаемые прямой на осях Ох и Оу:

а – a 0, b 0; б – a 0, b 0; в – a 0, b 0; г – a 0, b 0

Пример 6.2. Дано общее уравнение прямой 4x 3y 2 0. Записать уравнение прямой в «отрезках».

Решение. 4x 3y 2 ,

4x

 

3y

1,

 

+

 

= 1,

 

+

 

= 1 (рис. 6.2, a).

2

2

2

2

1

2

 

 

4

3

2

3

 

Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Пусть на плоскости в ДПСК = { ; } – направляющий вектор прямой L, проходящей через точку M1 (x1, y1 ) (рис. 6.3, а).

Пусть M (x, y) – точка, лежащая на данной прямой, тогда векторы M1M

и q – коллинеарны, и по условию коллинеарности двух векторов имеем

146

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x1

 

 

 

y y1

.

 

(6.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением прямой.

 

Если l 0, то из M1M λq получим x x1 0 .

 

Пример

 

6.3. Записать уравнение

прямой, проходящей

через точку

M0 2,

 

5 и параллельной вектору q 1;

3 .

 

Решение. По формуле (6.4) имеем

 

x 2

 

y 5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть на прямой L заданы две точки M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 )

(рис. 6.3, б).

Подставив

q M1M 2 x2

x1, y2

 

y1

в (6.4), получим уравнение пря-

мой, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x1

 

 

 

 

y y1

.

(6.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

x

 

y

2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Пример 6.4. Записать уравнение прямой, проходящей через точки:

а) M1 1, 4 и M2 3, 5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) M1(3,

4) и M2 5,

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. По формуле (6.5) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

x 1

 

 

y 4

, т. е.

x 1

 

 

y 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

5 4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

x 3

 

y 4

, т. е.

 

x 3

 

y 4

,

 

 

y 4 0 , y 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 3

 

4 4

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

L

 

 

 

 

q (l, m)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O x O x

а

 

 

 

б

Рис. 6.3. Прямая L, проходящая: а – через точку

M1 (x1, y1 )

с направляющим

 

 

 

 

вектором =

{

}

(x1, y1 ) и M 2 (x2 , y2 )

 

; ; б – через точки M1

147

Параметрические уравнения прямой

В (6.4) положим

x x1

t,

y y1

t

и получим параметрические урав-

l

m

 

 

 

 

нения прямой, проходящей через точку M1(x1, y1) , с направляющим вектором q l, m :

x x1

lt

(6.6)

 

 

y y1

mt, t R .

 

 

 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

 

 

 

Если B 0 , то из общего уравнения (6.2) прямой получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y kx b ,

 

 

(6.7)

где k

A

, b

C

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

B

 

 

 

 

 

 

 

k tgα (α – угол, образованный прямой с положительным направлением

оси Ох, 0 ≤ α < π,

), b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

(рис. 6.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (6.7) – уравне-

нием прямой с угловым коэффициентом.

 

 

 

 

 

 

Если B 0 ,

A 0 , то из общего уравнения (6.2)

прямой получим

x

C

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

x

О

x

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

б

 

в

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

 

 

 

 

 

 

а – 0, k = 0; б – 0 , k > 0; в –

, k < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть прямая L проходит через точку M1(x1, y1) , α – угол наклона прямой L к оси Ох, k – ее угловой коэффициент. Так как M1 (x1, y1 ) L , то

148

y1 kx1 b или b y1 kx1. Подставим данное выражение в (6.7)

и полу-

чим y kx b kx y1 kx1 , т. е.

 

y y1 k (x x1) .

(6.8)

Уравнение (6.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку M1 (x1, y1 ) с заданным угловым коэффициентом k.

Нормальное уравнение прямой

Пусть на плоскости задана прямая L, р – расстояние от начала координат

O(0,0) до прямой L, α – угол между вектором n cosα;

sin α , перпендикуляр-

ным к прямой L, с положительным направлением оси Ох (рис. 6.5, а).

 

Пусть M0 (x0 , y0 ) L (рис. 6.5, б), тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

p пр OM

0

 

n

OM0

n OM

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем на прямой L произвольную точку M (x, y) (рис. 6.5, в), откуда

M0M n . По условию перпендикулярности получим n M0M 0.

 

Откуда n OM OM0 0 , n OM n OM0 0 . Поскольку

 

 

 

 

p n OM0

и n OM xcosα y sin α ,

 

 

то окончательно получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xcosα ysin α p 0 .

 

 

 

 

(6.9)

Уравнение (6.9) называется нормальным уравнением прямой.

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0(0, 0)

 

 

 

 

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

x

O

 

 

 

 

 

x

O

 

 

 

 

x

 

а

 

б

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

Рис. 6.5. Прямая L:

а– расстояние p от O(0,0) до прямой L и угол α между вектором

иположительным направлением оси Ох;

б– 0(0, 0) , в – ( , )

149

Соседние файлы в предмете Математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности