Решение. Введем команды:

>>A=1; B=-2; C=-3; x0=1; y0=2; z0=1; >>syms x y z; >>f=(A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)); >>g=char(f);

>>[g ' = 0']

'x - 2*y - 3*z + 6 = 0'

7.2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Углом между плоскостями называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями при их пересечении (рис. 7.5).

Рис. 7.5. φ – смежный двугранный угол, образованный плоскостями при их пересечении

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:

179

z

Рис. 7.6. Плоскости P и P параллельны,

1 2

их нормальные векторы 1 2 коллинеарны

Пример 7.4. Параллельны ли плоскости

2x 4y z 14 0 , 6x 12y 3z 5 0 ?

данных плоскостей. Поскольку условие параллельности двух плоскостей (7.9) выполняется:

z

y

x O

Рис. 7.7. Плоскости P и P перпендикулярны,

1 2

их нормальные векторы 1 2 перпендикулярны

180

Пример 7.5. Перпендикулярны ли плоскости

x 3y 7z 5 0 , 2x 4y 2z 9 0?

Решение. 1 = {1; 3; −7} и 2 = {2; 4; 2} – нормальные векторы заданных плоскостей. Поскольку условие перпендикулярности двух плоскостей (7.10) выполняется:

1 2 3 4 ( 7) 2 0,

значит, плоскости перпендикулярны.

Использование MATLAB при нахождении угла между плоскостями

Пример 7.6. Найти угол между плоскостями х + z – 1 = 0 и x + 0,5z – 1 = 0. Решение. Введем команды

>>A1=2;B1=-4;C1=3; >>Nl=[A1,B1,C1]; >>A2=1;B2=-3;C2=5; >>N2=[A2,B2,C2];

>>alpha_rad=acos((dot(Nl,N2))/norm(Nl)/norm(N2)) alpha_rad =

0.4269 >>alpha_grad=alpha*180/pi alpha_grad =

24.4588

Пример 7.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 3; 2), B(1; 2; 1) и C(2; 2; 2).

Решение. Введем команды

>>syms x y z;

>>x1=1; y1=3; z1=2; x2=1; y2=2; z2=1; x3=2; y3=2; z3=2;

>>d=[(x-x1) (y-y1) (z-z1); (x2-x1) (y2-y1) (z2-z1); (x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)]; >>d=det(d);

>>g=char(d); >>[g ' = 0'] ans =

'z - y - x + 2 = 0'

7.3. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Пусть плоскость в пространстве задана общим уравнением

Ax By Cz D 0 .

Расстояние d от точки M (x0 , y0, z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 вычисляется по формуле1

1 Вывод формулы аналогичен случаю прямой на плоскости.

181

A2 B2 C 2

Вычисление в MATLAB расстояния от точки до плоскости

Пример 7.8. Найти расстояние от точки М0(1; 2; 1) до плоскости 2x + 3y –

– z – 3 = 0.

Решение. Из уравнения плоскости: = {2; 3; −1}, D = –3. Введем команды:

>>M=[1, 2, 1]; >>N=[2, 3, -1]; >>D=-3;

>>d=abs(dot(M,N)+D)/norm(N)

d=

1.0690

7.4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Общие уравнения прямой

Пусть в пространстве заданы ДПСК Oxyz и произвольная прямая L как линия пересечения двух плоскостей (рис. 7.8):

z

L

O

y

x

Рис. 7.8. Прямая L как пересечение двух плоскостей в пространстве

Два уравнения (7.12) совместно определяют прямую L тогда и только тогда, когда две плоскости не параллельны и не совпадают, т. е. нормальные векторы плоскостей 1 = {1; 1; 1}, 2 = {2; 2; 2} не коллинеарны.

182