>>quiver(-2,-3,-12-(-2),-3-(-3),1,'m','LineWidth',4) >>quiver(-2,-3,-4-(-2),-3-(-3),1,'k','LineWidth',3) >>text(-3.9,-3.3,'\bfAB') >>text(-11.8,-3.4,'\bfAC','Color','magenta')

Векторы и появятся в окне «Figure 1» (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Изображение векторов и = 5 ∙ ̅̅̅̅, где точка С – конец вектора 5 ∙

Пример 5.15. Вычислить расстояние между точками в пространстве, задан-

ными радиус-векторами 1 = 0.1 + 0.9 + 2 , 2 = 0.5 + 0.92 + .

Решение. Введем команды:

>>rl=[0.1,0.9,2];

>>r2=[0.5,0.2,1]; >>s=r2-rl; >>s=norm(s)

s =

1.2845

Команды из примера можно использовать и для нахождения расстояния между точками на плоскости, убрав третью координату векторов.

5.6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ЕГО СВОЙСТВА

Если a 0 и b 0 , то скалярное произведение считается равным нулю. Обозначение: a b , ab , a,b .

125

Свойства a b :

1)a b b прb a a прa b ,

2)a b b a (коммутативность),

3)a b c a b a c ,

4)λ a b λ a b , R ,

5)a2 a 2 ,

6)a b 0 a b .

Доказательство.

1) Так как a cos φ прb a (рис. 5.20) и b cos φ прa b , то a b b прb a a прa b .

2)a b a b cos φ b a .

3)a b c a прa b c a прa b прa c a b a c .

4)λ a b b прb λ a λ b прb a λ a b .

5)a2 a a a a cos 0 a 2 .

6)Пусть a b 0 cos φ 0 φ π2 a b .

i j j k k i 0 .

126

Для наглядности составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов i, j, k :

Вычисление скалярного произведения (в координатной форме)

Пусть в ДПСК с ортонормированным базисом i, j, k заданы векторы a ax i ay j az k , b bx i by j bz k .

Применение скалярного произведения в векторной алгебре

а) Длина вектора

Формулу (5.5) для вычисления длины вектора a ax , ay , az можно по-

в) Условие перпендикулярности

Из (5.9) получим условие перпендикулярности векторов = { ; ; },

= { ; ; }:

127

д) Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в

положение В под действием постоянной силы F , образующей угол φ с перемещением AB S (рис. 5.21).

F

φ

A S B

128

Пример 5.17. Найти работу силы = {4; 2; 3} при перемещении вдоль линии L от точки A(2; 4; 6) к точке B(3; 5; 7). Под каким углом к АВ направлена сила F ?

Использование MATLAB для вычисления скалярного произведения

Для нахождения скалярного произведения двух векторов и в MATLAB существует встроенная функция

dot(a,b)

Пример 5.18. Вычислить скалярное произведение двух векторов ={3; -2; 5},

={4; 1; -3}:

а) используя операцию поэлементного умножения; б) используя формулу (5.8);

в) используя встроенную функцию dot(a, b). Решение. Введем команды:

Пример 5.19. Даны векторы = {3; -2; 5} и = {4; 1; -3}. Требуется:

а) вычислить в градусах угол между векторами a и b, используя формулу (5.9); б) найти проекцию вектора на направление вектора по формуле (5.12).

Решение. Введем команды:

129