Сделаем проверку равенства A 1A E :

>>E= A*inv(A)

E =

1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000

3.3. РАНГ МАТРИЦЫ

Пусть дана матрица A aij m n .

Минором k-го порядка матрицы A называется определитель k–го порядка, составленный из элементов матрицы A , расположенных на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов ( k N такое, что k min m;n ).

Минор r-го порядка матрицы A называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка (r 1) , если они существуют, равны нулю.

Порядок базисного минора называется рангом матрицы A и обозначается r( A) .

По определению будем полагать r(O) 0.

Линейной комбинацией строк a1, a2 , , am одинаковой длины называется строка C1a1 C2a2 Cmam , числа C1, C2 , ..., Cm – коэффициентами ли-

нейной комбинации.

Строки a1, a2 , , am одинаковой длины называются линейно независимыми,

если

C1a1 C2 a2 Cm am 0 ,

где 0 – нулевая строка, возможно только тогда, когда C1 C2 ... Cm 0.

56

В противном случае строки называются линейно зависимыми. Справедливы следующие утверждения:

 cтроки a1, a2 , , am (m > 1) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из строк есть линейная комбинация остальных;

 если среди строк a1, a2 , , am (m > 1) имеется хотя бы одна нулевая строка, то данные строки линейно Зависимы;

если среди строк a1, a2 , , am (m > 1) имеются линейно зависимые строки, то строки a1, a2 , , am линейно зависимы;

в произвольной матрице каждая строка является линейной комбинацией строк, в которых расположен базисный минор (теорема о базисном миноре);

для того чтобы строки матрицы A aij n n были линейно зависимыми,

необходимо и достаточно, чтобы det A 0.

Все определения и утверждения, касающиеся строк, справедливы и для столбцов.

Свойства ранга матрицы

(Теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице.

Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Элементарные преобразования матрицы не меняют ранга матрицы.

При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Вычисление ранга матрицы

Пусть дана матрица A aij m n .

Рассмотрим способы вычисления ранга матрицы r( A) , где

0 r( A) min m;n .

Способ 1. Вычисление ранга матрицы по определению.

Шаг 1. Если все миноры 1-го порядка (элементы матрицы) равны нулю, то матрица нулевая и r(A) 0 .

Шаг 2. Пусть существует отличный от нуля (ненулевой) минор 1-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то базисным минором является любой ненулевой минор 1-го порядка и r( A) 1.

Шаг 3. Пусть существует ненулевой минор 2-го порядка. Если все миноры 3-го порядка равны нулю, то базисным минором является любой ненулевой минор 2-го порядка и r(A) 2 .

57

Продолжая процесс, найдем базисный минор матрицы (ранг матрицы).

Пример 3.8. Найти ранг матрицы и указать один из базисных миноров:

Решение. 0 r( A) 3.

Шаг 1. Найдем ненулевой минор 1-го порядка: M1 1 0 . Тогда r( A) 1.

Способ 2. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Матрицу A приводим к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Поскольку элементарные преобразования матрицы не меняют

У полученной ступенчатой матрицы 2 ненулевые строки, ранг ее равен 2. Из равенства рангов эквивалентных матриц имеем r(A) 2 .

58

Использование MATLAB при вычислении ранга матрицы

Решение. Введем команду rank(A). В командном окне появится следующее:

>>rank(A) ans =

2

Пример 3.11. Даны матрицы

Найти, используя MATLAB:

a) сумму и разность матриц A и С,

б) произведение матриц C и B, результат произведения умножить на число 5, в) определитель матрицы В, г) матрицу, обратную матрице В,

д) значение выражения (A – C)·B3·(A + C)T. Решение примера показано в следующей таблице:

59