Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1322 вуза, 5387 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Омский Государственный Технический Университет
Предмет:
Математика
Файл:
Anisimova_G_D__Evseeva_S_I__Myshlyavtseva_M_D__UP_Ispolzovanie_MATLAB_pri_izuchenii_matematiki.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
10.06.2025
Размер:
10.07 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Пример 7.12. Составить параметрические уравнения прямой, образованной пересечением двух плоскостей: 2x + 2z – 1 = 0 и x + 2y + 2z – 1 = 0.

Решение. Для решения создадим скрипт-файл: m-файл parameqofl.m

%Из уравнения первой плоскости

A1=2;B1=0;C1=2;D1=-1;N1=[A1,B1,C1];

%Из уравнения второй плоскости

A2=1;B2=2;C2=2;D2=-1;N2=[A2,B2,C2];

%Уравнение прямой z0=0;

syms x y z x0 y0 t; [x0,y0]=solve(A1*x0+B1*y0+D1, A2*x0+B2*y0+D2); s=cross(N1,N2);

ur_1=x0+s(1)*t; ur_2= y0+s(2)*t; ur_3= z0+s(3)*t;

g1=char(ur_1); g2=char(ur_2); g3=char(ur_3);

['x = ' g1 ' y = ' g2 ' z = ' g3]

После вызова и выполнения m-файла parameqofl.m в командном окне появится следующее сообщение:

ans =

'x = 1/2 - 4*t; y = 1/4 - 2*t; z = 4*t'

Пример 7.13. Найти расстояние между прямыми

−2

=

+1

=

−3

и

+1

=

−4

=

−1

.

3

2

1

2

1

−2

Решение. Из уравнения первой прямой имеем М1(2; –1; 3), 1 = {3; 2; 1}. Из уравнения второй прямой имеем М2(–1; 4; 1), 2 = {2; 1; −2}. Введем команды

>>M1=[2,-1,3];q1=[3,2,1]; >>M2=[-1,4,1];q2=[2,1,-2];

>>d=abs((dot(cross(M1,q1),q2) +dot(cross(M2,q2),q1))/norm(cross(q1,q2)))

d=

6.0083

7.6. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть в пространстве в ДПСК Oxyz заданы плоскость Р и прямая L уравнениями

Р: Ax By Cz D 0 ,

L:

x x0

 

y y0

 

z z0

.

 

 

 

 

l

 

m

 

n

189

= { ; ; } – нормальный вектор плоскости Р, = { ; ; } – направляющий вектор прямой L.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве:

1) Прямая и плоскость пересекаются (рис. 7.13), в частности, они перпендикулярны (рис. 7.14).

z

O y

x

Рис. 7.13. Пересечение прямой и плоскости

z

L

P

O

y

x

Рис. 7.14. Прямая L и плоскость Р перпендикулярны

2) Прямая и плоскость параллельны (рис. 7.15), в частности, прямая лежит на плоскости (рис. 7.16).

z

O

Рис. 7.15. Прямая L и плоскость Р параллельны

190

z

P L

O

x

y

Рис. 7.16. Прямая L лежит в плоскости Р

Под углом между прямой и плоскостью будем понимать острый угол меж-

ду прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 7.17).

Пусть – угол между прямой и плоскостью, тогда

 

 

– угол между

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

= { ; ; }, следовательно,

 

 

 

 

векторами = { ; ; },

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

Al Bm Cn

 

 

 

 

cos

 

φ

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

A2 B2 C2 l2 m2 n2

 

 

 

 

С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

φ sin φ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Откуда получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin φ

 

 

Al Bm Cn

 

 

.

(7.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2 C2 l2 m2 n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

у

 

х

Рис. 7.17. Угол φ между прямой L и плоскостью Р

191

а) Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая L и плоскость Р перпендикулярны тогда и только тогда, когда век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торы = { ; ; }, = { ; ; } коллинеарны (рис. 7.14), т. е.

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

С

.

 

 

 

 

 

 

 

(7.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

m

 

n

 

 

 

 

 

 

 

б) Условие параллельности прямой и плоскости

 

 

Прямая L и плоскость Р параллельны тогда и только тогда, когда векторы

 

= { ; ; } перпендикулярны (рис. 7.15), т. е.

 

 

= { ; ; },

 

 

 

 

 

Al Bm Cn 0 .

 

 

 

(7.24)

в) Условия принадлежности прямой плоскости

 

 

 

 

Прямая

L

лежит

в

плоскости

Р,

если

Al Bm Cn 0

и Ax0 By0 Cz0 D 0, где точка x0 , y0 , z0 ,

лежащая на прямой, лежит и на

плоскости (см. рис. 7.16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

7.14.

Даны

прямая

 

 

x 3

 

y 5

 

 

z 12

и

плоскость

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

x 2y 8z 9 0. Параллельны ли прямая и

плоскость? Лежит

ли прямая

в плоскости?

Решение. Прямая и плоскость параллельны, поскольку выполняется условие параллельности прямой и плоскости (7.24):

Al Bm Cn 1 4 2 ( 6) 8 1 0.

Прямая не лежит в плоскости, так как точка x0 , y0 , z0 3, 5, 12 , лежащая на прямой, не лежит на плоскости:

Ax0 By0 Cz0 D 1 3 2 ( 5) 8 12 89 0 .

Ответ. Прямая параллельна заданной плоскости, не лежит в плоскости. Пример 7.15. Найти координаты точки пересечения прямой

 

x 2

 

y 1

 

z

и плоскости x 2y 8z 9 0 .

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {−1; 6; 3} –

 

Решение. = {1; 2; 8} – нормальный вектор плоскости,

направляющий вектор прямой.

 

 

 

 

Прямая и плоскость пересекаются, поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Al Bm Cn 1 ( 1) 2 6 8 3 35 0 .

 

 

Прямая проходит через точку x0 , y0 , z0 2,

1,

0 .

 

Запишем параметрические уравнения прямой (7.15):

192

Соседние файлы в предмете Математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности