5.7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ЕГО СВОЙСТВА

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c ,

удовлетворяющий условиям:

1) c a, c b (вектор c перпендикулярен каждому из векторов a и b );

2)c a b sin φ , где φ – угол между векторами a и b ;

3)упорядоченная тройка векторов a , b , c образует правую тройку.

Обозначение: c a b или c a, b .

Замечание.

1) Приведенные условия однозначно определяют векторное произведение,

если векторы a и b – неколлинеарны. Если a , b – коллинеарны, то векторное произведение по определению есть нулевой вектор.

2) Векторное произведение определяется только в трехмерном ориентированном пространстве.

Геометрический смысл векторного произведения

Из условия 2 определения векторного произведения вытекает важное геометрическое следствие (рис. 5.22): векторное произведение a b по абсолютной величине численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах a и b :

a b a b sin φ Sпар .

a×b

b

Sпар

φ

a

Рис. 5.22. φ – угол между векторами a и b ; вектор a b перпендикулярен каждому из векторов a и b и по абсолютной величине численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b

Пример 5.20. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 1; 1; 2 и b 0; 1; 0 , используя формулу (5.13).

130

Решение . a 2 6; b 2 1; a b 1. Подставив полученные значения в (5.13),

получим:

Свойства a b :

1)a b b a (антикоммутативность),

2)a b c a c b c (дистрибутивность относительно сложения),

3)λ a b λ a b , λ R ,

4)a b 0 a || b.

Докажем свойства 1 и 4.

Доказательство. 1) Векторы a b и b a коллинеарны, имеют одинако-

вую длину, противоположно направлены, так как тройки a , b , a b и a , b , b a образуют противоположные ориентации. Следовательно, a b b a .

4) Необходимость. Пусть a b 0 a b ab sin 0 a 0, или b 0 , или sin 0 . В первом и втором случаях один из сомножителей – нуле-

вой вектор. a || b. Если sin 0 , то 0 или , откуда следует a || b. Достаточность. a || b 0 или sin 0 a b 0 a b 0.

Из свойств 2 и 3 векторного произведения получим соотношение, называе-

мое свойством линейности векторного произведения по первому сомножителю:

λ a μ b c λ a c μ b c , λ, μ R .

Векторное произведение линейно и по второму сомножителю. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k .

Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения для базисных векторов:

Пользуясь свойством 1 векторного произведения, получим еще три равенства:

j i k , k j i , i k j .

Из свойства 4 имеем

i i j j k k 0.

131

Для наглядности составим таблицу вычисления векторного произведения

Удобно пользоваться следующей схемой (рис. 5.23): если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму совпадает с направлением стрелки, то векторное произведение равно третьему вектору, если не совпадает

– третий вектор берется со знаком «минус».

i

j

k

Рис. 5.23. Между базисными векторами i, j, k показаны стрелки. Если направление кратчайшего пути от 1-го вектора ко 2-му совпадает

с направлением стрелки, то их векторное произведение равно 3-му вектору, если не совпадает – 3-му вектору со знаком «минус»

Вычисление векторного произведения (в координатной форме)

Пусть в пространстве задана ДПСК с ортонормированным базисом i, j, k .

Пусть заданы векторы a ax i ay j az k , b bx i by j bz k . Найдем векторное произведение этих векторов:

a b ax i ay j az k bx i by j bz k

axbx i i axby i j axbz i k aybx j i ayby j jaybz j k azbx k i azby k j azbz k k

0 axby k axbz j aybx k 0 aybz i azbx j azby i 0

aybz azby i axbz azbx j axby aybx k .

Легко видеть, что

aybz azby i axbz azbx j axby aybx k

132

Окончательно получим формулу для вычисления векторного произведения:

Применение векторного произведения

а) Площадь параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , вычисляется по формуле

Sпар a b .

Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , вычисляется по формуле

в) Момент силы относительно точки

Пусть в пространстве заданы точки А и М.

133

Пусть в точке А приложена сила F = AB (рис. 5.24).

Известно, что моментом силы F относительно точки М называется век-

тор m , который:

1)проходит через точку М,

2)перпендикулярен плоскости, проходящей через точки М, А, В,

3)численно равен m F MN F MA sin φ , где MN – плечо, φ – угол

между векторами F и MA ,

4) образует правую тройку с векторами MA и AB . Откуда имеем, что m = MA F (рис. 5.24).

г) Линейная скорость вращения

Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси. Скорость v точки М твердого тела находится по формуле Эйлера: v ω OM , где О – некоторая неподвижная точка оси (рис. 5.25).

Использование MATLAB для вычисления векторного произведения

Для нахождения векторного произведения двух векторов и в MATLAB существует встроенная функция

cross(a,b)

Пример 5.23. Даны векторы ={3; -2; 5}, ={4; 1; -3}. Вычислить: а) векторное произведение и по формуле (5.14);

б) векторное произведение и , используя команду cross(a, b); в) площадь треугольника, построенного на векторах и .

134