Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1322 вуза, 5387 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Омский Государственный Технический Университет
Предмет:
Математика
Файл:
Anisimova_G_D__Evseeva_S_I__Myshlyavtseva_M_D__UP_Ispolzovanie_MATLAB_pri_izuchenii_matematiki.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
10.06.2025
Размер:
10.07 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Уравнения (7.12) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Пусть в пространстве в ДПСК Oxyz задана некоторая прямая L, проходящая через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) с направляющим вектором = {; ; }.

Пусть M (x, y, z) L , тогда векторы и – коллинеарны, и по условию

0

коллинеарности двух векторов имеем

 

 

 

 

 

 

x x0

 

y y0

 

z z0

.

(7.13)

 

 

 

 

 

l

 

m

 

n

 

Уравнения (7.13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть дана прямая L и точки M0 (x0 , y0 , z0 ) L , M1(x1, y1, z1) L . Подставив q M0M1 x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 в (7.13), получим уравнения

прямой, проходящей через две заданные точки M0 (x0 , y0 , z0 ) и M1(x1, y1, z1) :

 

 

x x0

 

 

y y0

 

 

z z0

.

 

(7.14)

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

x x

 

0

z z

0

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Параметрические уравнения прямой

 

В (7.13) положим

x x0

 

t,

 

y y0

t,

z z0

t ,

t R , и получим пара-

 

 

 

 

l

 

 

m

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

метрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 )

с нап-

равляющим вектором = {; ; }:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 lt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mt

 

 

 

 

 

(7.15)

 

 

 

 

 

y y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

 

Уравнения (7.15)

называются параметрическими

уравнениями

прямой

в пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Углом между двумя прямыми L1 и L2 в пространстве называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно прямым L1 и L2 (рис. 7.9).

183

z

y

x

Рис. 7.9. Углы между двумя пересекающимися прямыми (пунктирные линии), проходящими через произвольную точку пространства

параллельно прямым L1 и L2 (сплошные линии)

Пусть в пространстве две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

 

 

 

 

L

:

 

x x1

 

 

 

y y1

 

 

z z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

l1

 

 

 

m1

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

:

x x2

 

 

y y2

 

z z2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

l2

 

 

 

m2

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точки M (x , y , z ) L ,

 

M

2

(x

, y , z ) L ,

 

= {

;

,

}, = {

;

;

}

1

1

1

1

1

 

 

 

 

2

2

2

2

 

 

1

1

1

1

2

2

2

2

 

– направляющие векторы прямых L1 и L2 соответственно.

Угол между двумя прямыми

Угол между двумя прямыми равняется углу φ между их направляющими векторами, следовательно:

cos

 

q1 q2

 

 

 

l1l2 m1m2 n1n2

 

.

(7.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

q2

 

 

l 2

m2

n2

 

l 2

m2

n2

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

2

2

2

 

 

Вычисление угла между прямыми в MATLAB

Пример 7.9. Найти угол между прямыми

−1

= −2

= +3

и

+1

= +2

= −4.

−1

2

1

 

3

1

2

Решение. Из уравнений первой прямой направляющий вектор = {−1; 2; 1}.

1

Из уравнений второй прямой направляющий вектор 2 = {3; 1; 2}. Введем команды:

>>q1=[-1,2,1]; >>q2=[3,1,2];

>>phi=acos(abs(dot(q1,q2))/(norm(q1)*norm(q2)))

184

Результат: phi =

1.4615

Условие параллельности двух прямых

Прямые L1 и L2 параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие

векторы = { 1; 1; 1}, 2 = { 2; 2; 2} коллинеарны, т. е.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

m1

 

 

n1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2

 

 

m2

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие перпендикулярности двух прямых

 

 

Прямые L1

и L2

перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направ-

ляющие векторы = { ;

; }, = {

;

;

 

}

перпендикулярны, т. е.

 

 

1

1

 

1

 

 

1

2

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1l2 m1m2

n1n2

0 .

 

 

 

 

(7.18)

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

 

Прямые L1

и L2

лежат на одной плоскости тогда и только тогда, когда их

направляющие

векторы

=

{

;

;

}

 

 

 

 

{

 

;

;

 

}

и вектор

{

− ;

 

 

, =

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

1

1

 

 

2

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

1

2 − 1; 2 − 1} компланарны, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x1

y2 y1

 

z2 z1

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

 

 

m1

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.19)

 

 

 

 

 

l2

 

 

 

m2

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где точки M1(x1, y1, z1) L1;

M2 (x2 , y2 , z2 ) L2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом если выполняется условие (7.17), то две прямые, лежащие на одной плоскости, параллельны, в противном случае они пересекаются.

Приведение общих уравнений прямой к каноническим уравнениям

Пусть дана прямая общими уравнениями

 

A x B y C z D 0

 

 

 

1

1

1

1

 

(7.20)

 

 

 

 

 

 

 

A2 x B2 y C2 z D2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем уравнения прямой (7.20) к каноническим уравнениям (7.13).

Способ 1. Найдем какую-нибудь точку M0 x0 , y0 , z0 , лежащую на прямой

(рис. 7.10). Для этого положим z

const ( x

const или y

0

const), напри-

 

0

 

0

 

 

мер, z0 0 ( x0 0

или y0 0 ), и подставим это значение в (7.20), найдем x0 ,

y0 ( y0 , z0 или x0 ,

z0 ).

 

 

 

 

 

185

z

x

O

 

 

y

 

 

 

Рис. 7.10. q N1 N2 – направляющий вектор прямой,

 

 

являющейся пересечением плоскостей P

и P

 

 

 

 

 

с нормальными векторами .

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

Точка M 0 x0 , y0 , z0

лежит на прямой

 

 

Направляющий вектор = {; ; } прямой перпендикулярен нормальным

 

 

; 2} плоскостей (7.20):

 

 

векторам 1

= { 1; 1; 1}, 2 = { 2; 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

j

 

k

 

 

 

 

q N1 N2

 

A1

B1

C1

.

(7.21)

 

 

 

A2

B2

C2

 

 

 

Способ 2. Найдем какие-нибудь две точки M0 x0 , y0 , z0 ,

M1 x1, y1, z1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лежащие на прямой (рис. 7.11). Направляющий вектор прямой = 0

1 =

{1 − 0; 1 − 0; 1 − 0}.

z

x

O

y

 

 

 

Рис. 7.11. Точки M 0 , M1 лежат на прямой,

являющейся пересечением плоскостей P

и P

1

2

Пример 7.10. Привести общие уравнения прямой

x 2 y 4z 8 02x 3y 5z 1 0

к каноническим уравнениям.

186

Решение.

Способ 1. Найдем точку M0 x0 , y0 , z0 , лежащую на прямой. Пусть x0 0 . Подставим x x0 0 в заданные уравнения:

2 y 4z 8 03y 5z 1 0,

откуда y 2

, следовательно,

M0 0, 2,

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем направляющий вектор прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 × 2 = |1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 | = −22 + 13 − = {−22; 13; −1}.

 

 

 

 

2

3

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Канонические уравнения прямой имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y 2

 

z 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

13

 

 

1

 

 

 

 

 

Способ 2. Полагая x x0

0 , найдем точку M0 0, 2, 1 , лежащую на пря-

мой. Подставим z z0 0 в заданные уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 y 8 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3y 1

 

 

 

 

 

 

 

откуда x 22 ,

следовательно,

нашли еще одну точку M1 22, 15, 0 , лежа-

y 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щую на прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {1 − 0; 1

− 0; 1 − 0}, т. е.

Направляющий вектор прямой = 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {−22; 13; −1}.

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 1

 

 

 

Канонические уравнения прямой имеют вид

 

x

 

y 2

 

z 1

.

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

1

Ответ.

x

 

y 2

 

z 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоскость: использование MATLAB

Пример 7.11. Составить канонические уравнения прямой, образованной пересечением двух плоскостей: 2x + 2z – 1 = 0 и x + 2y + 2z – 1 = 0, и построить плоскости.

Решение. Для решения создадим скрипт-файл: m-файл eqofl.m

% Из уравнения первой плоскости

A1=2;B1=0;C1=2;D1=-1;N1=[A1,B1,C1];

187

b01=-D1/C1; b11=-A1/C1; b21=-B1/C1; X=0:0.025:1; Y=0:0.025:1;

%Построение первой плоскости

[x,y]=meshgrid(X,Y);

z1=b01+b11*x+b21*y; mesh(x,y,z1,'LineWidth',1) hold on

% Из уравнения второй плоскости

A2=1;B2=2;C2=2;D2=-1;N2=[A2,B2,C2]; b02=-D2/C2;b12=-A2/C2;b22=-B2/C2; X=0:0.025:1; Y=0:0.025:1;

%Построение второй плоскости

[x,y]=meshgrid(X,Y) ; z2=b02+b12*x+b22*y; mesh(x,y,z2,'LineWidth',1) xlabel('х');ylabel('у');zlabel('z');

%Уравнение прямой z0=0;

syms x y z x0 y0; [x0,y0]=solve(A1*x0+B1*y0+D1, A2*x0+B2*y0+D2); s=cross(N1,N2);

ur_1=(x-x0)/s(1); ur_2=(y-y0)/s(2); ur_3=(z-z0)/s(3);

g1=char(ur_1); g2=char(ur_2); g3=char(ur_3); [g1 ' = ' g2 ' = ' g3]

После вызова и выполнения m-файла eqofl.m в командном окне появится следующее сообщение:

ans =

'1/8 - x/4 = 1/8 - y/2 = z/4'

Плоскости показаны на рис. 7.12.

Рис. 7.12. Плоскости 2x + 2z – 1 = 0 и x + 2y + 2z – 1=0

188

Соседние файлы в предмете Математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности